行列積状態のソースを表示

'''行列積状態''' (ぎょうれつせきじょうたい、{{lang-en|matrix product state}})とは以下の形で書かれた量子多体系の[[純粋状態]]である:

: <math>
|\Psi\rangle = \sum_{\{s\}} \text{Tr}[A_1^{(s_1)} A_2^{(s_2)} \cdots A_N^{(s_N)}] |s_1 s_2 \ldots s_N\rangle
</math>

ここで<math>A_i^{(s_i)}</math>は次元が<math>\chi</math>の複素[[正方行列]]である(<math>\chi</math>は局所次元と呼ばれる)。 添字<math>s_i</math>は<math>i</math>番目の粒子の基底を動く。[[量子ビット]]の場合は<math>s_i\in \{0,1\}</math>である。次元がdの量子ビットでは、 <math>s_i\in \{0,1,\ldots,d-1\}</math>である。

行列積状態は特に、一次元量子スピン系（{{仮リンク|量子ハイゼンベルク模型|en|Heisenberg model (quantum)}}など）の[[基底状態]]を表現するのに有用である。
パラメータ<math>\chi</math>は粒子間の[[量子もつれ]]に関係している。特に、もし量子状態が全くもつれていないなら、 <math>\chi = 1</math>の行列積状態で記述できる。

[[並進対称性]]がある状態については、局所テンソルを次のように選ぶことができる:
: <math>
A_1^{(s)} = A_2^{(s)} = \cdots = A_N^{(s)} \equiv A^{(s)}.
</math>

一般的にどんな状態も<math>\chi</math>が粒子数''N''に対して指数関数的に大きくなることを許せば行列積状態で記述できる。 しかしながら、 行列積状態は<math>\chi</math> が小さいとき、例えば粒子数に依存しないとき実用的である。 少数の例外を除いて (一部の[[#Examples|例]]を後ほど述べる)、このようなことは可能ではないが、多くの場合で良い近似を与える。

行列積状態への分解は一意的でない。  解説は<ref name="PerezGarcia:2006" /> や<ref name="Verstraete:2008"/>を参考のこと。有限オートマトンの文脈では<ref name="Crosswhite:2008" />を参考のこと。  テンソルネットワークのグラフ的表現に重点をおいた解説は<ref name="Biamonte:2018"/>を参考のこと。 

== 行列積状態の構成 ==
量子状態の行列積表現を得る一つの方法は{{仮リンク|シュミット分解|en|Schmidt decomposition}}を {{math|<var>N</var> − 1}}回繰り返すことである。  あるいはその量子多体状態を生成する[[量子回路]]がわかっているなら、 その回路の行列積演算子から行列積状態を得ることもできる。 行列積演算子の局所テンソルは4つのインデックスを持つ。  行列積状態の局所テンソルは、行列積演算子の物理自由度を持つ片方のインデックスを量子回路に入力される状態と縮約を行うことで得られる。

== 例 ==

=== グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態===
{{math|<var>N</var>}}粒子系の[[グリーンバーガー＝ホーン＝ツァイリンガー状態]]は {{math|<var>N</var>}}個のゼロと{{math|<var>N</var>}}個の1の[[重ね合わせ]]である。
:<math>|\mathrm{GHZ}\rangle = \frac{|0\rangle^{\otimes N} + |1\rangle^{\otimes N}}{\sqrt{2}}</math>

これは規格化因子を除き、以下のように行列積状態で書ける。
:<math>
A^{(0)} =
\begin{bmatrix}
1 & 0\\
0 & 0
\end{bmatrix}
\quad
A^{(1)} =
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
0 & 1
\end{bmatrix},
</math>
もしくは<ref name="Crosswhite:2008" />の記法を用いて、
:<math>
A =
\begin{bmatrix}
| 0 \rangle & 0\\
0 & | 1 \rangle
\end{bmatrix}.
</math>
と書ける。

