表現論のソースを表示

{{要改訳}}
{{About|線型写像と行列による代数構造の表現の理論|他の原理による表現論|表現 (数学)}}

'''表現論'''（ひょうげんろん、{{lang-en-short|representation theory}}）とは、代数構造上の[[環上の加群|加群]]を[[ベクトル空間]]の[[線型変換]]として[[代数的構造|代数構造]]を表現することにより研究する数学の分野である<ref>表現論の古典的なテキストには {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} や {{Harvtxt|Serre|1977}} がある。他の優れた文献には {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} や {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}} がある。</ref>。その本質は、抽象的な代数的構造の元と演算を[[行列]]と[[行列#和・積|行列の和]]や[[行列の積]]で記述して具体的に表現することである。この記述法で扱われる代数的な対象には、[[群 (数学)|群]]や[[結合多元環|結合代数]]や[[リー代数]]がある。これらの中で最も有名で歴史的にも最初に現れたものは[[群の表現|群の表現論]]であり、群の要素は[[正則行列]]に対応づけられ、群の演算は行列の積として、表現されている<ref>有限群の表現論の歴史は、{{Harvtxt|Lam|1998}} を参照すること。代数群やリー群については、{{Harvtxt|Borel|2001}} を参照せよ。</ref>。
<!--{{About|the theory of representations of algebraic structures by linear transformations and matrices| representation theory in other disciplines|Representation (disambiguation){{!}}Representation}}

'''Representation theory''' is a branch of [[mathematics]] that studies [[abstract algebra|abstract]] [[algebraic structure]]s by ''representing'' their [[element (set theory)|elements]] as [[linear transformation]]s of [[vector space]]s, and studies 
[[Module (mathematics)|modules]] over these abstract algebraic structures.<ref>Classic texts on representation theory include {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}. Other excellent sources are {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}} and {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}.</ref> In essence, a representation makes an abstract algebraic object more concrete by describing its elements by [[matrix (mathematics)|matrices]] and the [[algebraic operation]]s in terms of [[matrix addition]] and [[matrix multiplication]]. The [[algebra]]ic objects amenable to such a description include [[group (mathematics)|groups]], [[associative algebra]]s and [[Lie algebra]]s. The most prominent of these (and historically the first) is the [[group representation|representation theory of groups]], in which elements of a group are represented by invertible matrices in such a way that the group operation is matrix multiplication.<ref>For the history of the representation theory of finite groups, see {{Harvtxt|Lam|1998}}. For algebraic and Lie groups, see {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>-->

表現論は、[[抽象代数学]]の問題を良く分かっている[[線型代数]]の問題に帰着させるので、強力なツールである<ref name=linalg>[[ベクトル空間]]や[[線型代数]]には多くの教科書がある。進んだ扱いをしている教科書は、{{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}}を参照。</ref>。さらに、群が表現されているベクトル空間が無限次元になることや[[ヒルベルト空間]]になることも可能であり、その場合には、[[解析学|函数解析]]の方法が群の理論に適用できる<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}.</ref>。表現論は[[物理学]]でも重要であり、例えば、物理系のもつ[[対称群]]が、どのように物理系を記述する方程式の解に作用するかを記述する<ref name=Sternberg>{{Harvnb|Sternberg|1994}}.</ref>。

表現論の著しい特徴は、数学での広がりにある。そこには、2つの面がある。ひとつの面は、表現論の応用が多岐にわたることであり<ref>{{Harvnb|Lam|1998|p=372}}.</ref>、表現論は代数への影響のみならず、以下のような応用も持っている。
* [[調和解析]]を通して[[フーリエ解析]]を広く一般化する<ref name=Folland>{{Harvnb|Folland|1995}}.</ref> 
* {{仮リンク|不変式論|en|invariant theory}}と[[エルランゲン・プログラム]]を通して深く[[幾何学]]とつながっている<ref>{{Harvnb|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvnb|Olver|1999}}, {{Harvnb|Sharpe|1997}}.</ref>。
* さらに、数論へは[[保型形式]]や[[ラングランズ・プログラム]]を通して深く影響を持っている<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}, {{Harvnb|Gelbert|1984}}.</ref>。
<!--Representation theory is a powerful tool because it reduces problems in [[abstract algebra]] to problems in [[linear algebra]], a subject that is well understood.<ref name=linalg>There are many textbooks on [[vector spaces]] and [[linear algebra]]. For an advanced treatment, see {{Harvtxt|Kostrikin|Manin|1997}}.</ref> Furthermore, the vector space on which a group (for example) is represented can be infinite-dimensional, and by allowing it to be, for instance, a [[Hilbert space]], methods of [[mathematical analysis|analysis]] can be applied to the theory of groups.<ref>{{Harvnb|Sally|Vogan|1989}}.</ref> Representation theory is also important in [[physics]] because, for example, it describes how the [[symmetry group]] of a physical system affects the solutions of equations describing that system.<ref name=Sternberg>{{Harvnb|Sternberg|1994}}.</ref>

A striking feature of representation theory is its pervasiveness in mathematics. There are two sides to this. First, the applications of representation theory are diverse:<ref>{{Harvnb|Lam|1998|p=372}}.</ref> in addition to its impact on algebra, representation theory:
* illuminates and vastly generalizes [[Fourier analysis]] via [[harmonic analysis]],<ref name=Folland/> 
* is deeply connected to [[geometry]] via [[invariant theory]] and the [[Erlangen program]],<ref>{{Harvnb|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvnb|Olver|1999}}, {{Harvnb|Sharpe|1997}}.</ref>
* has a profound impact in number theory via [[automorphic form]]s and the [[Langlands program]].<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}, {{Harvnb|Gelbert|1984}}.</ref>-->

もうひとつの面は、表現論へのアプローチの広がりである。同じ対象が[[代数幾何学]]、[[環上の加群|加群の理論]]、[[解析的整数論]]、[[微分幾何学]]、[[作用素論|作用素理論]]、{{仮リンク|代数的組み合わせ論|en|algebraic combinatorics}}(algebraic combinatorics)、[[位相幾何学|トポロジー]]の方法で研究できる<ref>See the previous footnotes and also {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>。

表現論の成功は、多くの一般化を生み出した。その一般的な理論は[[圏論]]の中にある<ref name=SSA>{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}.</ref>。適用する代数的対象を特別な圏として、対象のなす圏から{{仮リンク|ベクトル空間の圏|en|category of vector spaces|redirect=1}}(category of vector spaces)への[[函手]]を表現とみなすことができる。この記述には 2つの明白な一般化がある。ひとつは代数的対象をより一般的な圏により置き換えることが可能であり、第二には、ベクトル空間のなす圏を別の良く知られた圏に置き換えることが可能である。
<!--'''表現'''(representation)は、'''{{仮リンク|モノイドの表現|en|Presentation of a monoid}}'''(presentation of a monoid)と混乱しないこと。-->
<!--The second aspect is the diversity of approaches to representation theory. The same objects can be studied using methods from [[algebraic geometry]], [[module theory]], [[analytic number theory]], [[differential geometry]], [[operator theory]], [[algebraic combinatorics]] and [[topology]].<ref>See the previous footnotes and also {{Harvtxt|Borel|2001}}.</ref>

The success of representation theory has led to numerous generalizations. One of the most general is in [[category theory|categorical one]].<ref name=SSA>{{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}.</ref> The algebraic objects to which representation theory applies can be viewed as particular kinds of categories, and the representations as [[functor]]s from the object category to the [[category of vector spaces]]. This description points to two obvious generalizations: first, the algebraic objects can be replaced by more general categories; second the target category of vector spaces can be replaced by other well-understood categories.

A ''representation'' should not be confused with a ''[[Presentation of a monoid|presentation]]''.-->

==定義と概念==

V を[[可換体|体]] '''F''' 上の[[ベクトル空間]]とする<ref name=linalg/>。例えば、V が '''R'''<sup>n</sup> や '''C'''<sup>n</sup> のときは、それぞれ、[[実数]]や[[複素数]]上の[[列ベクトル]]の標準的な n-次元空間である。この場合、表現論の考え方は、[[抽象代数学|抽象的な代数構造]]を実数や複素数の n × n [[行列]]を使って具体化することである。
<!--==Definitions and concepts==

Let ''V'' be a [[vector space]] over a [[field (mathematics)|field]] '''F'''.<ref name=linalg/> For instance, suppose ''V'' is '''R'''<sup>''n''</sup> or '''C'''<sup>''n''</sup>, the standard ''n''-dimensional space of [[column vector]]s over the [[real number|real]] or [[complex number]]s respectively. In this case, the idea of representation theory is to do [[abstract algebra]] concretely by using ''n'' &times; ''n'' [[matrix (mathematics)|matrices]] of real or complex numbers.-->

このことが可能な主要な代数的対象は 3種類あり、[[群 (数学)|群]], [[結合多元環|結合代数]]、[[リー代数]]である<ref>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}, {{Harvnb|Humphreys|1972}}.</ref>。
* n × n の'''[[正則行列]]'''（可逆行列）全体は、[[行列の積]]の下に群をなし、[[群の表現|群の表現論]]は、群の元を正則行列として「表現」することにより（群自体を）調べることができる。
* 行列の和と積は、すべての n × n の行列の集合を結合代数とし、したがって、対応する[[結合代数の表現|結合代数の表現論]](representation theory of associative algebras)が存在する。
* 行列の積 MN を行列の[[交換子]] MN &minus; NM に置き換えると、n × n の行列のリー代数となるので、[[リー代数の表現|リー代数の表現論]]が導かれる。

実数体や複素数体の場合は、任意の体 '''F''' と '''F''' 上の任意のベクトル空間へ拡張され、行列を[[線形写像]]で置き換え、行列の積を[[写像の合成]]で置き換える。V の[[線型写像#線型写像の空間|自己同型]]と群 [[一般線型群#定義|GL(V,'''F''')]] へ一般化し、また、V のすべての自己準同型の結合代数 End<sub>'''F'''</sub>(V) と対応するリー代数 '''gl'''(V,'''F''') へ一般化される。
<!--There are three main sorts of [[algebra]]ic objects for which this can be done: [[group (mathematics)|groups]], [[associative algebra]]s and [[Lie algebra]]s.<ref>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvnb|Simson|Skowronski|Assem|2007}}, {{Harvnb|Humphreys|1972}}.</ref>
* The set of all ''[[invertible matrix|invertible]]'' ''n'' &times; ''n'' matrices is a group under [[matrix multiplication]] and the [[group representation|representation theory of groups]] analyses a group by describing ("representing") its elements in terms of invertible matrices.
* Matrix addition and multiplication make the set of ''all'' ''n'' &times; ''n'' matrices into an associative algebra and hence there is a corresponding [[representation of an associative algebra|representation theory of associative algebras]].
* If we replace matrix multiplication ''MN'' by the matrix [[commutator]] ''MN'' &minus; ''NM'', then the ''n'' &times; ''n'' matrices become instead a Lie algebra, leading to a [[representation of a Lie algebra|representation theory of Lie algebras]].

