自由群のソースを表示

{{出典の明記|date=2016年11月}}
'''自由群'''（じゆうぐん、''free group''）とは、[[公理]]から来る自明なもの以外に元の間の等式がない[[群論|群]]のことである。ただし、二つの元を取り出したとき、同じ元であるかどうか、および一方が他方の逆元であるかどうかは判定できる。

==構成==
文字の集合 ''X'' = {''x<sub>&lambda;</sub>''} <sub>''&lambda;''&isin;&Lambda;</sub> に対し、新たに文字の集合 ''X''<sup>-1</sup> = {''x<sub>&lambda;</sub>''<sup>-1</sup>} <sub>''&lambda;''&isin;&Lambda;</sub> をつくり、&Omega; = ''X'' &cup; ''X''<sup>-1</sup> とおく。
&Omega; に含まれる文字からなる長さ有限な文字列を、文字集合 &Omega; 上の'''語'''（ご、''word''）と呼ぶ。

&Omega; の二つの語 '''a''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>), '''b''' = (''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''m''</sub>) の積 '''ab''' を
:'''ab''' = (''a''<sub>1</sub>, ''a''<sub>2</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub>, ''b''<sub>1</sub>, ''b''<sub>2</sub>, ..., ''b''<sub>''m''</sub>)

と定めると &Omega; の語の全体 ''W''(&Omega;) は、空の語 () を[[単位元]]とする[[モノイド]]になる（'''自由モノイド'''あるいは空の語を特に考えないものは'''自由半群'''）。ある語 '''a''' の中に ''x'' &isin; ''X'' と ''x''<sup>-1</sup> &isin; ''X''<sup>-1</sup> が隣り合っている部分があるとき、この二つを取り除いて新たな語 '''b''' を作ることを '''a''' を'''簡約'''（かんやく、''reduce'', ''cancel''）して '''b''' にするという。簡約できない語は'''既約'''（きやく、''irreducible''）であるという。語 '''a''' を簡約して得られる既約な語を '''a''' の'''簡約表示'''と呼び、ここでは ''I''('''a''') と表すことにする。
''W''(&Omega;) における[[二項関係]] ~ を簡約表示が一致すること、すなわち
: '''a''' ~ '''b''' &hArr; ''I''('''a''') = ''I''('''b''')
で定めると、この関係 ~ は[[同値関係]]となる。語 '''a''' の属する同値類を ['''a'''] で表すことにする。

===定義===
上の記法のもとで、''W''(&Omega;) の同値類の集合 ''F''(''X'') = ''W''(&Omega;)/~ は、積を ['''a''']['''b'''] = ['''ab'''] により定義することにより''X'' で[[生成 (数学)|生成]]される群になる。
この群 ''F''(''X'') を文字集合 ''X'' 上の'''自由群'''という。

== 普遍性 ==
文字集合 ''X'' 上の自由群は'''自由群の普遍性''' (''universal property'') と呼ばれる、以下の性質によって特徴付けられる。''G'' を任意の群とし、''f'': ''X'' &rarr; ''G'' を任意の[[写像]]とすると、[[群論#組合せ論的群論と幾何学的群論|群の準同型]]
:<math>\tilde{f}: F(X) \to G</math>
で、その ''X'' への制限写像について
:<math>\tilde{f}(\mathbf{a}) = f(\mathbf{a})</math>
が任意の '''a''' &isin; ''X'' に対して成立するようなものがただ一つ存在する。

自由群は、より一般の概念として[[圏論]]における自由対象 (free object) の一例である。多くの普遍的構造と同じく、それは一組の[[随伴関手]]を定める。

=== 群の表示 ===
任意の群はある自由群の[[剰余群]]になり、生成元と基本関係式で表示できる。

== 関連項目　 ==

* [[群の表示]]

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{{DEFAULTSORT:しゆうくん}}
[[Category:群論]]
[[Category:幾何学的群論]]
[[Category:自由代数的構造]]
[[Category:数学に関する記事]]