行空間のソースを表示

{{脚注の不足|date=2022年12月}}
[[File:Matrix Rows.svg|thumb|right|[[行列]]の行ベクトル]]

[[数学]]の[[線型代数学]]の分野における、ある[[行列]]の'''行空間'''（ぎょうくうかん、{{Lang-en-short|row space}}）とは、その行列の各[[行ベクトル]]の[[線型結合]]として起こり得るすべてのものからなる集合のことを言う。''K'' を（[[実数]]や[[複素数]]の全体などのような）[[可換体|体]]とする。''K'' に属する成分からなる ''m''&#8239;&times;&#8239;''n'' 行列の行空間は、''n''-空間 ''K''<sup>''n''</sup> の[[線型部分空間]]である。行空間の[[次元 (線型代数学)|次元]]は、その行列の[[行列の階数|'''行ランク''']]と呼ばれる<ref group="注">この記事でも述べられているように、線型代数学は非常によく発達した数学の学問分野であり、多くの関連文献が存在する。この記事で述べられているほとんど全ての内容は、Lay 2005、Meyer 2001 および Strang 2005 に見られる。</ref>。

[[整数]]の全体などのような[[環 (数学)|環]] ''K'' についての行列に対しても、同様の定義が存在する<ref group="注">環に対する定義と性質は、「[[ベクトル空間|''n''-次ベクトル空間]] ''K''<sup>''n''</sup>」を「[[自由加群|左自由加群]]」で置き換え、「線型部分空間」を「[[環上の加群|部分加群]]」で置き換えることで、同様なものとして成立する。非可換環に対しては、この行空間はしばしば「左行空間」として区別される。</ref>。

== 定義 ==
''K'' を[[スカラー]]の[[可換体|体]]とする。''A'' を、行ベクトル '''r'''<sub>1</sub>,&#8239;'''r'''<sub>2</sub>,&#8239;...&#8239;,&#8239;'''r'''<sub>''m''</sub> を伴う ''m''&#8239;&times;&#8239;''n'' 行列とする。それらの行ベクトルの[[線型結合]]は、次の形式で記述される任意のベクトルで与えられる：
:<math>c_1 \mathbf{r}_1 + c_2 \mathbf{r}_2 + \cdots + c_m \mathbf{r}_m,</math>
ここで ''c''<sub>1</sub>,&#8239;''c''<sub>2</sub>,&#8239;...&#8239;,&#8239;''c<sub>m</sub>'' はスカラーである。ベクトル '''r'''<sub>1</sub>,&#8239;...&#8239;,&#8239;'''r'''<sub>''m''</sub> の線型結合として起こり得る全てのものからなる集合のことを、''A'' の'''行空間'''と呼ぶ。すなわち、''A'' の行空間は、ベクトル '''r'''<sub>1</sub>,&#8239;...&#8239;,&#8239;'''r'''<sub>''m''</sub> の[[線型包|張る部分空間]]である。

例えば、行列
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}</math>
に対し、その行ベクトルは '''r'''<sub>1</sub>&nbsp;=&nbsp;(1,&#8239;0,&#8239;2) および '''r'''<sub>2</sub>&nbsp;=&nbsp;(0,&#8239;1,&#8239;0) で与えられる。この '''r'''<sub>1</sub> と '''r'''<sub>2</sub> の線型結合は、
:<math>c_1 (1,0,2) + c_2 (0,1,0) = (c_1,c_2,2c_1) \,</math>
の形式で記述される任意のベクトルである。そのようなベクトルすべてからなる集合が、行列 ''A'' の行空間である。この場合の行空間は、方程式 ''z''&nbsp;=&nbsp;2''x'' を満たすようなベクトル (''x'',&#8239;''y'',&#8239;''z'')&nbsp;∈&nbsp;''K''<sup>3</sup> の集合で与えられる（[[デカルト座標]]を用いることで、この集合は[[3次元|3次元空間]]において原点を通る[[平面]]となる）。

同次[[線型方程式系]]を表す行列に対し、行空間はその系におけるすべての線型方程式によって構成される。

''A'' の列空間は、''A''<sup>T</sup> の行空間と等しい。

== 基底 ==
行空間は、[[行列の基本変形|行に関する基本変形]]には影響されない。このことから、行空間の[[基底 (線型代数学)|基底]]を見つけるために[[ガウスの消去法]]を使用することが可能となる。

例えば、行列
:<math>A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix} </math>
を考える。この行列の行は、行空間を[[線型包|張る]]が、それらは[[線型独立]]でないこともあり得る。そのような場合、それらは基底にはならない。ここでは行列 ''A'' の基底を見つけるために、[[行階段形]]へと ''A'' を書き下す：

'''r<sub>1</sub>'''、'''r<sub>2</sub>'''、'''r<sub>3</sub>''' は行列 ''A'' の各行を表す。
:<math>
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 2 & 7 & 4 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix} \underbrace{\sim}_{r_2-2r_1}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 5 & 2\end{bmatrix} \underbrace{\sim}_{r_3-r_1}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0\end{bmatrix} \underbrace{\sim}_{r_3-2r_2}
\begin{bmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} \underbrace{\sim}_{r_1-3r_2}
\begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0\end{bmatrix} 
</math>
行列が階段形になれば、そのときの非ゼロの行が行空間の基底となる。今回の場合、基底は {&nbsp;(1,&#8239;3,&#8239;2),&nbsp;(0,&#8239;1,&#8239;0)&nbsp;} となる。他にあり得る基底として、さらなる書き下しの結果、{&nbsp;(1,&#8239;0,&#8239;2),&nbsp;(0,&#8239;1,&#8239;0)&nbsp;} を得ることが出来る<ref group="注" name="example">
この例は、実数、[[有理数]]およびその他の[[代数体]]において有効となる。しかし、非ゼロの[[標数]]を持つ体や環については、必ずしも有効とはならない。</ref>。

