行列群のソースを表示

[[数学]]において、'''行列群''' (matrix group) は（通常は前もって固定される）ある[[可換体|体]] ''K''上の ''n'' 次[[可逆行列|可逆]][[正方行列|行列]]からなる[[群 (数学)|群]] ''G'' で、[[行列の乗法|行列の積]]と逆の演算をもつ。より一般に、[[可換]][[環 (数学)|環]] ''R'' 上の ''n'' 次可逆行列を考えることができる。（行列のサイズは有限に制限されていることに注意。なぜならば任意の群は任意の体上の無限行列の群として表現することができるからだ。）'''線型群''' (linear group) は体 ''K'' 上の行列群に同型な抽象群である、言い換えれば、''K'' 上の[[忠実表現|忠実]]な有限次元[[群の表現|表現]]を持つ。

任意の[[有限群]]は線型である。これは[[ケイリーの定理]]を使って[[置換行列]]により実現できることによる。{{仮リンク|無限群論|label=無限群|en|infinite group theory<!-- リダイレクト先の「[[:en:Group theory]]」は、[[:ja:群論]] とリンク -->|preserve=1}}の中で、線型群は面白く扱いやすいクラスをなす。線型でない群の例はすべての「十分大きい」群を含む（例：無限集合の置換からなる無限対称群）。

==基本的な例==

[[可換環]] ''R'' 上の ''n'' 次正方行列全体の集合 ''M''<sub>''n''</sub>(''R'') はそれ自身行列の加法と乗法の下で環である。''M''<sub>''n''</sub>(''R'') の[[単元群]]は環 ''R'' 上の[[一般線型群]]と呼ばれ、''GL''<sub>''n''</sub>(''R'') あるいは ''GL''(''n'', ''R'') と表記される。すべての行列群は一般線型群の部分群である。

== 古典群 ==
{{main|{{仮リンク|古典群|en|Classical group}}}}
とりわけ面白い行列群はいわゆる{{仮リンク|古典群|en|classical group}}である。行列群の基礎環が実数のとき、これらの群は{{仮リンク|古典リー群|en|classical Lie group}}である。基礎環が有限体であるとき古典群は{{仮リンク|リー型の群|en|groups of Lie type}}である。これらの群は[[有限単純群の分類]]において重要な役割を果たす。

== 行列群としての有限群 ==
すべての有限群はある行列群と同型である。これはすべての有限群はある[[置換群]]と同型であると述べる[[ケイリーの定理]]と似ている。同型の性質は推移的であるので、置換群から行列群をどのように構成するかを考えるだけでよい。

''G'' を ''n'' 点 (Ω = {1, 2, …, n}) 上の置換群とし {''g''<sub>1</sub>, …, ''g''<sub>''k''</sub>} を ''G'' の生成集合とする。複素数体上の一般線型群 ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') は自然にベクトル空間 '''C'''<sup>''n''</sup> に作用する。''B'' = {''b''<sub>1</sub>, …, ''b''<sub>''n''</sub>} を '''C'''<sup>''n''</sup> の標準基底とする。各 ''g''<sub>''i''</sub> に対して ''M''<sub>''i''</sub> &isin; ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') を各 ''b''<sub>''j''</sub> を ''b''<sub>''g''<sub>''i''</sub>(''j'')</sub> に送る行列とする。つまり、置換 ''g''<sub>''i''</sub> が点 ''j'' を ''k'' に送るならば、''M''<sub>''i''</sub> は基底ベクトル ''b''<sub>''j''</sub> を ''b''<sub>''k''</sub> に送る。''M'' を {''M''<sub>1</sub>, …, ''M''<sub>''k''</sub>} で生成される ''GL''<sub>''n''</sub>('''C''') の部分群とする。すると ''G'' の Ω 上の[[群作用|作用]]はちょうど ''M'' の ''B'' 上の作用と同じである。各 ''g''<sub>''i''</sub> を ''M''<sub>''i''</sub> に送る対応は同型に拡張され、したがってすべての群は行列群に同型であることが証明できる。

''M'' は成分が 0 か 1 の行列しか含まないので体（上の場合 '''C'''）は無関係であることに注意しよう。0 と 1 はすべての体に存在するので任意の体に対して同じ構成をができる。

例として、''G'' = ''S''<sub>3</sub>、3点上の[[対称群]]とする。''g''<sub>1</sub> = (1, 2, 3) と ''g''<sub>2</sub> = (1, 2) とする。このとき

: <math>
M_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 & 1 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \end{bmatrix}
</math>
: <math>
M_2 = \begin{bmatrix}
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 \end{bmatrix}
</math>

''M''<sub>1</sub>''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>, ''M''<sub>1</sub>''b''<sub>2</sub> = ''b''<sub>3</sub> そして ''M''<sub>1</sub>''b''<sub>3</sub> = ''b''<sub>1</sub>.  同様に、''M''<sub>2</sub>''b''<sub>1</sub> = ''b''<sub>2</sub>, ''M''<sub>2</sub>''b''<sub>2</sub> = ''b''<sub>1</sub> そして ''M''<sub>2</sub>''b''<sub>3</sub> = ''b''<sub>3</sub>.

== 表現論と指標理論 ==

線型変換と行列は（一般的に言って）数学においてよく理解されている対象であり、群の研究において広く使われてきた。とくに[[群の表現|表現論]]は群から行列群への[[準同型]]を研究し、[[指標理論]]は表現のトレースによって与えられる群から体への写像を研究する。

== 例 ==
''{{仮リンク|リー群一覧|en|table of Lie groups}}、{{仮リンク|有限単純群一覧|en|list of finite simple groups}}、{{仮リンク|単純リー群一覧|en|list of simple Lie groups}}、{{仮リンク|推移的有限線型群一覧|en|list of transitive finite linear groups}}を参照''
*任意の {{Mvar|n}} について、[[ブレイド群]] ''B<sub>n</sub>'' は線型である。これは2000年に証明されるまで60年以上にわたって未解決であった<ref>{{citation|url=http://www.ams.org/jams/2001-14-02/S0894-0347-00-00361-1/S0894-0347-00-00361-1.pdf|title=Braid groups are linear|author=Stephen J. Bigelow|volume=14|number=2|pages=471–486|date=December 13, 2000|journal=Journal of the American Mathematical Society}}</ref>。

==参考文献==
* Brian C. Hall ''Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction'', 1st edition, Springer, 2006. ISBN 0-387-40122-9
*Wulf Rossmann, ''Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups (Oxford Graduate Texts in Mathematics)'', Oxford University Press ISBN 0-19-859683-9.
*''La géométrie des groupes classiques'', J. Dieudonné. Springer, 1955. ISBN 1-114-75188-X
*''The classical groups'', H. Weyl, ISBN 0-691-05756-7
{{reflist}}

==読書案内==
* {{cite book | first=D.A. | last=Suprunenko | title=Matrix groups | publisher=[[American Mathematical Society]] | year=1976 | series=Translations of mathematical monographs | isbn=0-8218-1595-4 | volume=45 | mr = 390025 | zbl = 0317.20028 }}

==外部リンク==
*{{SpringerEOM | title=Linear group | id=Linear_group }}

{{DEFAULTSORT:きようれつくん}}
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