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'''虚円点'''（きょえんてん、{{Lang-en-short|circular points at infinity, cyclic points, isotropic points}}）または'''無限遠円点'''（むげんえんえんてん）は、[[射影幾何学]]において、{{仮リンク|複素射影平面|en|Complex projective plane}}上にあるすべての[[円 (数学)|実円]]が通る2つの[[無限遠点]]である<ref>{{Cite book|和書 |title=国際十進分類法 |year=1948 |publisher=全日本科学技術団体聯合会 |volume=4 |doi=10.11501/1122661}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=近世幾何学 |year=1929 |publisher=[[積善館]] |pages= |doi=10.11501/1171033 |author=[[森本清吾]] |page=193}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=幾何学の基礎 (岩波全書) |year=1946 |publisher=[[岩波書店]] |pages=70,99 |author=[[窪田忠彦]] |doi=10.11501/1371935}}</ref><ref>{{Cite book|和書 |title=初等幾何學 第2卷 空間之部 |year=1915 |publisher=[[山海堂 (出版部)|山海堂]] |page= |doi=10.11501/1082037 |translator=[[小倉金之助]] |pages=458-459,523}}</ref><ref>{{Cite web |title=数学における可視化への具象的なアプローチ – FujishiroLab |url=https://fj.ics.keio.ac.jp/mathematical-visualization |access-date=2024-08-02 |language=ja}}</ref>。虚点とも言われる。

== 座標 ==
3組の[[複素数]]で表される[[同次座標|同次座標系]]{{Math|(''x'' : ''y'' : ''z'')}}で表すと{{Math|(1 : ''i'' : 0),(1 : -''i'' : 0)}}となる。

=== 三線座標 ===
基準となる[[三角形]]{{Mvar|ABC}}の3つの内角の大きさを{{Mvar|A,B,C}}として、[[三線座標]]において、虚円点は次の式で表される<ref>{{Cite book |last=Whitworth William Allen |title=Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions |date=1866 |publisher=Deighton Bell And Company |page=127 |url=https://archive.org/details/trilinearcoordin029731mbp/page/126/mode/2up |access-date=8 December 2021}}</ref>。

: <math>-1 : \cos C - i\sin C : \cos B + i\sin B,\qquad -1 : \cos C + i\sin C : \cos B - i\sin B</math>

または

: <math>\cos C + i\sin C : -1 :\cos A - i\sin A, \qquad\cos C - i\sin C : -1 :\cos A + i\sin A</math>

または

: <math>\cos B + i\sin B : \cos A - i\sin A : -1, \qquad \cos B-i\sin B : \cos A+i\sin A: -1,</math>

ただし <math>i=\sqrt{-1}</math>.

== 複素化された円 ==
中心を{{Math|(''x''{{sub|0}} , ''y''{{sub|0}})}}、[[半径]]を{{Mvar|r}}とする円（{{Math|''x''{{sub|0}} , ''y''{{sub|0}} , ''r''}}はすべて[[実数]]）の方程式は次の形で与えられる。

: <math>(x-x_0)^2+(y-y_0)^2=r^2.</math>

[[線型方程式系]]に変形して、解を複素数の範囲まで広げる（{{仮リンク|複素化|en|Complexification}}）。複素化されたすべての実円は虚円点を通るため、「circular points」という名がつけられている。同次座標において円の方程式は次の式で与えられる。

: <math>Ax^2 + Ay^2 + 2B_1xz + 2B_2yz - Cz^2 = 0. </math>

[[係数]]がすべて実数で与えられる場合、[[実射影平面]]上のすべての円の方程式をこの形で表せる。2つの虚円点の座標を代入すれば、すべての円が虚円点を通ることを確認できる。一般に、虚円点を通る[[代数曲線]]は'''円的'''（circular）であると言われる<ref name=":1">{{Cite book|和書 |title=初等幾何学特選問題 |year=1932 |publisher=共立社書店 |pages=109 |author=[[窪田忠彦]] |id={{NDLJP|1211458}}}}</ref>。例えば、[[ノイベルグ三次曲線]]は円的三次曲線（circular cubic）である。

== 性質 ==
虚円点は{{仮リンク|等方直線|en|Isotropic line}}と[[無限遠直線]]の交点である<ref>C. E. Springer (1964) ''Geometry and Analysis of Projective Spaces'', page 141, [[W. H. Freeman and Company]]</ref>。また、[[回転]]や[[平行移動]]によって[[不動点|不変]]である。

[[角度]]の概念は虚円点、[[自然対数]]、[[複比]]を用いて[[定義]]することができる<ref>{{Cite book |title=The elements of non-Euclidean geometry, by D.M.Y. Sommerville. |url=https://quod.lib.umich.edu/u/umhistmath/ABN6053.0001.001/1?rgn=works;view=pdf;rgn1=author;q1=Sommerville |date=1914. |first=Duncan M'Laren Young |last=Sommerville}}</ref>。

: 二つの直線が成す角は、二つの直線と、それらと虚円点で交わるような直線が成す[[直線束|束]]の複比の自然対数である。

Sommerville{{Enlink|Duncan Sommerville}}は、[[原点 (数学)|原点]]を通る2直線<math>u : y = x \tan \theta, \quad u' : y = x \tan \theta ' </math> について、2つの虚円点を{{Math|''ω'' , ''ω' ''}}として、複比を次のように得た。

: <math>(u u' , \omega \omega ') = \frac{\tan \theta - i}{\tan \theta + i} \div \frac{\tan \theta ' - i}{\tan \theta ' + i} ,</math> 

: <math>\therefore\phi = \theta ' - \theta = \tfrac{i}{2} \log (u u', \omega \omega ') .</math>

== 出典 ==
{{Reflist}}

* Pierre Samuel (1988) ''Projective Geometry'', Springer, section 1.6;
* Semple and Kneebone (1952) ''Algebraic projective geometry'', Oxford, section II-8.
{{デフォルトソート:きよえんてん}}
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