自由電子のソースを表示

{{Pathnav|電子|frame=1}}
'''自由電子'''（じゆうでんし、{{lang-en-short|free electron}}）とは、束縛を受けていない[[電子]]のこと。'''[[電子気体]]'''（'''[[フェルミ気体]]'''）とも呼ばれることがある。通常、電子は（ごく弱いものであったとしても）何らかの束縛を受けているため、自由電子は実在しないが、問題を簡潔にし自然科学への理解を助ける（[[モデル (自然科学)|理想化]]）。この自由電子を用いた[[モデル (自然科学)|モデル]]を、'''自由電子モデル'''（自由電子模型、Free electron model）と言う。現実の電子系について、それらが自由電子であると仮定する近似を[[自由電子近似]]と言う。

[[金属]]に関する議論においては、[[伝導電子]]と同じ意味で自由電子という言葉が用いられることがあるが、電子同士の多体相互作用等を無視している。金属の伝導電子は、[[電気伝導]]や[[熱伝導]]を担う。

== 自由電子のエネルギー固有状態・固有値 ==
{{see also|自由粒子|エネルギー固有状態}}
自由電子はポテンシャルを<math>V(\mathbf{r}) = 0</math>であるため、ハミルトニアンの固有値問題（定常状態の[[シュレーディンガー方程式]]）は次のように書ける<ref name=Messiah>
{{cite book |author=Albert Messiah |title=Quantum Mechanics |year= 1999 |publisher= Dover Publications |isbn=0-486-40924-4 }}
</ref><ref name=Gasiorowicz>
{{cite book |author=Stephen Gasiorowicz |title=Quantum Physics |year= 1974 |publisher=Wiley & Sons |isbn=0-471-29281-8 }}
</ref><ref name=Merzbacher>
{{cite book |author=Eugen Merzbacher |title=Quantum Mechanics |edition=3rd |year= 2004 |publisher=Wiley & Sons |isbn=978-9971-5-1281-1 }}
</ref>。
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi(\mathbf{r}) = E \psi(\mathbf{r}) </math>
ここで{{Mvar|m}}は自由電子の質量、{{Mvar|ħ}}は[[ディラック定数]]、温度は[[絶対零度]]（{{Math|{{Mvar|T}} {{=}} {{Val|0|u=K}}}}）である。これを解くと、得られる[[エネルギー固有値]]は次のようになる。
:<math> E(\boldsymbol{k}) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}</math>
ここで<math>\boldsymbol{k}</math>は[[波数ベクトル]]である。よって{{Math|{{Mvar|E}}-{{Mvar|k}}}}曲線（[[分散関係]]）は波数の二乗に比例し、放物線となることがわかる。

また得られる[[エネルギー固有状態]]は平面波であることがわかる。
:<math>\psi_{\mathbf{k}}(\mathbf{r}) = \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} } </math>
ここで<math>\mathbf{k}</math>は[[波数ベクトル]]、<math>\Omega_r</math>は電子の存在する空間の体積である。
この平面波は[[固体物理学]]や[[物性物理学]]でよく用いられる。[[ほとんど自由な電子]]模型や[[強結合近似]]、[[マフィンティンポテンシャル]]を用いた近似などの[[バンド構造]]を調べる上で基本となり、そのエネルギー固有状態は[[ブロッホ関数]]となる。

時間依存シュレーディンガー方程式
:<math>-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \Psi(\mathbf{r},t) = i\hbar\frac{\partial}{\partial t} \Psi(\mathbf{r},t) </math>
の解は次のように与えられることがわかる。
:<math>\Psi(\mathbf{r},t) = \frac{1}{\sqrt{\Omega_r}} e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{r} - i \omega t} </math>
:<math>\omega(\boldsymbol{k}) = {\frac{\hbar\mathbf{k}^2}{2m}}</math>
ここで<math>\omega(\boldsymbol{k})</math>は周波数である。

==電子気体の誘電関数==
金属を、原子核の格子と、その格子の内部に浸透した、電子気体（プラズマ）の集合体だと見なす。ここで言う電子気体は、原子核の格子の内部に均一に分布している自由電子の集合体である。
振動する電場（電磁波）が金属に到来すると、電子気体は揺り動かされるが、原子核は電子と比較してはるかに重いため、その運動は無視できると考える。
その結果、金属は全体として分極し、その表面に余分な電荷が生まれる。
表面電荷密度は、

:<math>\rho_s = -n e x</math>
ここで''n''は電子の数密度である。
これはサンプル中に復元[[電場]]を作る。
:<math>E = \frac{n e x}{\epsilon_0}</math>
サンプルのある周波数<math>\omega</math>における[[誘電率]]は次のように表される。
:<math>\epsilon = \frac {D}{\epsilon_0 E} = 1 + \frac {P}{\epsilon_0 E} </math>
ここで<math>D</math>は[[電気変位]]、<math>P</math>は[[分極密度]]である。