This generalizes to any field '''F''' and any vector space ''V'' over '''F''', with [[linear map]]s replacing matrices and [[function composition|composition]] replacing matrix multiplication: there is a group [[general linear group#General linear group of a vector space|GL(''V'','''F''')]] of [[linear map#Endomorphisms and automorphisms|automorphism]]s of ''V'', an associative algebra End<sub>'''F'''</sub>(''V'') of all endomorphisms of ''V'', and a corresponding Lie algebra '''gl'''(''V'','''F''').-->

===定義===
{{See also|群の表現|[[代数の表現]]|リー代数の表現}}

表現の定義には 2つの方法がある<ref>このことについては、標準的な教科書、たとえば、{{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}}, {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvtxt|Gordon|Liebeck|1993}}, {{Harvtxt|Humphreys|1972}}, {{Harvtxt|Jantzen|2003}}, {{Harvtxt|Knapp|2001}}, {{Harvtxt|Serre|1977}} を参照.</ref>。表現を定義する第一の方法は、[[群の作用]]の考えを使い、行列の積により列ベクトル上へ行列を作用させる方法を一般化したものであり、ベクトル空間 V 上の[[群 (数学)|群]] G や結合代数やリー代数 A の表現は、次の 2つの性質（(i), (ii)）を満たす写像
:<math> \Phi\colon G\times V \to V \quad\text{or}\quad \Phi\colon A\times V \to V</math>
と定義する。
:(i) G の任意の元 g （あるいは、A の任意の元 a ）に対し、写像
::<math> \begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\
v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}</math>
::は、'''F''' 上で線型であること。
:(ii) Φ (g, v) に対し、記号 g ・ v を導入すると、G の任意の g<sub>1</sub> と g<sub>2</sub> と V の任意の v に対し、
::<math> (1)\quad e \cdot v = v </math>
::<math> (2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v </math>
::が成り立つこと。
:ここに e を G の[[単位元]]、g<sub>1</sub>g<sub>2</sub> は G の積である。結合代数に対しも同様なことが要求される。ただし、結合代数はいつも恒等元があるとは限らない。結合代数では、式 (1) は無視する。式 (2) は行列の積の抽象的な表現であり、この積は行列の交換子では成立せず、交換子の恒等元も存在しない。したがって、リー代数では、A の任意の元 x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub> と V の元 v に対し、
::<math> (2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v </math>
:となることのみが要求される。ここに [x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>] は、[[リー代数#定義|リーブラケット]]であり、行列の交換子 MN &minus; NM を一般化したものである。
<!--===Definition===
{{See also|group representation|algebra representation|Lie algebra representation}}

There are two ways to say what a representation is.<ref>This material can be found in standard textbooks, such as {{Harvtxt|Curtis|Reiner|1962}}, {{Harvtxt|Fulton|Harris|1991}}, {{Harvtxt|Goodman|Wallach|1998}}, {{Harvtxt|Gordon|Liebeck|1993}}, {{Harvtxt|Humphreys|1972}}, {{Harvtxt|Jantzen|2003}}, {{Harvtxt|Knapp|2001}} and {{Harvtxt|Serre|1977}}.</ref> The first uses the idea of an [[group action|action]], generalizing the way that matrices act on column vectors by matrix multiplication. A representation of a [[group (mathematics)|group]] ''G'' or (associative or Lie) algebra ''A'' on a vector space ''V'' is a map
:<math> \Phi\colon G\times V \to V \quad\text{or}\quad \Phi\colon A\times V \to V</math>
with two properties. First, for any ''g'' in ''G'' (or ''a'' in ''A''), the map
:<math> \begin{align}\varphi(g)\colon V& \to V\\
v & \mapsto \Phi(g, v)\end{align}</math>
is linear (over '''F''').  Second, if we introduce the notation ''g'' ・ ''v'' for Φ (''g'', ''v''), then for any ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub> in ''G'' and ''v'' in ''V'':
:<math> (1)\quad e \cdot v = v </math>
:<math> (2)\quad g_1\cdot (g_2 \cdot v) = (g_1g_2) \cdot v </math>
where ''e'' is the [[identity element]] of ''G'' and ''g''<sub>1</sub>''g''<sub>2</sub> is product in ''G''. The requirement for associative algebras is analogous, except that associative algebras do not always have an identity element, in which case equation (1) is ignored. Equation (2) is an abstract expression of the associativity of matrix multiplication. This doesn't hold for the matrix commutator and also there is no identity element for the commutator. Hence for Lie algebras, the only requirement is that for any ''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub> in ''A'' and ''v'' in ''V'':
:<math> (2')\quad x_1\cdot (x_2 \cdot v) - x_2\cdot (x_1 \cdot v) = [x_1,x_2] \cdot v </math>
where [''x''<sub>1</sub>, ''x''<sub>2</sub>] is the [[Lie algebra#Definition and first properties|Lie bracket]], which generalizes the matrix commutator ''MN'' &minus; ''NM''.-->

表現を定義する第二番目の方法は、G の元 g を線型写像 φ(g): V → V へ写すことを定義とする方法である。この写像は、
:<math> \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{for all }g_1,g_2 \in G \,\!</math>
を満たし、他の場合も同様である。この方法は、より抽象的であるが、この観点からは表現は以下のように統一的となる。
* ベクトル空間 V 上の群 G の表現は、[[群準同型]] φ: G → GL(V, '''F''') である。
* ベクトル空間 V 上の結合代数 A の表現は、{{仮リンク|代数準同型|en|algebra homomorphism}}(algebra homomorphism) φ: A → End<sub>'''F'''</sub>(V) である。
* ベクトル空間 V 上のリー代数の表現は、{{仮リンク|リー代数準同型|en|Lie algebra homomorphism|redirect=1}}(Lie algebra homomorphism) φ: '''a''' → '''gl'''(V, '''F''') である。
<!--The second way to define a representation focuses on the map ''φ'' sending ''g'' in ''G'' to a linear map ''φ''(''g''): ''V'' → ''V'', which satisfies
:<math> \varphi(g_1 g_2) = \varphi(g_1)\circ \varphi(g_2) \quad \text{for all }g_1,g_2 \in G \,\!</math>
and similarly in the other cases. This approach is both more concise and more abstract.
From this point of view:
* a representation of a group ''G'' on a vector space ''V'' is a [[group homomorphism]] ''φ'': ''G'' → GL(''V'','''F''');
* a representation of an associative algebra ''A'' on a vector space ''V'' is an [[algebra homomorphism]] ''φ'': ''A'' → End<sub>'''F'''</sub>(''V'');
* a representation of a Lie algebra '''a''' on a vector space ''V'' is a [[Lie algebra homomorphism]] ''φ'': '''a''' → '''gl'''(''V'','''F''').-->

===用語===

ベクトル空間 V を φ の'''表現空間'''(representation space)といい、その次元を（有限であれば）表現の'''次元'''と呼ぶ（たとえば<ref name="Serre 1977">{{Harvnb|Serre|1977}}</ref>、では'''次数'''と呼ばれている）。準同型 φ が文脈により明らかな場合は、V 自身を表現と呼ぶことが多い。明らかでない場合は、表現を (V, φ) と記す。

V が有限次元 n のとき、V の基底を選び、'''F'''<sup>n</sup> と V して、体 '''F''' に成分を持つ行列表現が得られる。

有効な表現、あるいは[[忠実表現]](faithful representation)とは、準同型 φ が[[単射的]]であるときの表現 (V, φ) をいう。
<!--===Terminology===

The vector space ''V'' is called the '''representation space''' of ''φ'' and its [[dimension of a vector space|dimension]] (if finite) is called the '''dimension''' of the representation (sometimes ''degree'', as in <ref name="Serre 1977">{{Harvnb|Serre|1977}}</ref>). It is also common practice to refer to ''V'' itself as the representation when the homomorphism ''φ'' is clear from the context; otherwise the notation (''V'',''φ'') can be used to denote a representation.

When ''V'' is of finite dimension ''n'', one can choose a [[basis (linear algebra)|basis]] for ''V'' to identify ''V'' with '''F'''<sup>''n''</sup> and hence recover a matrix representation with entries in the field '''F'''.

An effective or [[faithful representation]] is a representation (''V'',''φ'') for which the homomorphism ''φ'' is [[injective]].-->

=== 同変写像と同型 ===
{{See also|{{仮リンク|同変写像|en|Equivariant map}} }}

V と W を '''F''' 上のベクトル空間とし、それぞれへの群 G の表現を φ と ψ とする。V から W への同変写像は、線型写像 α: V → W であり、G の任意の元 g と V の任意の元 v に対し、
:<math> \alpha( g\cdot v ) = g \cdot \alpha(v)</math>
が成り立つ。このことを、写像 φ: G → GL(V) と ψ: G → GL(W) でいうと、G のすべての元 g に対し、
:<math> \alpha\circ \phi(g) = \psi(g)\circ \alpha </math>
を意味する。

結合代数やリー代数の表現の同変写像も同様に定義される。α が可逆のときに、[[同型]]と呼ばれ、V と W（より詳細には、φ と ψ）は、'''同型表現'''(isomorphic representations)という。

同型表現は、すべての実際の目的に対し同一であり、表現される群や代数の同一な情報をもたらす。したがって、表現理論は[[違いを除いて|同型を同一視して]]表現を分類する研究である。
<!--=== Equivariant maps and isomorphisms ===
{{See also|Equivariant map}}

If ''V'' and ''W'' are vector spaces over '''F''', equipped with representations ''φ'' and ''ψ'' of a group ''G'', then an equivariant map from ''V'' to ''W''  is a linear map ''α'': ''V'' → ''W'' such that
:<math> \alpha( g\cdot v ) = g \cdot \alpha(v)</math>
for all ''g'' in ''G'' and ''v'' in ''V''. In terms of ''φ'': ''G'' → GL(''V'') and ''ψ'': ''G'' → GL(''W''), this means
:<math> \alpha\circ \phi(g) = \psi(g)\circ \alpha </math>
for all ''g'' in ''G''.

Equivariant maps for representations of an associative or Lie algebra are defined similarly. If ''α'' is invertible, then it is said to be an [[isomorphism]], in which case ''V'' and ''W'' (or, more precisely, ''φ'' and ''ψ'') are ''isomorphic representations''.