この記法では (複素数の代わりに)状態ベクトルを成分にもつ行列を用い、行列の積をとるときは(複素数の積の代わりに)[[テンソル積]]を用いる。このような行列は、
:<math>A \equiv | 0 \rangle A^{(0)} + | 1 \rangle A^{(1)} + \ldots + | d-1 \rangle A^{(d-1)}.</math>
のように構成される。
テンソル積は[[交換法則]]を満たさないことに注意すること。

例えば、 2つの行列''A''の積は
:<math>
A A=
\begin{bmatrix}
| 0 0 \rangle & 0\\
0 & | 1 1 \rangle
\end{bmatrix}.
</math>

である。

=== W状態 ===
{{仮リンク|W状態|en|W state}}は[[ハミング重み]]が1であるすべての状態の重ね合わせである。 この状態は並べ替えに対して不変であるが、 最も単純な行列積状態はそうなっていない<ref name="PerezGarcia:2006" />。 以下は表現の一例である。
:<math>
A_1 =
\begin{bmatrix}
| 0 \rangle  & 0\\
| 0 \rangle & | 1 \rangle
\end{bmatrix}
\quad
A_2 =
\begin{bmatrix}
| 0 \rangle  & | 1 \rangle\\
0 & | 0 \rangle
\end{bmatrix}
\quad
A_3 =
\begin{bmatrix}
| 1 \rangle & 0\\
0 & | 0 \rangle
\end{bmatrix}
</math>

=== AKLT模型 ===
{{仮リンク|AKLT模型|en|AKLT model}}の基底状態は、行列積状態の歴史的に重要な例である<ref name="Affleck:1987" />。
次のように局所テンソルを選ぶことで表現することができる<ref name="Schollwoeck:2011" />。

: <math>A^{+} = \sqrt{\frac{2}{3}}\ \sigma^{+}
=
\begin{bmatrix}
0 & \sqrt{2/3}\\
0 & 0
\end{bmatrix}
</math>

: <math>A^{0} = \frac{-1}{\sqrt{3}}\ \sigma^{z}
=
\begin{bmatrix}
-1/\sqrt{3} & 0\\
0 & 1/\sqrt{3}
\end{bmatrix}
</math>

: <math>A^{-} = -\sqrt{\frac{2}{3}}\ \sigma^{-}
=
\begin{bmatrix}
0 & 0\\
-\sqrt{2/3} & 0
\end{bmatrix}
</math>

ここで<math>\sigma</math>は[[パウリ行列]]である。

あるいは、
: <math>
A =
\frac{1}{\sqrt{3}}
\begin{bmatrix}
- | 0 \rangle  & \sqrt{2} | + \rangle\\
- \sqrt{2} | - \rangle & | 0 \rangle
\end{bmatrix}
</math>
である。

=== マジュンダー・ゴーシュ模型 ===
{{仮リンク|マジュンダー・ゴーシュ模型|en|Majumdar–Ghosh model}}の基底状態は行列積状態で以下のように書ける。

:<math>
A =
\begin{bmatrix}
0 & | \uparrow \rangle & | \downarrow \rangle \\
\frac{-1}{\sqrt{2}} | \downarrow \rangle & 0 & 0 \\
\frac{1}{\sqrt{2}} | \uparrow \rangle & 0 & 0
\end{bmatrix}.
</math>
:このようになる。

== 関連項目 ==
* [[密度行列繰り込み群法]]
* [[変分法]]
* [[くりこみ群]]
* [[マルコフ連鎖]]

