表面張力波のソースを表示

[[ファイル:2006-01-14_Surface_waves.jpg|サムネイル|水面の表面張力波（さざ波）。]]
[[ファイル:Ripples_Lifjord.jpg|サムネイル|[[ノルウェー]]、{{仮リンク|オクスネス|en|Øksnes}}のリフィヨルド湾で見られたさざ波。]]
[[ファイル:Multy_droplets_impact.JPG|サムネイル|水と空気の界面に[[滴|液滴]]が落ちた衝撃で生まれた表面張力波。]]
'''表面張力波'''（{{Lang-en-short|capillary wave}}）とは、流体の{{仮リンク|相境界|en|Phase boundary}}上を伝播する[[波動|波]]で、[[動力学|ダイナミクス]]と[[位相速度]]が[[表面張力]]の効果に支配されるもの。[[自然|自然界]]に広く見られ、一般的に'''さざ波'''（{{Lang-en-short|ripple}}）と呼ばれる。水面の表面張力波の典型的な[[波長]]は数[[センチメートル]]以下で、位相速度は0.2〜0.3 [[m/s]]を超える。

流体界面の波の波長がそれよりも長くなると、表面張力のほか[[標準重力|重力]]と[[慣性]]の効果を受ける'''表面張力重力波'''となる。一般的に見られる[[重力波 (流体力学)|'''重力波''']]はさらに波長が長くなったものである。

開けた水域で弱い風によって作られるさざ波は英語の海事用語で cat's paw wave と呼ばれ、その微風も cat's paw（猫足風）と呼ばれる。広い海原では、風によって引き起こされた小さいさざ波が成長してはるかに大きな[[波|海面波]]（{{仮リンク|風浪|en|Wind wave}}と[[うねり]]）が生じることがある。

== 分散関係 ==
[[分散関係]]とは波の[[波長]]と[[周波数]]の関係をいう。表面張力の効果に完全に支配される純粋な表面張力波は、重力にも影響される表面張力重力波とは分散関係によって区別できる。

=== 厳密な表面張力波 ===
表面張力波の分散関係は以下となる。

: <math>
\omega^2=\frac{\sigma}{\rho+\rho'}\, |k|^3</math>

<math>\omega</math> は[[角周波数]]、<math>\sigma</math> は[[表面張力]]、<math>\rho</math> は界面で接する流体のうち重い側の[[密度]]、<math>\rho'</math> は軽い側の流体の密度、<math>k</math> は[[波数]]を表す。[[波長]]は <math>\lambda=\frac{2 \pi}{k}</math> となる。流体と真空の界面（自由表面）の場合、分散関係は以下のように簡略化される。

: <math>
\omega^2=\frac{\sigma}{\rho}\, |k|^3</math>

=== 表面張力重力波 ===
[[File:Dispersion capillary.svg|thumb|400px|right|深水表面で起きる表面張力重力波の分散関係。水面より上の領域は密度ゼロ (<math>\rho'=0</math>) としている。位相速度および群速度を <math>\scriptstyle \sqrt[4]{g\sigma/\rho}</math> で割り、相対波長の逆数 <math>\scriptstyle \frac{1}{\lambda}\sqrt{\sigma/(\rho g)}</math> の関数としてプロットしたもの。<br>
青線 (A): 位相速度、赤線 (B): 群速度<br>
実線: 表面張力重力波、破線: 重力波、一点鎖線: 表面張力波]]

一般には波は重力の影響も受けており、表面張力重力波と呼ばれる。無限の深さを持つ二流体の界面で起きる表面張力重力波の分散関係は次のようになる<ref name="Lamb">Lamb (1994), §267, page 458–460.</ref><ref>Dingemans (1997), Section 2.1.1, p.&nbsp;45.<br />Phillips (1977), Section 3.2, p.&nbsp;37.</ref>。

: <math>
\omega^2=|k|\left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'}g+\frac{\sigma}{\rho+\rho'}k^2\right)
</math>

ここで <math>g</math> は[[標準重力|重力加速度]]、 <math>\rho</math> と <math>\rho'</math> は二流体の[[密度]]である <math>(\rho > \rho')</math>。第1項の係数 <math>(\rho-\rho')/(\rho+\rho')</math> は[[アトウッド数]]である。

