蛇の補題のソースを表示

'''蛇の補題'''（へびのほだい、{{lang-en-short|snake lemma}}）、'''スネーク・レンマ'''は[[数学]]、特に[[ホモロジー代数]]において、[[長完全列]]を構成するために使われる道具である。蛇の補題はすべての[[アーベル圏]]で有効であり、ホモロジー代数やその応用、例えば[[代数トポロジー]]において、きわめて重要な道具である。補題の助けによって構成された準同型は一般に'''''連結準同型''''' (connecting homomorphism) と呼ばれる。

== 補題の主張 ==
任意の[[アーベル圏]]（[[アーベル群]]の圏や与えられた[[可換体|体]]上の[[ベクトル空間]]の圏など）において、[[可換図式]]

[[File:Snake lemma origin.svg]]

を考える。ただし2つの行は[[完全列|完全]]で、0 は[[零対象]]である。すると ''a'', ''b'', ''c'' の[[核 (圏論)|核]]や[[余核]]に関連した完全列

<math>\ker a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \ker c \; \overset{d}{\longrightarrow} \operatorname{coker}a \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}b \; {\color{Gray}\longrightarrow} \operatorname{coker}c</math>

が存在する。さらに、射 ''f'' が[[モノ射]]であれば、射 ker&nbsp;''a'' → ker&nbsp;''b'' もモノ射であり、''g''' が[[エピ射]]であれば、coker&nbsp;''b'' → coker&nbsp;''c'' もエピ射である。

== 名前の説明 ==
どこで蛇の補題がその名前を得たか見るために、上の図式を次のように広げる。

[[File:Snake lemma complete.svg]]

補題の結論である完全列を、ずるずる滑っている[[蛇]]のような逆 ''S'' 字に、この広げられた図式に描くことができることに注意しよう。

== 写像の構成 ==
核の間の写像と余核の間の写像は、図式の可換性によって、与えられた（水平の）写像から自然な方法で誘導される。2つの誘導された列の完全性はもとの図式の行の完全性から直ちに従う。補題の重要なステートメントは、完全列を完成させる''連結準同型'' ''d'' が存在するということである。

アーベル群やある[[環 (数学)|環]]上の[[環上の加群|加群]]の場合、写像 ''d'' は次のように構成できる。ker&nbsp;''c'' の元 ''x'' をとり、それを ''C'' の元と見る。''g'' は[[全射]]なので、ある ''B'' の元 ''y'' が存在して、''g''(''y'') = ''x'' である。図式の可換性によって、<math> g'(b(y)) = c(g(y))=c(x)=0 \! </math> であり（なぜならば ''x'' は ''c'' の核に属しているから）、したがって ''b''(''y'') は ''g' '' の核に属している。下の行が完全なので、''A' '' の元 ''z'' が存在して、''f''&nbsp;'(''z'') = ''b''(''y'') である。''z'' は ''f''&nbsp;' の単射性によって一意である。そこで ''d''(''x'') = ''z'' + ''im''(''a'') と定義する。さて次のことを確認しなければならない。''d'' は well-defined である（すなわち ''d''(''x'') は ''x'' にのみ依り、''y'' の取り方によらない）こと、''d'' は準同型であること、そして得られる長い列が実際に完全であること。

それが為されれば、定理はアーベル群や環上の加群に対して証明される。一般の場合には、議論は元の代わりに射や cancellation の性質の言葉で言い直されるであろう。あるいは、[[ミッチェルの埋め込み定理]]の助けを借りてもよい。

== 自然性 ==
応用において、長完全列が（[[自然変換]]の意味で）「自然」であることを示す必要がしばしばある。これは蛇の補題によってできた列の自然性から従う。

:[[File:Snake lemma nature.svg|commutative diagram with exact rows]]
上の図式が可換で行が完全であるとすれば、蛇の補題を「手前」と「奥」で2回適用することができ、2つの長完全列が得られる。これらは下の形の可換図式によって関係している。
:[[File:snake lemma nat2.svg|commutative diagram with exact rows]]

== 大衆文化において ==
* 蛇の補題の証明は1980年の映画 ''[[:en:It's My Turn (film)|It's My Turn]]'' の最初に[[ジル・クレイバーグ]]によって教えられている。

== 関連項目 ==
* [[:en:List of lemmas]]

== 参考文献 ==
* [[Serge Lang]]: ''Algebra''. 3rd edition, Springer 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, pp.&nbsp;157–159 ({{Google books|Fge-BwqhqIYC|online copy|page=157}}) 
* [[Michael Francis Atiyah|M. F. Atiyah]]; [[Ian G. Macdonald|I. G. Macdonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra''. Oxford 1969, Addison–Wesley Publishing Company, Inc. ISBN 0-201-00361-9.
*P. Hilton; U. Stammbach: ''A course in homological algebra.'' 2. Auflage, Springer Verlag, Graduate Texts in Mathematics, 1997, ISBN 0-387-94823-6, p.&nbsp;99 ({{Google books|2VNrHuweuokC|online copy|page=99}})

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Snake Lemma|urlname=SnakeLemma}}
*[http://planetmath.org/encyclopedia/SnakeLemma.html Snake Lemma] at [[PlanetMath]]
*[https://www.youtube.com/watch?v=etbcKWEKnvg Proof of the Snake Lemma] in the film [https://www.imdb.com/title/tt0080936/ It's My Turn]

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