== 参考文献 ==
{{Reflist|refs=<ref name="Affleck:1987">
{{cite journal
 |last1=Affleck |first1=Ian
 |last2=Kennedy |first2=Tom
 |last3=Lieb |first3=Elliott H.
 |last4=Tasaki |first4=Hal
 |year=1987
 |title=Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets
 |journal=[[Physical Review Letters]]
 |volume=59 |issue=7 |pages=799–802
 |bibcode=1987PhRvL..59..799A
 |doi=10.1103/PhysRevLett.59.799
 |pmid=10035874
}}</ref><ref name="PerezGarcia:2006">
{{cite arxiv
 |last1=Perez-Garcia |first1=D.
 |last2=Verstraete |first2=F.
 |last3=Wolf |first3=M.M.
 |year=2008
 |title=Matrix product state representations
 |eprint=quant-ph/0608197
}}</ref><ref name="Verstraete:2008">
{{cite journal
 |last1=Verstraete |first1=F.
 |last2=Murg |first2=V.
 |last3=Cirac |first3=J.I.
 |year=2008
 |title=Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems
 |journal=Advances in Physics
 |volume=57 |issue=2 |pages=143–224
 |doi=10.1080/14789940801912366
 |arxiv = 0907.2796 |bibcode = 2008AdPhy..57..143V }}</ref><ref name="Crosswhite:2008">
{{cite journal
 |last1=Crosswhite |first1=Gregory
 |last2=Bacon |first2=Dave
 |year=2008
 |title=Finite automata for caching in matrix product algorithms
 |journal=[[Physical Review A]]
 |volume=78 |issue=1 |pages=012356
 |doi=10.1103/PhysRevA.78.012356
 |arxiv=0708.1221 |bibcode = 2008PhRvA..78a2356C }}</ref><ref name="Schollwoeck:2011">
{{cite journal
 |last1=Schollwöck |first1=Ulrich
 |year=2011
 |title=The density-matrix renormalization group in the age of matrix product states
 |journal=[[Annals of Physics]]
 |volume=326 |pages=96–192
 |arxiv=1008.3477
 |bibcode=2011AnPhy.326...96S
 |doi=10.1016/j.aop.2010.09.012
}}</ref>
<!--<ref name="Orus:2013">
{{cite journal
 |last1=Orus |first1=Roman
 |year=2013
 |title=A Practical Introduction to Tensor Networks: Matrix Product States and Projected Entangled Pair States
 |journal=Annals of Physics
 |arxiv = 1306.2164 |bibcode = 2014AnPhy.349..117O
 |doi=10.1016/j.aop.2014.06.013
 |volume=349
 |pages=117–158}}</ref>-->
<!--<ref name="BridgemanChubb:2017">
{{cite journal
 |last1=Bridgeman |first1=Jacob
 |last2=Chubb     |first2=Christopher
 |year=2017
 |title=Hand-waving and Interpretive Dance: An Introductory Course on Tensor Networks
 |journal=J. Phys. A: Math. Theor.
 |arxiv = 1603.03039 
 |doi=10.1088/1751-8121/aa6dc3
 |volume=50
 |pages=223001}}</ref>-->

<ref name="Biamonte:2018">
{{cite journal
 |last1=Biamonte |first1=Jacob
 |last2=Bergholm     |first2=Ville
 |year=2017
 |title=Tensor Networks in a Nutshell
 |journal= 
 |arxiv = 1708.00006
 |doi=
 |volume=
 |pages=35}}</ref>
}}

== 外部リンク ==
* [http://physics.stackexchange.com/questions/27043/state-of-matrix-product-states State of Matrix Product States – Physics Stack Exchange]
* [https://arxiv.org/abs/1306.2164 A Practical Introduction to Tensor Networks: Matrix Product States and Projected Entangled Pair States]<!--<ref name="Orus:2013" />-->
* [https://arxiv.org/abs/1603.03039 Hand-waving and Interpretive Dance: An Introductory Course on Tensor Networks]<!--<ref name="BridgemanChubb:2017" />-->
* [https://arxiv.org/abs/1708.00006 Tensor Networks in a Nutshell: An Introduction to Tensor Networks]<!--<ref name="Biamonte:2018" />-->

{{デフォルトソート:きようれつせきしようたい}}
[[Category:量子力学]]
[[Category:統計力学]]
[[Category:理論物理学]]