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The '''Kuramoto model''', first proposed by [[Yoshiki Kuramoto]] (蔵本由紀 ''Kuramoto Yoshiki''), is a [[mathematical model]] used to describe synchronization. More specifically, it is a model for the behavior of a large set of coupled [[oscillators]]. Its formulation was motivated by the behavior of systems of [[chemical]] and [[biological process|biological]] oscillators, and it has found widespread applications.

The model makes several assumptions, including that there is weak coupling, identical or nearly identical oscillators, and that interactions that depend sinusoidally on the phase difference between the two objects.
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'''蔵本モデル'''は[[蔵本由紀]]によって提案された同期現象を記述する[[数学モデル]]である。特に、相互作用のある[[非線形振動子]]集団の振る舞いを記述するモデルである。このモデルは化学的、生物学的な非線形振動子系の振る舞いを示唆するものであり、幅広い応用が見られる。

このモデルの前提として、完全に独立（またはほぼ独立）した振動子に弱い相互作用がはたらくこと、そしてこの相互作用は二つの振動子間の位相差の正弦関数として与えられる、という仮定がある。

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== Definition ==
In the most popular version of the Kuramoto model, each of the oscillators is considered to have its own intrinsic [[natural frequency]] <math>\omega_i</math>, and each is coupled equally to all other oscillators. Surprisingly, this fully [[nonlinear]] model can be solved exactly, in the infinite-''N'' limit, with a clever transformation and the application of self-consistency arguments.

The most popular form of the model has the following governing equations:
{{Indent|<math> \frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>,}}
where the system is composed of ''N'' limit-cycle oscillators.

<br />Noise can be added to the system. In that case, the original equation is altered to:
{{Indent|<math>
\frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^N\sin(\theta_{j}-\theta_{i})
</math>,}}
where <math>\zeta_{i}</math> is the fluctuation and a function of time. If we consider the noise to be white noise, then
{{Indent|<math>
\langle\zeta_{i}(t)\rangle=0
</math> ,<br />
<math>
\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')
</math> }}
with <math>D</math> denotes the strength of noise.
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== 定義 ==
最も知られた形式の蔵本モデルの場合、各々の振動子らは[[固有振動数]]<math>\omega_i</math>を持ち、他の全ての振動子と等しく相互作用している、と考えられる。驚くべきことに、この[[非線形]]モデルは<math>N \to \infty</math>の極限において上手く変形することで厳密に解くことができる。

最も知られた蔵本モデルの形式は次のような支配方程式に従う。

{{Indent|<math> \frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_i + \frac{K}{N} \sum_{j=1}^{N} \sin(\theta_j - \theta_i), \qquad i = 1 \ldots N</math>,}}
ここで、系は''N''個の[[リミットサイクル]]振動子から構成される。

また、系にノイズを加えることができる。この場合、方程式は書き換えられて、
{{Indent|<math>
\frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_{i}+\zeta_{i}+\dfrac{K}{N}\sum_{j=1}^N\sin(\theta_{j}-\theta_{i})
</math>,}}
ここで、<math>\zeta_{i}</math>は揺らぎを表し、時刻の関数である。[[ホワイトノイズ]]を考えれば、
{{Indent|<math>
\langle\zeta_{i}(t)\rangle=0
</math> ,<br />
<math>
\langle\zeta_{i}(t)\zeta_{j}(t')\rangle=2D\delta_{ij}\delta(t-t')
</math>}}
となる。ここで<math>D</math>はノイズの強さを表す。

==変形==
蔵本モデルは次のようになる。
「秩序」パラメータ''r''と''ψ''を次のように定義する。
{{Indent|<math>re^{i \psi} = \frac{1}{N} \sum_{j=1}^{N} e^{i \theta_j} </math>.}}
ここで''r''、''ψ''は振動子集団の平均場の振幅、位相である。
この変形を適用することで（任意の N で）支配方程式は次のようになる。
{{Indent|<math> \frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_i + K r \sin(\psi-\theta_i) </math>.}}
こうして振動子の方程式はもはや陽的には結合されてはおらず、その代わりに秩序パラメータが振る舞いを決める。振動子集団の位相分布が均一であれば（少なくとも<math>N \to \infty</math> の極限で）更に変形が行われて
<math>\psi=0</math>となり、支配方程式は次のようになる。
{{Indent|<math> \frac{\partial \theta_i}{\partial t} = \omega_i - K r \sin(\theta_i) </math>.}}

==''N''が大きい場合の極限==
<math>N \to \infty</math> の場合を考えよう。
固有振動数の分布が''g''（''ω''）（正規化されていると仮定する）で表されるとする。
時刻''t''での位相''θ''、固有振動数''ω''において、振動子の密度が
<math>\rho(\theta, \omega, t)</math>であるとする。
正規化の要請から次の式を満たす。
{{Indent|<math> \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) \, d \theta = 1. </math>}}