==== 重力波領域 ====
{{further information|エアリー波理論}}
波長が長い、すなわち波数 <math>k = 2\pi/\lambda</math> が小さい場合には、表面張力重力波の分散関係における第1項が支配的となり[[重力波 (流体力学)|重力波]]に帰着する。この極限で波の[[群速度]]は[[位相速度]]の半分となる。このとき[[波束]]（群速度で伝播する）に含まれる波の山の一つ（位相速度で伝播する）に注目すると、その山は波束の背後から近づきつつ成長し、波束の腹を通り過ぎると減衰しながら前方に消えていく。

==== 表面張力波領域 ====
[[File:Wave packet (dispersion).gif|thumb|表面張力波の分散。]]
波長 <math>\lambda</math> が短い、すなわち波数 <math>k</math> が大きい波は表面張力波であり、前節と逆の振る舞いを示す。波の山は波束の前方で現れ、高さを増しながら波束の中心に近づき、波束の背後に消えていく。

==== 最小位相速度 ====
これら2つの極限の間には重力による分散が表面張力による分散を相殺する点がある。その特定の波長では群速度が位相速度と等しくなり、分散は生じない。それと正確に同じ波長において表面張力重力波の位相速度は最小値を取る。この臨界波長 <math>\lambda_{m}</math> よりはるかに短い波長の波では表面張力が、はるかに長い波長の波では重力が支配的となる。<math>\lambda_{m}</math> とそこから導かれる最小位相速度 <math>c_{m}</math> は以下で与えられる<ref name="Lamb"/>。

:<math>
\begin{align}
 \lambda_m &= 2 \pi \sqrt{ \frac{\sigma}{(\rho-\rho') g}}
 \\
c_m &= \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ (\rho - \rho') g \sigma }}{\rho+\rho'} }
\end{align}
</math>

[[地球の大気|空気]]と[[水]]の界面では <math>\lambda_{m} = 1.7</math> [[cm]]、<math>c_{m} = 0.23</math> m/sとなる<ref name="Lamb"/>。

液体に小石か滴を落とすと様々な波長の波が同心円状に広がっていくが、それらが伝播するのはゆっくり広がる円の外側のみで、円の内側では流体は静止する。この円は最小群速度に対応する焦線である<ref>{{Cite book|last=Falkovich|first=G.|title=Fluid Mechanics, a short course for physicists|publisher=Cambridge University Press|year=2011|isbn=978-1-107-00575-4|nopp=yes|pages=Section 3.1 and Exercise 3.3}}</ref>。

==== 導出 ====
[[リチャード・P・ファインマン|リチャード・ファインマン]]の言によると「誰もが容易に目にすることができ、初等コースで波の例としてよく持ち出される{{Interp|水波}}は … 考えられる限り最悪の例であり、… 波が持ちうるあらゆる困難さを備えている」<ref>“Now, the next waves of interest, that are easily seen by everyone and which are usually used as an example of waves in elementary courses, are water waves. As we shall soon see, they are the worst possible example, because they are in no respects like sound and light; they have all the complications that waves can have”. ― [[Richard Feynman|R.P. Feynman]], R.B. Leighton, and M. Sands (1963). ''[[The Feynman Lectures on Physics]].'' Addison-Wesley. Volume I, Chapter 51-4.</ref>。実際、一般的な分散関係の導出は非常に複雑である<ref>See e.g. Safran (1994) for a more detailed description.</ref>。

系のエネルギーには[[重力]]、[[表面張力]]、流体運動の三つが寄与する。最初の二つは[[ポテンシャルエネルギー]]であり、前掲の分散関係における括弧内の二項は（ <math>g</math> と <math>\sigma</math> を含むことから分かるように）これらに起因する。重力の効果をモデル化する際には、流体の密度が一定（すなわち[[非圧縮性]]）であり、<math>g</math> も一定（波は重力が大きく変化するほどの高さに至らない）と仮定されている。表面張力に関しては、水平面を基準とした水面の鉛直変位（表面の導関数で表される）が小さいとされている。通常の波ではどちらも十分に良い近似となる。