この計算方法は、ベクトルの集合の張る部分空間の基底を見つけるために、一般的に用いられる。行列がさらに[[行階段形|行既約階段形]]へと簡略化されるなら、その結果として得られる基底は行空間により一意的に定められる。

== 次元 ==
{{main|行列の階数}}
行空間の[[次元 (線型代数学)|次元]]は、その行列の'''[[行列の階数|階数]]'''と呼ばれる。この数は、その行列から選ぶことの出来る線型独立な行の数の最大と等しい。例えば、上述の例の 3&#8239;&times;&#8239;3 行列の階数は 2 である<ref group="注" name="example"/>。

行列の階数はまた、[[列空間]]の次元とも等しい。[[零空間]]の次元は、その行列の'''退化次数'''（nullity）と呼ばれ、次の方程式によって行列の階数と関係付けられる：
:<math>\operatorname{rank}(A) + \operatorname{nullity}(A) = n.</math>
ここで ''n'' は行列 ''A'' の列の数である。この方程式は、[[階数・退化次数の定理]]として知られる。

== 零空間との関係 ==
行列 ''A'' の[[零空間]]は、''A'''''x'''&nbsp;=&nbsp;'''0''' が成立するようなすべてのベクトル '''x''' の集合として与えられる。行列 ''A'' とベクトル '''x''' の積は、ベクトルの[[ドット積]]を用いて次のように書くことが出来る：
:<math>A\mathbf{x} = \begin{bmatrix} \mathbf{r}_1 \cdot \mathbf{x} \\ \mathbf{r}_2 \cdot \mathbf{x} \\ \vdots \\ \mathbf{r}_m \cdot \mathbf{x} \end{bmatrix} </math>
ここで '''r'''<sub>1</sub>,&#8239;...&#8239;,&#8239;'''r'''<sub>''m''</sub> は ''A'' の行ベクトルである。したがって、''A'''''x'''&nbsp;=&nbsp;'''0''' が成立するための必要十分条件は、'''x''' が ''A'' の各行ベクトルと[[直交]]することであることが分かる。

''A'' の零空間は、''A'' の行空間の[[直交補空間]]であることが従う。例えば、三次元において、行空間が原点を通る平面であるなら、零空間は原点を通る垂線となる。このことは、[[階数・退化次数の定理]]の証明を与える（上節[[#次元|次元]]を参照）。

行空間と零空間は、行列 ''A'' に関わる[[線型代数学の基本定理|四つの基本部分空間]]の内の二つである（残りの二つは、[[列空間]]と'''左零空間'''である）。

== 余像との関係 ==
''V'' と ''W'' を[[ベクトル空間]]とするとき、[[線型変換]] ''T'':&nbsp;''V''&nbsp;→&nbsp;''W'' の[[核 (線型代数学)|核]]は、''T''('''v''')&nbsp;=&nbsp;'''0''' が成立するようなベクトル '''v'''&nbsp;∈&nbsp;''V'' の集合で与えられる。線型変換の核は、行列の零空間と同様の概念である。

''V'' が[[内積空間]]であるなら、その核の直交補空間は、行空間の一般化と見なすことが出来る。それはしばしば、''T'' の[[余像]]と呼ばれる。変換 ''T'' はその余像上で一対一であり、その余像は ''T'' の[[像 (数学)|像]]の上への[[同型]]である。

''V'' が内積空間でないなら、''T'' の余像は[[商線型空間|商空間]] ''V''&nbsp;/&nbsp;ker(''T'') として定義することが出来る。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}

== 参考文献 ==
* {{Citation
 | last = Axler
 | first = Sheldon Jay
 | date = 1997
 | title = Linear Algebra Done Right
 | publisher = Springer-Verlag
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-387-98259-0
}}
* {{Citation
 | last = Lay
 | first = David C.
 | date = August 22, 2005
 | title = Linear Algebra and Its Applications
 | publisher = Addison Wesley
 | edition = 3rd
 | isbn = 978-0-321-28713-7
}}
* {{Citation
 | last = Meyer
 | first = Carl D.
 | date = February 15, 2001
 | title = Matrix Analysis and Applied Linear Algebra
 | publisher = Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM)
 | isbn = 978-0-89871-454-8
 | url = http://www.matrixanalysis.com/DownloadChapters.html
}}
* {{Citation
 | last = Poole
 | first = David
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra: A Modern Introduction
 | publisher = Brooks/Cole
 | edition = 2nd
 | isbn = 0-534-99845-3
}}
* {{Citation
 | last = Anton
 | first = Howard
 | date = 2005
 | title = Elementary Linear Algebra (Applications Version)
 | publisher = Wiley International
 | edition = 9th
}}
* {{Citation
 | last = Leon
 | first = Steven J.
 | date = 2006
 | title = Linear Algebra With Applications
 | publisher = Pearson Prentice Hall
 | edition = 7th
}}

== 外部リンク ==
{{wikibooks|線型代数学・列空間と行空間}}
* {{MathWorld |title=Row Space |urlname=RowSpace}}
*{{aut|[[:en:Gilbert Strang|Gilbert Strang]]}}, [http://ocw.mit.edu/OcwWeb/Mathematics/18-06Spring-2005/VideoLectures/detail/lecture10.htm MIT Linear Algebra Lecture on the Four Fundamental Subspaces] at Google Video, from [[:en:MIT OpenCourseWare|MIT OpenCourseWare]]

{{Linear algebra}}
{{DEFAULTSORT:きようくうかん}}
[[Category:行列]]
[[Category:線型代数学]]
[[Category:数学に関する記事]]