Isomorphic representations are, for all practical purposes, "the same": they provide the same information about the group or algebra being represented. Representation theory therefore seeks to classify representations "[[up to isomorphism]]".-->

===部分表現、商、既約表現===
{{See also|{{仮リンク|既約 (数学)|en|Irreducible (mathematics)}}|[[単純加群]] }}

(W, ψ) を群 G の表現とする。すべての v ∈ V に対し g ・ v ∈ V となるという意味（[[ジャン＝ピエール・セール|セール]]<ref name="Serre 1977"/>は、このようなの V を '''G の下に安定'''と呼んだ）で、V が G の作用により不変な W の線型部分空間であるとき、V を'''部分表現'''(subrepresentation)と呼ぶ。φ(g) を ψ(g) の V への制限と定義することにより、(V, φ) は G の表現となり、W の V への制限は同変写像となる。[[商線型空間|商空間]] W/V も G の表現として定義することができる。

W がちょうど 2つの部分表現しか持っていないとき、つまり、{{仮リンク|ゼロ対象|label=自明な部分空間|en|zero vector space}}(trivial subspace) {0} と W 自身以外には部分表現空間を持たない場合、この表現を'''既約'''(irreducible)という。W が非自明な表現を持つとき、'''可約'''(reducible)という<ref>次元 0 の表現 {0} は可約でも規約でもないと考えることができる。ちょうど、数 1 が合成数でも[[素数]]でもないと考えられることと同じである。</ref>。
<!--===Subrepresentations, quotients, and irreducible representations===
{{See also|Irreducible (mathematics)|simple module}}

If (''W'',''ψ'') is a representation of (say) a group ''G'', and ''V'' is a linear subspace of ''W'' that is preserved by the action of ''G'' in the sense that ''g'' ・ ''v'' ∈ ''V'' for all ''v'' ∈ ''V'' (Serre <ref name="Serre 1977"/> calls these ''V'' ''stable under G''), then ''V'' is called a ''subrepresentation'': by defining ''φ''(''g'') to be the restriction of ''ψ''(''g'') to ''V'', (''V'', ''φ'') is a representation of ''G'' and the inclusion of ''V'' into ''W'' is an equivariant map. The [[quotient space (linear algebra)|quotient space]] ''W''/''V'' can also be made into a representation of ''G''.

If ''W'' has exactly two subrepresentations, namely the [[zero vector space|trivial subspace]] {0} and ''W'' itself, then the representation is said to be ''irreducible''; if ''W'' has a proper nontrivial subrepresentation, the representation is said to be ''reducible''.<ref>The representation {0} of dimension zero is considered to be neither reducible nor irreducible, just like the number 1 is considered to be neither composite nor [[prime number|prime]].</ref>-->

既約表現の定義は、[[シューアの補題]]を含んでいる。既約表現の間の同変写像 α: V → W は、その[[零空間|核]]と[[像 (数学)|像]]が部分表現となるので、[[零射]]か、同型射となる。特に、V = W のとき、これは V の同変な[[自己準同型]]が基礎となる体 '''F''' 上の結合[[多元体|多元代数]]を形成する。'''F''' が[[代数的閉体]]であれば、既約な表現の同変自己準同型は、恒等元のスカラー倍のみである。

既約表現は、表現論の基本ブロックであり、表現 W が既約でないならば、ある意味、単純な部分表現と商表現から構成される。W が有限次元であれば、部分表現も商表現も次元がより小さなものとなる。
<!--The definition of an irreducible representation implies [[Schur's lemma]]: an equivariant map ''α'': ''V'' → ''W''  between irreducible representations is either the [[zero map]] or an isomorphism, since its [[kernel (linear algebra)|kernel]] and [[image (mathematics)|image]] are subrepresentations. In particular, when ''V'' = ''W'', this shows that the equivariant [[endomorphism]]s of ''V'' form an associative [[division algebra]] over the underlying field '''F'''. If '''F''' is [[algebraically closed]], the only equivariant endomorphisms of an irreducible representation are the scalar multiples of the identity.

Irreducible representations are the building blocks of representation theory: if a representation ''W'' is not irreducible then it is built from a subrepresentation and a quotient that are both "simpler" in some sense; for instance, if ''W'' is finite-dimensional, then both the subrepresentation and the quotient have smaller dimension.-->

=== 直和と直既約表現 ===
{{See also|直和|[[直既約加群]]|[[半単純加群]] }}

V と W を群 G の表現とすると、V と W の[[直和#線型空間の直和|直和]]は、標準的な表現で次の式を通して表現となる。
:<math> g\cdot (v + w) = g\cdot v + g\cdot w \qquad (v \in V,~w \in W).</math>

2つの表現の[[直和]]は、それぞれの表現が持っている以上の群 G についての情報を持たない。表現が 2つの非自明な部分表現の直和であれば、この表現を'''直可約'''という。そうでない場合を'''直既約'''という。

適当な条件の下では、すべての表現は既約表現の直和であり、そのような表現は'''半単純'''であるという。その場合には、それぞれの既約表現を理解するだけで十分である。そうでない場合は、どのようにして直既約表現を部分表現による商として拡張して既約表現から構成することができるかを理解せねばならない。
<!--=== Direct sums and indecomposable representations ===
{{See also|Direct sum|indecomposable module|semisimple module}}

If (''V'',''φ'') and (''W'',''ψ'') are representations of (say) a group ''G'', then the [[direct sum of vector spaces|direct sum]] of ''V'' and ''W'' is a representation, in a canonical way, via the equation
:<math> g\cdot (v,w) = (g\cdot v, g\cdot w).</math>

The [[direct sum of representations|direct sum of two representations]] carries no more information about the group ''G'' than the two representations do individually. If a representation is the direct sum of two proper nontrivial subrepresentations, it is said to be decomposable. Otherwise, it is said to be indecomposable.

In favourable circumstances, every representation is a direct sum of irreducible representations: such representations are said to be semisimple. In this case, it suffices to understand only the irreducible representations. In other cases, one must understand how indecomposable representations can be built from irreducible representations as extensions of a quotient by a subrepresentation.-->

==分野とトピックス==
{{See also|群の表現}}

注目すべきこととして、表現論は、もっている分野の数が多いこと、群と代数の表現の研究方法が多様であることが挙げられる。表現論は、既に議論した基本的な考え方を共通に持つにもかかわらず、詳細では非常に異なっている。少なくとも違いは 3点あげることができる。
# 表現論は表現される代数的対象のタイプに依存する。群、結合代数、リー代数は異なるクラスであり、それぞれの表現論は異なる色合いを持っている。
# 表現論は表現される代数的対象の下にあるベクトル空間の性質に依存して、最も重要な差異は、[[ハメル次元|有限次元]]表現と無限次元表現の間の差異である。無限次元の場合、付加された構造が重要である（たとえば、空間が[[ヒルベルト空間]]や[[バナッハ空間]]であるか否かなど）。付加された代数的構造は、有限次元でも課すことができる。
# 表現論はベクトル空間が定義されている[[可換体|体]]のタイプにも依存する。もっとも重要な場合は複素数体の場合であり、他にも重要な場合として、実数の場合、[[有限体]]や[[p進体|p-進体]]の場合がある。体が[[標数|正の標数]]の場合、[[代数的閉体]]でない場合に困難さが加わる。
<!--==Branches and topics==
{{See also|Group representation}}

Representation theory is notable for the number of branches it has, and the diversity of the approaches to studying representations of groups and algebras. Although, all the theories have in common the basic concepts discussed already, they differ considerably in detail. The differences are at least 3-fold:
# Representation theory depends upon the type of algebraic object being represented. There are several different classes of groups, associative algebras and Lie algebras, and their representation theories all have an individual flavour.
# Representation theory depends upon the nature of the vector space on which the algebraic object is represented. The most important distinction is between [[dimension (vector space)|finite-dimensional]] representations and infinite-dimensional ones. In the infinite-dimensional case, additional structures are important (e.g. whether or not the space is a [[Hilbert space]], [[Banach space]], etc.). Additional algebraic structures can also be imposed in the finite-dimensional case.
# Representation theory depends upon the type of [[field (mathematics)|field]] over which the vector space is defined. The most important case is the field of complex numbers. The other important cases are the field of real numbers, [[finite field]]s, and fields of [[p-adic number]]s. Additional difficulties arise for fields of [[positive characteristic]] and for fields that are not [[algebraically closed]].-->

===有限群の表現===
{{Main|{{仮リンク|有限群の表現|en|Representation of a finite group}} }}

群の表現は、有限群の研究にとって非常に重要なツールである<ref>{{Harvnb|Alperin|1986}}, {{Harvnb|Lam|1998}}, {{Harvnb|Serre|1977}}.</ref>。有限群の表現は、有限群論を幾何学や[[空間群|結晶構造]]へ応用する中でも発生する<ref>{{Harvnb|Kim|1999}}.</ref>。有限群の表現は、表現論の一般論の多くの面をもち、他の表現論の分野の方法やトピックスを反映している。

[[標数|標数 0]] の体上では、有限群 G の表現は、便利な性質を多く持つ。第一に、G の表現は半単純（完全可約）な性質を持ち、任意の G-表現 W の部分表現 V が G-不変な補完表現(compliment)を持つという[[マシュケの定理]]である。この定理を証明する方法は、W から V への[[射影]] π を選び、次で定義される平均 π<sub>G</sub> と置き換えることである。
:<math> \pi_G(x) = \frac1{|G|}\sum_{g\in G} g\cdot \pi(g^{-1}\cdot x).</math>
π<sub>G</sub> は同変であり、この写像の核が求めている補完表現である。
<!--===Finite groups===
{{Main|Representation of a finite group}}

Group representations are a very important tool in the study of finite groups.<ref>{{Harvnb|Alperin|1986}}, {{Harvnb|Lam|1998}}, {{Harvnb|Serre|1977}}.</ref> They also arise in the applications of finite group theory to geometry and [[crystallographic group|crystallography]].<ref>{{Harvnb|Kim|1999}}.</ref> Representations of finite groups exhibit many of the features of the general theory and point the way to other branches and topics in representation theory.

Over a field of [[characteristic zero]], the representation theory of a finite group ''G'' has a number of convenient properties. First, the representations of ''G'' are semisimple (completely reducible). This is a consequence of [[Maschke's theorem]], which states that any subrepresentation ''V'' of a ''G''-representation ''W'' has a ''G''-invariant complement. One proof is to choose any [[projection (linear algebra)|projection]] ''π'' from ''W'' to ''V'' and replace it by its average ''π''<sub>''G''</sub> defined by
:<math> \pi_G(x) = \frac1{|G|}\sum_{g\in G} g\cdot \pi(g^{-1}\cdot x).</math>
''π''<sub>''G''</sub> is equivariant, and its kernel is the required complement.-->

有限次元 G-表現は、[[指標理論]](character theory)を使って理解することができる。表現 φ: G → GL(V) の[[指標表|指標]]は、次の式で定義される類函数 χ<sub>φ</sub>: G → '''F''' である。
:<math>\chi_{\varphi}(g) = \mathrm{Tr}(\varphi(g))\ .</math>
ここに <math>\mathrm{Tr}</math> は[[跡 (線型代数学)|トレース]]である。G の既約表現は、その指標により完全に決定される。

マシュケの定理は、たとえば、[[有限体]]のような[[標数|正の標数]]の体に対しても、p が群 G の[[位数]]と[[互いに素 (整数論)|互いに素]]である限り一般的に成り立つ。p と |G| が[[因数分解|共通因子]]を持っているとき、半単純でない G-表現が存在し、[[モジュラー表現論]]と呼ばれる分野で研究されている。

平均をとるテクニックは、'''F''' が実数や複素数のとき、任意の G-表現は V 上の[[内積]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> を保存する。G のすべての元 g と W の w に対し、
:<math>\langle g\cdot v,g\cdot w\rangle = \langle v,w\rangle</math>
という意味である。よって、任意の G-表現は[[ユニタリ表現|ユニタリ]]である。
<!--The finite-dimensional ''G''-representations can be understood using [[character theory]]: the character of a representation ''φ'': ''G'' → GL(''V'') is the class function ''χ''<sub>''φ''</sub>: ''G'' → '''F''' defined by
:<math>\chi_{\varphi}(g) = \mathrm{Tr}(\varphi(g))\,</math>
where <math>\mathrm{Tr}</math> is the [[trace of a matrix|trace]]. An irreducible representation of ''G'' is completely determined by its character.