振動子の密度の[[連続の式]]は次のようになる。
{{Indent|<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho v] = 0, </math>}}
ここで、''v''は振動子のドリフト速度であり、<math>N \to \infty</math> における支配方程式の変形から、
{{Indent|<math> \frac{\partial \rho}{\partial t} + \frac{\partial}{\partial \theta}[\rho \omega + \rho K r \sin(\psi-\theta)] = 0. </math>}}

最後に、<math>N \to \infty</math>での秩序パラメータの定義を書き直そう。
<math>\theta_i</math>は（''ω''での）アンサンブル平均で、和は積分で置き換えられるので次のようになる。
{{Indent|<math> r e^{i \psi} = \int_{-\pi}^{\pi} e^{i \theta} \int_{-\infty}^{\infty} \rho(\theta, \omega, t) g(\omega) \, d \omega \, d \theta.
</math>}}

==解==
全ての振動子がランダムに動く[[コヒーレンス|インコヒーレント]]な状態の解は
<math>\rho = 1/(2\pi)</math>に対応する。
<math>r = 0</math>の場合、振動子の間に全く相関は無い。
集団の振動子の位相分布が一様であれば、集団は静的に安定な状態である（けれども個々の振動子の位相は自らの固有の''ω''に従って変化し続けている）。

''K''が十分強いとき、完全に同期した解が実現する。
完全に同期した状態では、全ての振動子は、個々の位相は異なれども、共通の振動数をとる。

部分的に同期した場合の解は、
固有振動数の値が近い幾つかの振動子のみが同期し、他の振動子はばらばらに動く状態を引き起こす。
数学的には、同期した振動子は、
{{Indent|<math>\rho = \delta\left(\theta - \psi - \arcsin\left(\frac{\omega}{K r}\right)\right)</math>}}
となり、ばらばらに動く振動子は、
{{Indent|<math>\rho = \frac{\rm{normalization \; constant}}{(\omega - K r \sin(\theta - \psi))}</math>}}
となる。振動子は<math>|\omega| < K r </math>の場合は同期でき、そうでない場合はばらばらな動きになる。

==関連分野==
* [[複雑ネットワーク]]の進展に伴い、ネットワークの視点から同期を扱う研究が近年行われている。<ref>{{Cite journal
 | author = Xiao Fan Wang and Guanrong Chen
 | title = Complex Networks: Small-World, Scale-Free and Beyond
 | journal = IEEE CIRCUITS AND SYSTEMS MAGAZINE
 | volume = 3
 | issue = 1
 | pages = 16-19
 | publisher =
 | location =
 | year = 2003
 | url = http://ieeexplore.ieee.org/xpl/articleDetails.jsp?tp=&arnumber=1228503&contentType=Journals+%26+Magazines&sortType%3Dasc_p_Sequence%26filter%3DAND%28p_IS_Number%3A27554%29
 | jstor =
 | issn =
 | doi =
 | accessdate = 2013年3月29日}}
</ref>
* 心臓の活動や、ニューロンの活動、[[:en:Default_mode_network|デフォルトモードネットワーク]]（default mode network）や[[:en:Salience_network|覚醒ネットワーク]]（salience network）等の脳の[[脳の大規模ネットワーク|大規模神経ネットワーク]]間の相互作用など広い範囲で同期現象を記述するために応用されている。<ref>{{Cite journal|last=英樹|first=大平|date=2016|title=脳活動の同期を導くメカニズム|url=https://www.jstage.jst.go.jp/article/sjpr/59/3/59_283/_article/-char/ja/|journal=心理学評論|volume=59|issue=3|pages=283-291|doi=10.24602/sjpr.59.3_283}}</ref>

==脚注==
{{Reflist}}

==参考文献==
* {{Cite journal|author=Juan A. Acebrón, L. L. Bonilla, Conrad J. Pérez Vicente, Félix Ritort, and Renato Spigler |title=The Kuramoto model: A simple paradigm for synchronization phenomena |journal=Reviews of modern physics |volume=77 |issue=1 |pages=137-185 |year=2005 |publisher=American Physical Society |doi=10.1103/RevModPhys.77.137 |url=https://doi.org/10.1103/RevModPhys.77.137 |ref=harv}}
* {{Cite journal||title=From Kuramoto to Crawford: exploring the onset of synchronization in populations of coupled oscillators |journal=Physica D: Nonlinear Phenomena |publisher=Elsevier |volume=143 |issue=1 |pages=1-20 |year=2000 |ISSN=0167-2789 |doi=10.1016/S0167-2789(00)00094-4 |author=Steven H. Strogatz |url=https://doi.org/10.1016/S0167-2789(00)00094-4 |ref=harv}}

==関連項目==
* [[千葉逸人]]

{{Normdaten}}

{{DEFAULTSORT:くらもともてる}}
[[Category:微分方程式]]
[[Category:数学に関する記事]]