行列単位のソースを表示

{{distinguish|単位行列}}
数学、特に[[線型代数学]]や、[[環 (数学)|環]]と[[環上の加群|加群]]の理論において、'''行列単位'''（ぎょうれつたんい、{{lang-en-short|matrix unit}}）とは、ただ 1 つの成分が 1 で残りの成分が全て 0 である[[行列]]のことである。(''i'', ''j'') 成分が 1 の行列単位は ''E<sub>ij</sub>'' などと書かれる。

[[可換体|体]] ''K'' 係数の ''n'' × ''m'' 行列全体は ''K''-[[ベクトル空間]]であり、''nm'' 個の行列単位はその基底となる。

行列 ''M'' = (''m<sub>ij</sub>'') に対して、''E<sub>ij</sub>&thinsp;M&thinsp;E<sub>kl</sub>'' = ''m<sub>jk</sub>&thinsp;E&thinsp;<sub>il</sub>'' が成り立つ（ただし行列のサイズは積が定義されるようなものとする）。とくに、行列単位同士の積について、''E<sub>ij</sub>&thinsp;E<sub>kl</sub>'' は ''j'' = ''k'' のとき ''E<sub>il</sub>'' で、''j'' ≠ ''k'' のとき [[零行列|0]] である：
:<math>E_{ij} E_{kl} = \delta_{jk} E_{il}</math>
ここで、δ<sub>''jk''</sub> は[[クロネッカーのデルタ]]である。

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