Maschke's theorem holds more generally for fields of [[positive characteristic]] ''p'', such as the [[finite field]]s, as long as the prime ''p'' is [[coprime]] to the [[group order|order]] of ''G''. When ''p'' and |''G''| have a [[common factor]], there are ''G''-representations that are not semisimple, which are studied in a subbranch called [[modular representation theory]].

Averaging techniques also show that if '''F''' is the real or complex numbers, then any ''G''-representation preserves an [[inner product]] <math>\langle\cdot,\cdot\rangle</math> on ''V'' in the sense that
:<math>\langle g\cdot v,g\cdot w\rangle = \langle v,w\rangle</math>
for all ''g'' in ''G'' and ''v'', ''w'' in ''W''. Hence any ''G''-representation is [[unitary representation|unitary]].-->

ユニタリ表現は、マシュケの定理が表現の[[直交補空間]]を取るころにより証明することができるので、自動的に半単純である。有限ではない群の表現を研究するとき、ユニタリ表現は、有限群の実表現と複素表現の良い一般化をもたらす。

マシュケの定理のような結果や平均をとることに依存するユニタリな性質は、平均を積分へ置き換えることにより、より一般的な群へと一般化することができ、定義可能な積分の考えをもたらす。このことは[[ハール測度]]を使い[[コンパクト群]](compact group)や[[局所コンパクト群]](locally compact group)に対してなされ、結果として得られる理論が[[調和解析#抽象調和解析|抽象調和解析]]である。

任意の体上で、有限群で良い表現論的性質を持つ別のクラスは、{{仮リンク|リー型の有限群|en|finite groups of Lie type}}(finite groups of Lie type)である。重要な例は、有限体上の[[線型代数群]](linear algebraic group)である。線型代数群の表現と[[リー群]]の表現は、これらの無限次元の群の例を拡張し、後者は[[リー代数の表現]]と密接に関連する。有限群の指標理論の重要性は、リー群やリー代数の表現にとっては[[ウェイト (表現論)|ウェイト]](weights）が類似する理論となる。

有限群 G の表現は、直接、[[群環]] '''F'''[G] を通して、代数表現へも結びついている。群環は、'''F''' 上の G の元を基底とするベクトル空間であり、積の操作は、群の操作と群操作とスカラー積が可換であることを要求する線型性により定義される。
<!--Unitary representations are automatically semisimple, since Maschke's result can be proven by taking the [[orthogonal complement]] of a subrepresentation. When studying representations of groups that are not finite, the unitary representations provide a good generalization of the real and complex representations of a finite group.

Results such as Maschke's theorem and the unitary property that rely on averaging can be generalized to more general groups by replacing the average with an integral, provided that a suitable notion of integral can be defined. This can be done for [[compact group]]s or [[locally compact group]]s, using [[Haar measure]], and the resulting theory is known as [[abstract harmonic analysis]].

Over arbitrary fields, another class of finite groups that have a good representation theory are the [[finite groups of Lie type]]. Important examples are [[linear algebraic group]]s over finite fields. The representation theory of linear algebraic groups and [[Lie group]]s extends these examples to infinite-dimensional groups, the latter being intimately related to [[Lie algebra representation]]s. The importance of character theory for finite groups has an analogue in the theory of [[weight (representation theory)|weights]] for representations of Lie groups and Lie algebras.

Representations of a finite group ''G'' are also linked directly to algebra representations via the [[group ring|group algebra]] '''F'''[''G''], which is a vector space over '''F''' with the elements of ''G'' as a basis, equipped with the multiplication operation defined by the group operation, linearity, and the requirement that the group operation and scalar multiplication commute.-->

===モジュラー表現===
{{Main|モジュラー表現論}}

有限群 G のモジュラー表現は、体の標数が |G| と互いに素ではない（公約数を持っている）あるような体の上の表現であり、したがって、マシュケの定理はもはや成り立たない（なぜならば、|G| が '''F''' で可逆ではなく、したがって割ることができないからである）<ref>{{Harvnb|Serre|1977|loc=Part III}}</ref>。にもかかわらず、{{仮リンク|リチャード・ブラウアー|en|Richard Brauer}}(Richard Brauer)は、指標理論の多くをモジュラー表現へ拡張した。この理論は、初期の[[有限単純群の分類]](classification of finite simple groups)の発展に重要な貢献をし、特に、[[シローの定理|シローの2-部分群]]が「あまりに小さすぎる」ので純群論的な方法を適用することが難しい単純群に対して、貢献した<ref>{{Harvnb|Alperin|1986}}.</ref>。

群論への応用を持つことと同様に、モジュラー表現は、他の数学の分野である[[代数幾何学]]、[[符号理論]]、[[組み合わせ論]]や[[数論]]で自然に応用される。
<!--===Modular representations===
{{Main|Modular representation theory}}

Modular representations of a finite group ''G'' are representations over a field whose characteristic is not coprime to |''G''|, so that Maschke's theorem no longer holds (because |''G''| is not invertible in '''F''' and so one cannot divide by it).<ref>{{Harvnb|Serre|1977|loc=Part III}}</ref> Nevertheless, [[Richard Brauer]] extended much of character theory to modular representations, and this theory played an important role in early progress towards the [[classification of finite simple groups]], especially for simple groups whose characterization was not amenable to purely group-theoretic methods because their [[Sylow subgroup|Sylow 2-subgroup]]s were "too small".<ref>{{Harvnb|Alperin|1986}}.</ref>

As well as having applications to group theory, modular representations arise naturally in other branches of [[mathematics]], such as [[algebraic geometry]], [[coding theory]], [[combinatorics]] and [[number theory]].-->

===ユニタリ表現===
{{Main|ユニタリ表現}}

群 G のユニタリ表現は、実もしくは複素の完備[[ヒルベルト空間]] V 上の G の線型表現 φ であり、φ(g) がすべての G の元 g に対し[[ユニタリ作用素]]となっている。そのような表現は、1920年代以来、特に[[ヘルマン・ワイル]]<ref>See {{Harvnb|Weyl|1928}}.</ref>と彼が発展を動機付けたことのにより、広く[[量子力学]]へ応用されてきた。中でも、もっとも有名なことは、[[ユージン・ウィグナー|エフゲニー・ウィグナー]]による{{仮リンク|ポアンカレ群の表現論|label=ポアンカレ群の表現|en|representation theory of the Poincaré group}}(representations of the Poincaré group)である<ref>{{Harvnb|Wigner|1939}}.</ref>。（特定の群というよりも任意の群 G に対しての応用上有益であるが、）応用上有益なユニタリ表現の一般論を構成する開拓者の一人は、{{仮リンク|ジョージ・マッケイ (数学者)|label=ジョージ・マッケイ|en|George Mackey}}(George Mackey)であり、拡張された理論は{{仮リンク|ハリッシュ・チャンドラ|en|Harish-Chandra}}(Harish-Chandra)他により1950年代と1960年代に開発された<ref>{{Harvnb|Borel|2001}}.</ref>。

ユニタリ表現論の主要な目的は、「[[ユニタリ表現|ユニタリ双対]](unitary dual)」、つまり、G の既約ユニタリ表現の空間を記述することである<ref name=Knapp>{{Harvnb|Knapp|2001}}.</ref>。G が[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]]なハウスドルフ的[[位相群]]で、表現は{{仮リンク|強連続|en|strongly continuous}}(strongly continuous)である場合が最も良く知られた理論である<ref name=Folland/>。G が可換なの場合は、ユニタリ双対は[[指標理論|指標]](character)の空間となる。一方、G がコンパクトな場合は、{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}(Peter–Weyl theorem)は、既約ユニタリ表現は有限次元であり、ユニタリ双対は離散的であることを示している<ref name="Peter–Weyl">{{Harvnb|Peter|Weyl|1927}}.</ref>。たとえば、G が円の群 S<sup>1</sup> であるときは、指標は整数で与えられ、ユニタリ双対は '''Z''' となる。

非コンパクトな G に対して、表現がユニタリとなるかという疑問は微妙である。既約ユニタリ表現は「許容的(admissible)」である必要があり（{{仮リンク|ハリッシュ・チャンドラ加群|en|Harish-Chandra module}}(Harish-Chandra module)のように）、容易に許容表現が非退化な不変[[半双線型形式]]を持つことを示すことができるが、いつこの形式が正定値となるかを決定することが困難である。ユニタリ双対の有効な記述は、実[[半単純リー群|簡約的]]な[[リー群]]（以下に議論するが、）のような比較的うまく定義できる群の場合でさえ、表現論の重要な未解決問題である。たとえば、{{仮リンク|SL2(R)の表現論|label=SL(2, '''R''')|en|representation theory of SL2(R)}}や{{仮リンク|ローレンツ群の表現論|label=ローレンツ群|en|representation theory of the Lorentz group}}のように、多くの特殊な群については解かれている<ref>{{Harvnb|Bargmann|1947}}.</ref>。
<!--===Unitary representations===
{{Main|Unitary representation}}

A unitary representation of a group ''G'' is a linear representation ''φ'' of ''G'' on a real or (usually) complex [[Hilbert space]] ''V'' such that ''φ''(''g'') is a [[unitary operator]] for every ''g'' ∈ ''G''. Such representations have been widely applied in [[quantum mechanics]] since the 1920s, thanks in particular to the influence of [[Hermann Weyl]],<ref>See {{Harvnb|Weyl|1928}}.</ref> and this has inspired the development of the theory, most notably through the analysis of [[representation theory of the Poincaré group|representations of the Poincaré group]] by [[Eugene Wigner]].<ref>{{Harvnb|Wigner|1939}}.</ref> One of the pioneers in constructing a general theory of unitary representations (for any group ''G'' rather than just for particular groups useful in applications) was [[George Mackey]], and an extensive theory was developed by [[Harish-Chandra]] and others in the 1950s and 1960s.<ref>{{Harvnb|Borel|2001}}.</ref>

A major goal is to describe the "[[unitary dual]]", the space of irreducible unitary representations of ''G''.<ref name=Knapp/> The theory is most well-developed in the case that ''G'' is a [[locally compact]] (Hausdorff) [[topological group]] and the representations are [[strongly continuous]].<ref name=Folland/> For ''G'' abelian, the unitary dual is just the space of [[character theory|characters]], while for ''G'' compact, the [[Peter–Weyl theorem]] shows that the irreducible unitary representations are finite-dimensional and the unitary dual is discrete.<ref name="Peter–Weyl">{{Harvnb|Peter|Weyl|1927}}.</ref> For example, if ''G'' is the circle group ''S''<sup>1</sup>, then the characters are given by integers, and the unitary dual is '''Z'''.