電場と分極密度は、
:<math>E(t) = E_0 e^{-i \omega t},\quad P(t) = P_0 e^{-i \omega t}</math>
また''n''電子密度の分極密度は、
:<math>P = - n e x</math>
振動電場の力''F''は、電荷''e''と質量''m''をもつ電子を加速度''a''で加速される。
:<math>F = m a = m \frac{d^2x}{dt^2} = -e E </math>
ここで''E''、''P''、''x''を置き換えると[[調和振動子]]の式が得られる。

少し計算をすると、分極密度と電場の関係は次のように表される。
:<math>P = - \frac{ne^2}{m\omega^2} E</math>
固体の周波数依存誘電関数は、
:<math>\epsilon(\omega) = 1 - \frac {n e^2}{\epsilon_0m \omega^2}</math>

'''プラズマ周波数'''と呼ばれる共鳴周波数<math>\omega_p</math>で誘電関数の符号は負から正に代わり、誘電関数の実部は０になる。
:<math>\omega_p = \sqrt{\frac{n e^2}{\epsilon_0 m}} </math>

プラズマ周波数は、[[プラズマ振動]]共鳴や[[プラズモン]]の理解において重要である。

プラズマ周波数の測定値は、多くの材料で理論値とよく一致している。<ref name=Kittel>{{cite book |author=C. Kittel |title=Introduction to Solid State Physics |year= 1953–1976 |publisher=Wiley & Sons |isbn=0-471-49024-5 }}</ref> 
プラズマ周波数以下では誘電関数は負であり、到来した電磁波は試料の表面で全反射される。一方で、プラズマ周波数以上の電磁波はサンプルを貫くことができる。

== フェルミエネルギー ==
電子は[[フェルミ粒子]]なので同じ状態に1つ（スピン自由度を含めると2つ）しか入ることができず、エネルギー最低の状態から順に詰まっていく。エネルギーの最大値を'''[[フェルミエネルギー]]'''と呼び、それに相当する波数・運動量を'''フェルミ波数'''、'''フェルミ運動量'''と呼ぶ。
*フェルミエネルギー：　<math>E_\mathrm{F} = \hbar^2 {k_\mathrm{F}}^2 / 2m</math>
*フェルミ波数：　<math> k_\mathrm{F}</math>
*フェルミ運動量：　<math>\hbar k_\mathrm{F}</math>
3次元の場合、フェルミエネルギーは[[波数空間]]中の面で表される。これを[[フェルミ面]]と呼ぶ。自由粒子のフェルミ面は球状となる。
:<math>k_F = \left(\frac{3\pi^2 N_e}{\Omega_r}\right)^{\frac{1}{3}}</math>
ここで<math>N_e</math>は系の全電子数である。

== 状態密度 ==
波数とエネルギーの関係が求まったので、エネルギーの関数である[[状態密度]] {{Math|{{Mvar|D}}({{Mvar|E}})}} を計算することができる。
*状態密度（一次元）：　<math>D(E) \simeq 1 / \sqrt{E}</math>
*状態密度（二次元）：　<math>D(E) = \text{constant}</math>
*状態密度（三次元）：　<math>D(E) \simeq \sqrt{E}</math>

{{Mvar|N}}個の自由電子（三次元）からなる系の全エネルギー{{Math|{{Mvar|E}}{{Sub|tot}}}}は次のように書ける。
:<math>E_\mathrm{tot} = \int_{-\infty}^{E_F} D(E)E dE = {3 \over 5} N E_\mathrm{F} </math>
よって自由電子一個当りの平均エネルギーは、
:<math>\langle E \rangle = {3 \over 5} E_\mathrm{F} </math>

== 弾性率・圧縮率 ==
自由電子での[[体積弾性率]] {{Mvar|K}} は、系の体積を {{Mvar|Ω}} として以下のように表される。
:<math> K = {2 \over 3} \left( {N \over {\Omega}} \right) E_\mathrm{F} </math>
{{Mvar|K}}の逆数が[[圧縮率]]{{Mvar|κ}}である。
:<math> \kappa = {3 \over 2} \left( {\Omega \over N} \right) {1 \over {E_\mathrm{F}} } </math>
これは、{{Math|{{Mvar|E{{Sub|F}}}}∝{{Mvar|k{{Sub|F}}}}{{Sup|2}}∝({{Mvar|Ω}}){{Sup|-2/3}}}}（フェルミ波数は系の体積の三乗根に反比例する量）及び、<math> P = - \partial E_\mathrm{tot} / \partial \Omega </math>（{{Mvar|P}} は圧力、{{Math|{{Mvar|E}}{{Sub|tot}}}} は自由電子の全エネルギー）を使って得られる。

== 低温現象 ==
低温で自由電子は[[フェルミ縮退]]の状態にあり、特有の性質を示す。

== 出典 ==
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[物性物理学]]
* [[ほとんど自由な電子]]

{{Atomic models}}
{{デフォルトソート:しゆうてんし}}
[[Category:電子]]
[[Category:電子状態]]