For non-compact ''G'', the question of which representations are unitary is a subtle one. Although irreducible unitary representations must be "admissible" (as [[Harish-Chandra module]]s) and it is easy to detect which admissible representations have a nondegenerate invariant [[sesquilinear form]], it is hard to determine when this form is positive definite. An effective description of the unitary dual, even for relatively well-behaved groups such as real [[Semisimple Lie group|reductive]] [[Lie group]]s (discussed below), remains an important open problem in representation theory. It has been solved for many particular groups, such as [[representation theory of SL2(R)|SL(2,'''R''')]] and the [[representation theory of the Lorentz group|Lorentz group]].<ref>{{Harvnb|Bargmann|1947}}.</ref>-->

===調和解析===
{{Main|調和解析}}

円の群 S<sup>1</sup> と整数 '''Z''' やより一般的にトーラス T<sup>n</sup> と '''Z'''<sup>n</sup> の間の双対関係は、解析的には[[フーリエ級数]]の理論としてよく知られている。[[フーリエ変換]]は、実ベクトル空間上の指標の空間が[[双対ベクトル空間]](dual vector space)であるという事実を表している。このようにして、ユニタリ表現と[[調和解析]]は密接に関連し合っていて、抽象調和解析はこの関係を利用して、[[局所コンパクト空間|局所コンパクト位相群]]と関連する空間の函数の[[解析学|解析]]を発展させた<ref name=Folland/>。

主要な目的は、フーリエ変換や[[プランシュレルの定理]]の一般的な形を提供することである。このことは、[[ユニタリ表現|ユニタリ双対]](unitary dual)上の[[測度]]と、G 上の二乗可積分函数の空間 L<sup>2</sup>(G) の正規表現とユニタリ双対上の[[Lp空間|L<sup>2</sup>函数空間]]の間の同型を構成することで達成される。[[ポントリャーギン双対]]と{{仮リンク|ピーター・ワイルの定理|en|Peter–Weyl theorem}}は、可換群とコンパクトな群でそれぞれ達成された<ref name="Peter–Weyl"/><ref>{{Harvnb|Pontrjagin|1934}}.</ref>。

別なアプローチは、既約ではないすべてのユニタリ表現を考えることを意味している。これらは[[圏論|圏]]を構成し、[[淡中・クライン双対性]](Tannaka–Krein duality)は、ユニタリ表現のカテゴリからコンパクト群を再現する方法をもたらした。

群が可換でもコンパクトでもない場合に、[[アレクサンドル・グロタンディーク]]が淡中・クライン双対性を[[線型代数群]](linear algebraic group)と[[淡中圏]]の間の関係へ拡張したにもかかわらず、プランシュレルの定理やフーリエ変換に類似する一般論は知られていない。

調和解析は G 上の函数解析から G の[[等質空間]](homogeneous space)上の函数へ拡張された。特に、この理論は{{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}(symmetric space)に対して発展し、[[保型形式]]論をもたらした（以下に議論する）。
<!--===Harmonic analysis===
{{Main|Abstract harmonic analysis}}

The duality between the circle group ''S''<sup>1</sup> and the integers '''Z''', or more generally, between a torus ''T''<sup>''n''</sup> and '''Z'''<sup>''n''</sup> is well known in analysis as the theory of [[Fourier series]], and the [[Fourier transform]] similarly expresses the fact that the space of characters on a real vector space is the [[dual vector space]]. Thus unitary representation theory and [[harmonic analysis]] are intimately related, and abstract harmonic analysis exploits this relationship, by developing the [[mathematical analysis|analysis]] of functions on [[local compactness|locally compact topological groups]] and related spaces.<ref name=Folland/>

A major goal is to provide a general form of the Fourier transform and the [[Plancherel theorem]]. This is done by constructing a [[measure (mathematics)|measure]] on the [[unitary dual]] and an isomorphism between the regular representation of ''G'' on the space L<sup>2</sup>(''G'') of [[square integrable]] functions on ''G'' and its representation on the [[L2-space|space of L<sup>2</sup> functions]] on the unitary dual. [[Pontrjagin duality]] and the [[Peter–Weyl theorem]] achieve this for abelian and compact ''G'' respectively.<ref name="Peter–Weyl"/><ref>{{Harvnb|Pontrjagin|1934}}.</ref>

Another approach involves considering all unitary representations, not just the irreducible ones. These form a [[category (mathematics)|category]], and [[Tannaka–Krein duality]] provides a way to recover a compact group from its category of unitary representations.

If the group is neither abelian nor compact, no general theory is known with an analogue of the Plancherel theorem or Fourier inversion, although [[Alexander Grothendieck]] extended Tannaka–Krein duality to a relationship between [[linear algebraic group]]s and [[tannakian category|tannakian categories]].

Harmonic analysis has also been extended from the analysis of functions on a group ''G'' to functions on [[homogeneous spaces]] for ''G''. The theory is particularly well developed for [[symmetric space]]s and provides a theory of [[automorphic form]]s (discussed below).-->

===リー群===
{{main|リー群の表現}}
<!--{{Lie groups}}-->

[[リー群]]は[[可微分多様体|滑らかな多様体]]でもある群である。実数や複素数上の行列の多くの古典群が、リー群である<ref name=Weyl>{{Harvnb|Weyl|1946}}.</ref>。物理や化学で重要な群の多くはリー群であり、リー群の表現論はこれらの分野への群論の応用上で決定的である<ref name="Sternberg"/>。

リー群の表現論は、最初に、コンパクト表現理論の結果を適用することため、コンパクト群を考えることで発展することができた<ref name=Knapp/>。この理論は、{{仮リンク|ユニタリトリック|label=ワイルのユニタリトリック|en|Weyl's unitary trick}}(Weyl's unitary trick)を使い、[[半単純リー代数]]の有限次元表現へ拡張できる。半単純な実リー群 G はそれぞれ複素化を持っていて、複素化は複素リー群 G<sup>c</sup> であり、最大コンパクト部分群 K を持っている。G の有限次元表現は、K の有限次元表現に密接に対応する。

一般のリー群は、{{仮リンク|可解リー群|en|solvable Lie group}}(solvable Lie group)と半単純リー群の[[群の直積|直積]]である（これを{{仮リンク|レヴィ分解|en|Levi decomposition}}(Levi decomposition)という）<ref name=Fulton-Harris>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}.</ref>。可解リー群の表現の分類は、一般には困難であるが、実践的には容易である場合が多い。半単純の直積の表現は、'''{{仮リンク|マッケイ理論|en|Mackey theory}}'''(Mackey theory)という一般的な結果により解析され、この方法はポアンカレ群の表現の[[ウィグナーの分類]](Wigner's classification)を使い一般化されたものである。
<!--===Lie groups===
{{main|Representation of a Lie group}}
{{Lie groups}}

A [[Lie group]] is a group that is also a [[smooth manifold]]. Many classical groups of matrices over the real or complex numbers are Lie groups.<ref name=Weyl>{{Harvnb|Weyl|1946}}.</ref> Many of the groups important in physics and chemistry are Lie groups, and their representation theory is crucial to the application of group theory in those fields.<ref name="Sternberg"/>

The representation theory of Lie groups can be developed first by considering the compact groups, to which results of compact representation theory apply.<ref name=Knapp/> This theory can be extended to finite-dimensional representations of [[semisimple Lie group]]s using [[Weyl's unitary trick]]: each semisimple real Lie group ''G'' has a complexification, which is a complex Lie group ''G''<sup>c</sup>, and this complex Lie group has a maximal compact subgroup ''K''. The finite-dimensional representations of ''G'' closely correspond to those of ''K''.

A general Lie group is a [[semidirect product]] of a [[solvable Lie group]] and a semisimple Lie group (the [[Levi decomposition]]).<ref name=Fulton-Harris>{{Harvnb|Fulton|Harris|1991}}.</ref> The classification of representations of solvable Lie groups is intractable in general, but often easy in practical cases. Representations of semidirect products can then be analysed by means of general results called ''[[Mackey theory]]'', which is a generalization of the methods used in [[Wigner's classification]] of representations of the Poincaré group.-->

===リー代数===
{{Main|[[リー代数の表現]] }}

体 '''F''' 上の[[リー代数]]は、[[リー代数#定義|リーブラケット]]と呼ばれ[[ヤコビ恒等式]]を満たす[[反対称関係|歪対称]][[双線型形式|双線型作用]]を持つベクトル空間である。特に、リー代数は、[[単位元]]での[[リー群]]の[[接空間]]として発生し、「無限小対称性」として相互作用を導く<ref name=Fulton-Harris/> リー代数の表現論の重要なアプローチは、リー代数の対応する表現論を研究するためであるが、リー代数の表現論は本質的に興味深いものを持っている。<ref>{{Harvnb|Humphreys|1972a}}.</ref>。

リー代数は、リー群のように、半単純な部分と可解な部分へと分解するレヴィ分解をもつが、一般には扱いにくい可解リー代数の表現がついて回る。これとは対蹠的に、[[半単純リー代数]]の有限次元表現は[[エリー・カルタン]]の仕事以来、完全に理解されている。半単純リー代数 '''g''' の表現は、その上ではリーブラケットが 0 となる（可換である）ような '''g''' の本質的に最大生成部分代数 '''h''' である、[[カルタン部分代数]](Cartan subalgebra)を選択することにより解析される。'''g''' の表現は、'''h''' の作用の[[固有値#定義|固有空間]]である[[ウェイト (表現論)|ウェイト空間]](weight spaces)と指標の無限小の類似へと分解することができる。したがって、半単純リー代数の構造は、ウェイトの発生可能な組み合わせを容易に理解するという表現の解析へと還元される<ref name=Fulton-Harris/>。
<!--===Lie algebras===
{{Main|Lie algebra representation}}

A [[Lie algebra]] over a field '''F''' is a vector space over '''F''' equipped with a [[skew-symmetric]] [[bilinear operation]] called the [[Lie bracket]], which satisfies the [[Jacobi identity]]. Lie algebras arise in particular as [[tangent space]]s to [[Lie group]]s at the [[identity element]], leading to their interpretation as "infinitesimal symmetries".<ref name=Fulton-Harris/> An important approach to the representation theory of Lie groups is to study the corresponding representation theory of Lie algebras, but representations of Lie algebras also have an intrinsic interest.<ref>{{Harvnb|Humphreys|1972a}}.</ref>

Lie algebras, like Lie groups, have a Levi decomposition into semisimple and solvable parts, with the representation theory of solvable Lie algebras being intractable in general. In contrast, the finite-dimensional representations of semisimple Lie algebras are completely understood, after work of [[Élie Cartan]]. A representation of a semisimple Lie algebra '''g''' is analysed by choosing a [[Cartan subalgebra]], which is essentially a generic maximal subalgebra '''h''' of '''g''' on which the Lie bracket is zero ("abelian"). The representation of '''g''' can be decomposed into [[weight (representation theory)|weight spaces]] that are [[eigenspace]]s for the action of '''h''' and the infinitesimal analogue of characters. The structure of semisimple Lie algebras then reduces the analysis of representations to easily understood combinatorics of the possible weights that can occur.<ref name=Fulton-Harris/>-->

====無限次元リー代数====
{{See also|アフィンリー代数|カッツ・ムーディ代数}}
表現が研究されている無限次元リー代数のクラスは多数ある。これらの中で重要なクラスは、カッツ・ムーディ代数である<ref>{{Harvnb|Kac|1990}}.</ref>。カッツ・ムーディ代数の命名は、[[ヴィクトル・カッツ]](Victor Kac)と{{仮リンク|ロバート・ムーディ|en|Robert Moody}}(Robert Moody)に因んでいて、彼らは独立のこれらの代数を発見した。これらの代数は、有限次元の[[半単純リー代数]]の一般化であり、組み合わせ的な多くの性質を共有している。このことは、カッツ・ムーディ代数が半単純リー代数の表現と同じ方法で理解できる表現のクラスを持っていることを意味する。

アフィンリー代数は特別な種類のカッツ・ムーディ代数で、数学でも[[理論物理学]]でも重要で、特に[[共形場理論]]や[[可積分系#完全可解模型|完全可解モデル]]の理論では重要である。カッツ(Kac)は、ある組み合わせ的な恒等式であり、[[アフィンリー代数#定義|アフィンカッツ・ムーディ代数]]の表現論の基礎となっている[[マクドナルド恒等式]](Macdonald identities)のエレガントな証明を発見した。
<!--====Infinite-dimensional Lie algebras====
{{See also|Affine Lie algebra|Kac–Moody algebra}}

There are many classes of infinite-dimensional Lie algebras whose representations have been studied. Among these, an important class are the Kac–Moody algebras.<ref>{{Harvnb|Kac|1990}}.</ref> They are named after [[Victor Kac]] and [[Robert Moody]], who independently discovered them. These algebras form a generalization of finite-dimensional [[semisimple Lie algebra]]s, and share many of their combinatorial properties. This means that they have a class of representations that can be understood in the same way as representations of semisimple Lie algebras.

Affine Lie algebras are a special case of Kac–Moody algebras, which have particular importance in mathematics and [[theoretical physics]], especially [[conformal field theory]] and the theory of [[exactly solvable model]]s. Kac discovered an elegant proof of certain combinatorial identities, [[Macdonald identities]], which is based on the representation theory of affine Kac–Moody algebras.-->

====超リー代数====
{{Main|{{仮リンク|超リー代数の表現|en|Representation of a Lie superalgebra}} }}

{{仮リンク|超リー代数|en|Lie superalgebra}}(Lie superalgebra)は、リー代数の一般化であり、基礎となっているベクトル空間が '''Z'''<sub>2</sub>-次数付きで、歪対称性を持り、リーブラケットのヤコビ恒等式の符号が変形している。これらの表現は、リー代数の表現論に同じである<ref>{{Harvnb|Kac|1977}}.</ref>。
<!--====Lie superalgebras====
{{Main|Representation of a Lie superalgebra}}

[[Lie superalgebra]]s are generalizations of Lie algebras in which the underlying vector space has a '''Z'''<sub>2</sub>-grading, and skew-symmetry and Jacobi identity properties of the Lie bracket are modified by signs. Their representation theory is similar to the representation theory of Lie algebras.<ref>{{Harvnb|Kac|1977}}.</ref>-->

===線型代数群===
{{See also|[[線型代数群]] }}

線型代数群（より一般には、アフィン{{仮リンク|群スキーム|en|group scheme}}(group scheme)）は、'''R''' や '''C''' よりも一般的な体上での[[リー群]]の代数幾何学と類似している。特に、有限体上では、線型代数群は{{仮リンク|リー型の有限群|en|finite groups of Lie type}}(finite groups of Lie type)をもたらす。線型代数群はリー群の分類と非常によく似た分類ができるが、[[ザリスキー位相]]が比較的弱いため解析学のテクニックがもはや有効でないので、それらの表現論は異なっていて少ししか理解されておらず、別のテクニックを必要とする<ref>{{Harvnb|Humphreys|1972b}}, {{Harvnb|Jantzen|2003}}.</ref>。
<!--===Linear algebraic groups===
{{See also|Linear algebraic group}}

Linear algebraic groups (or more generally, affine [[group scheme]]s) are analogues in algebraic geometry of [[Lie group]]s, but over more general fields than just '''R''' or '''C'''. In particular, over finite fields, they give rise to [[finite groups of Lie type]]. Although linear algebraic groups have a classification that is very similar to that of Lie groups, their representation theory is rather different (and much less well understood) and requires different techniques, since the [[Zariski topology]] is relatively weak, and techniques from analysis are no longer available.<ref>{{Harvnb|Humphreys|1972b}}, {{Harvnb|Jantzen|2003}}.</ref>-->

===不変式理論===
{{Main|{{仮リンク|不変式論|en|Invariant theory}} }}

不変式理論は、群の表現を形成する函数上への効果の観点から、[[代数多様体]]上の[[群の作用|群作用]]を研究する。古典的には、不変式論は、与えられた[[一般線型群|線型群]]の変換の下に'''不変な'''[[多項式|多項式函数]]をどのように明確に記述するかを扱った。現代的なアプローチでは、これらの表現がどのように既約表現への分解するかを解析する<ref>{{Harvnb|Olver|1999}}.</ref>。

[[無限群]]の不変式論は、[[線型代数]]、特に[[二次形式]]や[[行列式]]の発展に不可分に結びついている。（多項式の不変性と幾何学が）互いに強く影響しあう[[射影幾何学]]では、不変式論はこの問題を系統的に研究することに使われ、1960年代の間に[[デヴィッド・マンフォード|ダヴィッド・マンフォード]](David Mumford)により、新しい息吹が[[幾何学的不変式論]]の形で吹き込まれた<ref>{{Harvnb|Mumford|Fogarty|Kirwan|1994}}.</ref>。

[[半単純リー代数]]の表現論は、根拠を不変式論に持っていて<ref name="Weyl" /> 表現論と代数幾何学の強い結びつきは、微分幾何学で多くの平行な考え方を持つ。この平行性は[[フェリックス・クライン]]の[[エルランゲンプログラム]]や[[エリー・カルタン]]の[[カルタン接続|接続]](connections)に始まり、群と対称性を幾何学の心臓部とする<ref>{{Harvnb|Sharpe|1997}}.</ref>。現代の発展は、表現論と不変式論との結びつきを、{{仮リンク|ホロノミー|en|holonomy}}(holonomy)や[[微分作用素]]や[[多変数複素関数]]の理論のような分野へ広がっている。
<!--===Invariant theory===
{{Main|Invariant theory}}

Invariant theory studies [[group action|actions]] on [[algebraic variety|algebraic varieties]] from the point of view of their effect on functions, which form representations of the group. Classically, the theory dealt with the question of explicit description of [[polynomial function]]s that do not change, or are ''invariant'', under the transformations from a given [[linear group]]. The modern approach analyses the decomposition of these representations into irreducibles.<ref>{{Harvnb|Olver|1999}}.</ref>

Invariant theory of [[infinite group]]s is inextricably linked with the development of [[linear algebra]], especially, the theories of [[quadratic form]]s and [[determinant]]s. Another subject with strong mutual influence is [[projective geometry]], where invariant theory can be used to organize the subject, and during the 1960s, new life was breathed into the subject by [[David Mumford]] in the form of his [[geometric invariant theory]].<ref>{{Harvnb|Mumford|Fogarty|Kirwan|1994}}.</ref>

The representation theory of [[semisimple Lie group]]s has its roots in invariant theory<ref name="Weyl" /> and the strong links between representation theory and algebraic geometry have many parallels in differential geometry, beginning with [[Felix Klein]]'s [[Erlangen program]] and [[Élie Cartan]]'s [[Cartan connection|connections]], which place groups and symmetry at the heart of geometry.<ref>{{Harvnb|Sharpe|1997}}.</ref> Modern developments link representation theory and invariant theory to areas as diverse as [[holonomy]], [[differential operator]]s and the theory of [[several complex variables]].-->

===保型形式と数論===
{{Main|保型形式}}

保型形式は、[[モジュラ形式]]の多変数の[[解析函数]]への一般化であり、解析函数は通常、多変数であり、同じような変換性質を持っている<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}.</ref>。この一般化は、モジュラ群 [[PSL2(R)|PSL<sub>2</sub> ('''R''')]] と半単純リー群 G による{{仮リンク|合同部分群|en|congruence subgroup}}(congruence subgroup)や[[離散部分群]](discrete subgroup) Γ を置き換える。まさにモジュラ形式が[[上半平面]]の商 '''H''' =  PSL<sub>2</sub> ('''R''')/SO(2) の上の[[微分形式]]とみなすことができるように、保型形式は <math>\Gamma\backslash G/K</math> 上の微分形式とみなすことができる。ここに K は典型的な G の{{仮リンク|最大コンパクト部分群|en|maximal compact subgroup}}(maximal compact subgroup)である。しかし、注意深くみると、商空間は特異点を持っている。半単純なリー群のコンパクト群による商は、{{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}(symmetric space)であり、したがって保型形式の理論は対称空間上の調和解析と密接に関係する。

一般論が発達する以前、{{仮リンク|ヒルベルトモジュラ形式|en|Hilbert modular form}}(Hilbert modular form)や{{仮リンク|ジーゲルモジュラ形式|en|Siegel modular form}}(Siegel modular form)などの多くの重要な場合が詳細に研究された。この理論の重要な結果として、[[セルバーグ跡公式]]と、[[ロバート・ラングランズ]]による[[リーマン・ロッホの定理]]が保型形式の空間の次元の計算に適用されたことが上げられる。「保型表現」の考え方は、G が[[代数群]]の場合に、[[アデール的代数群]]として扱うことで、重要な値を求めることができることを証明した。完全に哲学的な結論として、[[ラングランズ・プログラム]]は、表現論と保型形式の数論的性質の間の関係を発展させた<ref>{{Harvnb|Gelbart|1984}}.</ref>。
<!--===Automorphic forms and number theory===
{{Main|Automorphic form}}

Automorphic forms are a generalization of [[modular form]]s to more general [[analytic function]]s, perhaps of [[several complex variables]], with similar transformation properties.<ref>{{Harvnb|Borel|Casselman|1979}}.</ref> The generalization involves replacing the modular group [[PSL2(R)|PSL<sub>2</sub> ('''R''')]] and a chosen [[congruence subgroup]] by a semisimple Lie group ''G'' and a [[discrete subgroup]] ''Γ''. Just as modular forms can be viewed as [[differential form]]s on a quotient of the [[upper half space]] '''''H''''' =  PSL<sub>2</sub> ('''R''')/SO(2), automorphic forms can be viewed as differential forms (or similar objects) on ''Γ''\''G''/''K'', where ''K'' is (typically) a [[maximal compact subgroup]] of ''G''. Some care is required, however, as the quotient typically has singularities. The quotient of a semisimple Lie group by a compact subgroup is a [[symmetric space]] and so the theory of automorphic forms is intimately related to harmonic analysis on symmetric spaces.

Before the development of the general theory, many important special cases were worked out in detail, including the [[Hilbert modular form]]s and [[Siegel modular form]]s. Important results in the theory include the [[Selberg trace formula]] and the realization by [[Robert Langlands]] that the [[Riemann-Roch theorem]] could be applied to calculate the dimension of the space of automorphic forms. The subsequent notion of "automorphic representation" has proved of great technical value for dealing with the case that ''G'' is an [[algebraic group]], treated as an [[adelic algebraic group]]. As a result an entire philosophy, the [[Langlands program]] has developed around the relation between representation and number theoretic properties of automorphic forms.<ref>{{Harvnb|Gelbart|1984}}.</ref>-->

===結合代数===
{{Main|{{仮リンク|代数表現|en|Algebra representation}} }}

ある意味で、[[結合多元環|結合代数]]の表現論は、群やリー群の表現の両方を一般化する。群の表現は、対応する[[群環]]の表現を導くことに対し、リー代数の表現は、リー代数の[[普遍包絡代数]]の表現が全単射的に対応する。しかしながら、一般の結合代数の表現論は、群とリー群の表現論のすべての性質を持つわけはない。
<!--===Associative algebras===
{{Main|Algebra representation}}

In one sense, [[associative algebra]] representations generalize both representations of groups and Lie algebras. A representation of a group induces a representation of a corresponding [[group ring]] or [[group algebra]], while representations of a Lie algebra correspond bijectively to representations of its [[universal enveloping algebra]]. However, the representation theory of general associative algebras does not have all of the nice properties of the representation theory of groups and Lie algebras.-->

====加群の理論====
{{Main|環上の加群}}

結合代数の表現を考える場合、基礎となる体を忘れて、単純に環としての結合代数と加群としての表現を考えることができる。このアプローチは、驚くほど豊かで、表現論の多くの結果が、環上の加群についての結果の特別な場合と解釈することができる。
<!--====Module theory====
{{Main|Module theory}}

When considering representations of an associative algebra, one can forget the underlying field, and simply regard the associative algebra as a ring, and its representations as modules. This approach is surprisingly fruitful: many results in representation theory can be interpreted as special cases of results about modules over a ring.-->

====ホップ代数と量子群====
{{Main|{{仮リンク|ホップ代数の表現論|en|Representation theory of Hopf algebras}} }}

[[ホップ代数]](Hopf algebra)は、一方で群やリー代数の表現論を特殊なケースとして保持する結合代数の表現論を改善する方法をもたらした。特に、2つの表現のテンソル積は、双対ベクトル空間の表現としての表現となっている。

群に付随したホップ代数は、結合代数の構造をもり、したがって、本来は群の変形としてあるいは普遍包絡代数として現れるため、ホップ代数を限定することに使われるにもかかわらず、一般にはホップ代数は[[量子群]](quantum group)として知られている。量子群の表現論は、リー代数やリー群の表現論は、たとえば、柏原の{{仮リンク|結晶基底|en|crystal basis}}(crystal basis)のような驚くべき内面的性質を持っている。
<!--====Hopf algebras and quantum groups====
{{Main|Representation theory of Hopf algebras}}

[[Hopf algebra]]s provide a way to improve the representation theory of associative algebras, while retaining the representation theory of groups and Lie algebras as special cases. In particular, the tensor product of two representations is a representation, as is the dual vector space.

The Hopf algebras associated to groups have a commutative algebra structure, and so general Hopf algebras are known as [[quantum group]]s, although this term is often restricted to certain Hopf algebras arising as deformations of groups or their universal enveloping algebras. The representation theory of quantum groups has added surprising insights to the representation theory of Lie groups and Lie algebras, for instance through the [[crystal basis]] of Kashiwara.-->

==一般化==

===集合論的表現===
{{Main|群の作用}}

集合 X 上の[[群 (数学)|群]] G の'''集合論的表現'''(set-theoretic representation)（[[群の作用]]、あるいは'''置換表現'''としても知られている）は、G から X から X への[[函数]]の[[集合]] で、すべての g<sub>1</sub>, g<sub>2</sub> とすべての X のx に対し、

:<math>\rho(1)[x] = x</math>
:<math>\rho(g_1 g_2)[x]=\rho(g_1)[\rho(g_2)[x]].</math>

を満たすある X<sup>X</sup> への[[函数]]により与えられる。

群に対してのこの条件と公理は、ρ(g) が G のすべての g に対して[[全単射]]（あるいは、[[置換 (数学)|置換]]）であることである。このように、置換表現を G から X の[[対称群]] S<sub>X</sub> への[[群準同型]]として定義することは同値であろう。
<!--==Generalizations==

===Set-theoretic representations===
{{Main|Group action}}

A ''set-theoretic representation'' (also known as a [[group action]] or ''permutation representation'') of a [[group (mathematics)|group]] ''G'' on a [[set (mathematics)|set]] ''X'' is given by a [[function (mathematics)|function]] ρ from ''G'' to ''X''<sup>''X''</sup>, the [[set (mathematics)|set]] of [[function (mathematics)|function]]s from ''X'' to ''X'', such that for all ''g''<sub>1</sub>, ''g''<sub>2</sub> in ''G'' and all ''x'' in ''X'':

:<math>\rho(1)[x] = x</math>
:<math>\rho(g_1 g_2)[x]=\rho(g_1)[\rho(g_2)[x]].</math>

This condition and the axioms for a group imply that ρ(''g'') is a [[bijection]] (or [[permutation]]) for all ''g'' in ''G''. Thus we may equivalently define a permutation representation to be a [[group homomorphism]] from G to the [[symmetric group]] S<sub>''X''</sub> of ''X''.-->

===他の圏の表現===
{{See also|圏論}}

すべての群 G は、単一の対象をもつ[[圏 (数学)|圏]]とみなすことができる。この圏の[[射 (圏論)|射]]は、まさに G の元である。任意の圏 C が与えられると、C での G の'''表現'''は、G から C への[[函手]]である。そのような函手は、C の中の対象 X と、G から X の[[自己同型群]] Aut(X) への群準同型を選択する。

C が'''F''' 上の{{仮リンク|ベクトル空間の圏|en|category of vector spaces|redirect=1}}(category of vector spaces)  '''Vect'''<sub>'''F'''</sub> の場合は、この定義が線型表現と同値である。同様に、集合論的表現はまさに[[集合の圏]](category of sets)の中の G の表現である。

他の例として、[[位相空間の圏]](category of topological spaces) '''Top''' を考える。'''Top''' の表現は、G から位相空間 X の[[準同型]]群への準同型である。

線型表現と密接な関係付けられる表現の 2つのタイプは、
*{{仮リンク|射影表現|en|projective representation}}(projective representation)：[[射影空間]]の圏の中で、これらはスカラー変換を[[違いを除いて|違いを除いた]]線型表現として記述される。
*{{仮リンク|アフィン表現|en|affine representation}}(affine representation)：[[アフィン空間]]の圏の中で、たとえば、[[ユークリッド空間]]上にアフィンに作用する[[ユークリッドの運動群|ユークリッド群]](Euclidean group)がある。
<!--===Representations in other categories===
{{See also|Category theory}}

Every group ''G'' can be viewed as a [[category (mathematics)|category]] with a single object; [[morphism]]s in this category are just the elements of ''G''. Given an arbitrary category ''C'', a ''representation'' of ''G'' in ''C'' is a [[functor]] from ''G'' to ''C''. Such a functor selects an object ''X'' in ''C'' and a group homomorphism from ''G'' to Aut(''X''), the [[automorphism group]] of ''X''.

In the case where ''C'' is '''Vect'''<sub>'''F'''</sub>, the [[category of vector spaces]] over a field '''F''', this definition is equivalent to a linear representation. Likewise, a set-theoretic representation is just a representation of ''G'' in the [[category of sets]].

For another example consider the [[category of topological spaces]], '''Top'''. Representations in '''Top''' are homomorphisms from ''G'' to the [[homeomorphism]] group of a topological space ''X''.

Two types of representations closely related to linear representations are:
*[[projective representation]]s: in the category of [[projective space]]s. These can be described as "linear representations [[up to]] scalar transformations".
*[[affine representation]]s: in the category of [[affine space]]s. For example, the [[Euclidean group]] acts affinely upon [[Euclidean space]].-->

===圏の表現===
{{See also|箙 (数学)|l1 = 箙}}

群は圏を形成するので、他の圏の表現を考えることもできる。最も単純な一般化は、単一の対象をもつ圏である[[モノイド]]である。群はすべての射が可逆なモノイドである。一般のモノイドは任意の圏で表現を持つ。集合の圏では、これらは{{仮リンク|半群作用|label=モノイド作用|en|monoid action}}(monoid action)であるが、ベクトル空間や他の対象の上のモノイド表現を研究することができる。

さらに一般的に、表現される圏がひとつの対象しか持たないという前提を緩めることができる。まったく一般的に、これは単純に圏の間の[[函手]]の理論であり、少ししか知られていない。

表現論に重要なインパクトをもつ特別な場合に箙（えびら）の表現論がある<ref name=SSA/>。箙は単純に[[有向グラフ]]（ループと多重な矢印があってもよい）であるが、グラフの経路を考えることにより圏（と代数）を形成することができる。そのような圏／代数の表現は、表現論のいくつかの面を説明する。たとえば、群に関しての半単純ではない表現論の問題を、箙に関する半単純な表現の場合へ還元することを可能とする。
<!--===Representations of categories===

{{See also|Quiver (mathematics)}}

Since groups are categories, one can also consider representation of other categories. The simplest generalization is to [[monoid]]s, which are categories with one object. Groups are monoids for which every morphism is invertible. General monoids have representations in any category. In the category of sets, these are [[monoid action]]s, but monoid representations on vector spaces and other objects can be studied.

More generally, one can relax the assumption that the category being represented has only one object. In full generality, this is simply the theory of [[functor]]s between categories, and little can be said.

One special case has had a significant impact on representation theory, namely the representation theory of quivers.<ref name=SSA/> A quiver is simply a [[directed graph]] (with loops and multiple arrows allowed), but it can be made into a category (and also an algebra) by considering paths in the graph. Representations of such categories/algebras have illuminated several aspects of representation theory, for instance by allowing non-semisimple representation theory questions about a group to be reduced in some cases to semisimple representation theory questions about a quiver.-->

==脚注==
{{Reflist|3}}
==主な研究者==
===日本(年代順)===
<!--
*[[三町勝久]]
-->
*[[中山正]]
*[[岩堀長慶]]
*[[柏原正樹]]
*[[大島利雄]]
*[[中島啓]]
*[[小林俊行]]
*[[荒川知幸]]
*[[伊山修]]
*[[加藤周]]

===海外===
*[[テレンス・タオ]]
*[[イズライル・ゲルファント]]
==参考文献==
===和書===
* [[岩堀長慶]]：「[[対称群]]と[[一般線形群]]の表現論」、岩波講座基礎数学、 [[岩波書店]]。
* [[黒川信重]] (2014)：「[[ガロア理論]]と表現論：[[ゼータ関数]]への出発」, [[日本評論社]], {{ISBN2|978-4-535-78589-2}}.
* [[小林俊行]] & 大島利雄 (2005)：「[[リー群]]と表現論」. [[岩波書店]], ISBN 978-4-00-006142-1 .
* 島和久：「連続群とその表現」、岩波書店 (1981年4月24日)．
* J.-P.セール(著)、岩堀長慶、横沼健雄（共訳）：「有限群の線型表現」、岩波書店　(1974年3月4日).
* 髙瀨幸一：「群の表現論序説」、岩波書店、ISBN 978-4-00-005271-9 (2013年5月13日).
* 長尾汎、津島行男：「有限群の表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1310-2 (1987年8月20日).
* 服部昭：「群とその表現」、共立出版（共立数学講座 18）(1967年11月1日).
* 林正人著 (2014)：「 [[量子論]]のための表現論」,  [[共立出版]], {{ISBN2|978-4-320-11078-6}}.
* 平井武・山下博（2003)：「表現論入門セミナー ：具体例から最先端にむかって」、遊星社、ISBN 978-4-79526898-2。
** 平井武：「表現論入門セミナー［新装版］第Ⅰ巻：具体例からの表現論入門」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78968-5 (2022年9月).
** 山下博：「表現論入門セミナー [新装版] 第II巻：リー代数と表現論」、日本評論社、ISBN 978-4-535-78969-2 (2022年9月).
* [[平井武]]：「リー群のユニタリ表現論」、共立出版、ISBN 978-4-320-11208-7 (2022年12月23日).
* 横田一郎：「群と表現」、裳華房、ISBN 4-7853-1110-X (1973年5月1日)；※(復刊版2001年8月)
* 吉川圭二：「群と表現」、岩波書店（理工系の基礎数学 9）、ISBN 4-00-007979-4 (1996年10月18日).
* 山内恭彦：「回転群とその表現」、岩波書店 （1957年).

===洋書===
* {{Citation|title= Local Representation Theory: Modular Representations as an Introduction to the Local Representation Theory of Finite Groups|first=J. L.|last= Alperin|author-link=:en:J. L. Alperin|publisher=Cambridge University Press|year= 1986|isbn=978-0-521-44926-7}}.
* {{Citation|first=V.|last=Bargmann|title=Irreducible unitary representations of the Lorenz group|journal= [[Annals of Mathematics]]|volume=48|year=1947|pages=568–640|doi=10.2307/1969129|issue=3|publisher=Annals of Mathematics|jstor=1969129}}.
* {{Citation|title=Essays in the History of Lie Groups and Algebraic Groups|first=Armand|last= Borel|authorlink=Armand Borel|publisher=American Mathematical Society|year= 2001|isbn=978-0-8218-0288-5}}.
* {{Citation|title=Automorphic Forms, Representations, and L-functions|first=Armand |last=Borel|first2= W.|last2=Casselman|publisher=American Mathematical Society|year= 1979|isbn=978-0-8218-1435-2}}.
* {{Citation| title= Representation Theory of Finite Groups and Associative Algebras|first1=Charles W.|last1= Curtis | author1-link = :en:Charles W. Curtis|first2=Irving|last2= Reiner|author2-link=:en:Irving Reiner|publisher=John Wiley & Sons (Reedition 2006 by AMS Bookstore)|year=1962|isbn= 978-0-470-18975-7 }}.<!---citation template accepts only one isbn---(ISBN 978-0821840665)--->
* {{Citation|first=Stephen|last=Gelbart|authorlink= :en:Stephen Gelbart |title=An Elementary Introduction to the Langlands Program|journal=Bulletin of the American Mathematical Society|volume=10|issue=2|year=1984|pages=177–219|url=http://www.ams.org/bull/1984-10-02/S0273-0979-1984-15237-6/home.html|doi=10.1090/S0273-0979-1984-15237-6}}.
* {{Citation|title=A Course in Abstract Harmonic Analysis|first=Gerald B.|last= Folland|publisher=CRC Press|year= 1995|isbn=978-0-8493-8490-5}}.
* {{Fulton-Harris}}.
* {{Citation|last2=Wallach|first2=Nolan R.|last1=Goodman|first1=Roe|year=1998|title=Representations and Invariants of the Classical Groups|publisher= Cambridge University Press|isbn= 978-0-521-66348-9}}.
* {{citation |first1=James|last1= Gordon|last2=Liebeck|first2= Martin | title=Representations and Characters of Finite Groups | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1993 | isbn=978-0-521-44590-0}}.
* {{Citation|first=Sigurdur|last=Helgason|title=Differential Geometry, Lie groups and Symmetric Spaces|publisher=Academic Press|year=1978|isbn=978-0-12-338460-7}}
* {{citation | title =Introduction to Lie Algebras and Representation Theory|first=James E.|last=Humphreys|publisher=Birkhäuser|year= 1972a|isbn=978-0-387-90053-7}}.
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* {{Citation|title=Representations of Algebraic Groups|first=Jens Carsten|last= Jantzen|publisher=American Mathematical Society|year= 2003|isbn=978-0-8218-3527-2}}.
* {{Citation|last=Kac|first= Victor G.|authorlink=Victor Kac|title= Lie superalgebras|journal= Advances in Mathematics|volume= 26 |year=1977|issue= 1|pages=8&ndash;96|doi=10.1016/0001-8708(77)90017-2}}.
* {{Citation|last=Kac|first= Victor G.|title=Infinite Dimensional Lie Algebras|edition=3rd|publisher=Cambridge University Press|year= 1990|isbn=978-0-521-46693-6}}.
* {{Citation|title=Representation Theory of Semisimple Groups: An Overview Based on Examples|first=Anthony W.|last= Knapp|authorlink=:en:Anthony Knapp|publisher= Princeton University Press|year= 2001|isbn=978-0-691-09089-4}}.
* {{Citation|title=Group Theoretical Methods and Applications to Molecules and Crystals: And Applications to Molecules and Crystals|first=Shoon Kyung|last=Kim|publisher=Cambridge University Press|year= 1999|isbn=978-0-521-64062-6}}.
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* Yurii I. Lyubich. ''Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups''. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.
*{{citation | last1=Mumford | first1=David | author1-link=David Mumford | last2=Fogarty | first2=J. | last3=Kirwan | first3=F. | title=Geometric invariant theory | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | edition=3rd | series=Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [Results in Mathematics and Related Areas (2)] | isbn=978-3-540-56963-3 |mr=0214602(1st ed. 1965) {{MathSciNet|id=0719371}} (2nd ed.) {{MathSciNet | id = 1304906}}(3rd ed.) | year=1994 | volume=34}}
* {{citation | last=Olver|first= Peter J. | title=Classical invariant theory | location=Cambridge | publisher=Cambridge University Press | year=1999 | isbn= 0-521-55821-2}}.
* {{Citation|first1=F.|last1=Peter|first2=Hermann|last2=Weyl|title=Die Vollständigkeit der primitiven Darstellungen einer geschlossenen kontinuierlichen Gruppe|journal=Mathematische Annalen|volume=97|year=1927|issue=1|pages=737–755|doi=10.1007/BF01447892|url=http://gdz.sub.uni-goettingen.de/index.php?id=11&PPN=PPN235181684_0097&DMDID=DMDLOG_0039&L=1}}.
* {{Citation|first=Lev S.|last= Pontrjagin|authorlink=Lev Pontryagin|title=The theory of topological commutative groups|journal=[[Annals of Mathematics]]|volume=35|year= 1934|pages= 361–388|doi=10.2307/1968438|issue=2|publisher=Annals of Mathematics|jstor=1968438}}.
* {{Citation|title=Representation Theory and Harmonic Analysis on Semisimple Lie Groups|first1=Paul|last1= Sally|first2= David A.|last2= Vogan|author2-link=:en:David Vogan|publisher=American Mathematical Society|year=1989|isbn=978-0-8218-1526-7}}.
* {{citation | authorlink=Jean-Pierre Serre|first=Jean-Pierre|last= Serre| title=Linear Representations of Finite Groups | publisher=Springer-Verlag | year=1977 | isbn=978-0387901909}}.
* {{Citation| title= Differential Geometry: Cartan's Generalization of Klein's Erlangen Program|first=Richard W.|last= Sharpe|publisher=Springer|year= 1997|isbn= 978-0-387-94732-7}}.
* {{citation | title=Elements of the Representation Theory of Associative Algebras|first1=Daniel|last1= Simson|first2= Andrzej|last2=Skowronski|first3= Ibrahim|last3= Assem|publisher= Cambridge University Press|year= 2007|isbn=978-0-521-88218-7}}.
* {{citation | title =Group Theory and Physics|first=Shlomo|last= Sternberg|authorlink=:en:Shlomo Sternberg|publisher=Cambridge University Press|year=1994|isbn=978-0-521-55885-3}}.
* {{citation | title= Gruppentheorie und Quantenmechanik|first=Hermann|last= Weyl|authorlink=Hermann Weyl|edition=The Theory of Groups and Quantum Mechanics, translated H.P. Robertson, 1931|publisher= S. Hirzel, Leipzig (reprinted 1950, Dover)|year=1928|isbn=978-0-486-60269-1}}.
* {{Citation|title=The Classical Groups: Their Invariants and Representations|first=Hermann|last= Weyl|year=1946|edition=2nd|publisher =  Princeton University Press (reprinted 1997)| isbn= 978-0-691-05756-9}}.
* {{Citation|first= Eugene P.|last=Wigner|authorlink=Eugene Wigner|title=On unitary representations of the inhomogeneous Lorentz group|journal=[[Annals of Mathematics]]| volume=40|pages=149–204|year=1939|doi=10.2307/1968551|issue=1|publisher=Annals of Mathematics|jstor= 1968551}}.

==外部リンク==
* {{SpringerEOM|title=Representation theory|urlname=Representation_theory}}

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