三つ目の寄与は流体の[[運動エネルギー]]から来ている。三つのうちでは最も複雑であり、{{仮リンク|流体動力学|en|Hydrodynamics}}的な枠組みが必要となる。ここでも非圧縮性（波の速度が流体中の音速よりはるかに小さいときにあてはまる）と、さらに{{仮リンク|渦なし場|en|Conservative vector field|label=渦なし流れ}}が仮定される。それにより流れは{{仮リンク|ポテンシャル流れ|en|Potential flow}}となる。これらも一般的な状況を概して良く近似する。そうして得られる[[速度ポテンシャル|ポテンシャル]]方程式（[[ラプラス方程式]]となる）は適切な境界条件のもとで解くことができる。まず、水面から十分に遠方で流速は消失しなければならない（ここで想定している「深水」の状況がそれにあたる。そうでなければ結果は複雑になる。[[:en:wind wave]]（[[風浪]]）を参照）。さらに流速の垂直成分は表面の運動と一致している必要がある。

最終的に、分散関係に対する運動エネルギーの寄与は括弧外の <math>|k|</math> に現れる。この係数により、<math>k</math> が低いときから高いときまですべての領域で分散性が生じる（例外は二つの分散性が相殺される <math>|k|</math> の値とその近辺である）。
{| class="toccolours mw-collapsible mw-collapsed" width="90%" style="text-align:left"
!二つの半無限な流体領域の界面に発生する表面張力重力波の分散関係
|-
|二つの流体領域があり、それらの界面に表面張力が働くとする。界面は時間平均すると水平面をなす。二流体の密度は異なっており、下側と上側の密度をそれぞれ <math>\rho</math> および <math>\rho'</math> とする。流体は{{仮リンク|非粘性流れ|en|Inviscid flow|label=非粘性}}かつ[[非圧縮性流れ|非圧縮性]]であり、流れは渦なしだと仮定する。このような流れはポテンシャル流であり、下側と上側の流速はそれぞれ <math>\nabla \Phi</math> および <math>\nabla \Phi'</math> で与えられる。<math>\Phi(x,y,z,t)</math> と <math>\Phi'(x,y,z,t)</math> は[[速度ポテンシャル]] である。

エネルギーには[[標準重力|重力]]の[[ポテンシャルエネルギー|ポテンシャル]] <math>V_\mathrm{g}</math>、表面張力のポテンシャル <math> V_\mathrm{st}</math>、[[運動エネルギー]] <math>T</math> の三つの寄与がある。重力の項 <math> V_\mathrm{g}</math> はもっとも単純であり、重力のポテンシャル密度 (<math>\rho g z, \rho' g z</math>) を基準点から界面の鉛直座標 <math>z = \eta(x,y,t)</math> まで積分することで<ref>Lamb (1994), §174 and §230.</ref>

:<math>
\begin{align}
  V_\mathrm{g}
    &= \iint dx\, dy\; \int_0^\eta dz\; (\rho - \rho') g z \\
    &= \frac{1}{2} (\rho-\rho') g \iint dx\, dy\; \eta^2
\end{align}
</math>

を得る。ただし界面の平均高さを <math>z=0</math> とした。

変位 <math>\eta(x,y,t)</math> によって界面の面積が増えると、表面張力エネルギーはそれに比例して増加する<ref name=LambCap>Lamb (1994), §266.</ref>。

:<math>
\begin{align}
  V_\mathrm{st}
  &= \sigma \iint dx\, dy\;  
    \left[ 
      \sqrt{ 1 + \left( \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2
               + \left( \frac{\partial \eta}{\partial y} \right)^2} 
      - 1
    \right]
\\
  & \approx \frac{1}{2} \sigma \iint dx\, dy\; 
    \left[ 
      \left( \frac{\partial \eta}{\partial x} \right)^2
      +
      \left( \frac{\partial \eta}{\partial y} \right)^2 
    \right]
\end{align}
</math>

上の最初の等式では[[ガスパール・モンジュ|モンジュ]]による[[図法幾何学|表現]]を用いた面積の計算が行われている。第二の等式は <math>\eta</math> の導関数が小さいとき（界面があまり波打っていないとき）に成立する。

最後に流体の運動エネルギーからの寄与は以下で与えられる<ref name=LambKin>Lamb (1994), §61.</ref>。

:<math>
  T= 
  \frac{1}{2} \iint dx\, dy\;  
  \left[ 
    \int_{-\infty}^\eta dz\; \rho\,  \left| \mathbf\nabla \Phi  \right|^2
    +
    \int_\eta^{+\infty} dz\; \rho'\, \left| \mathbf\nabla \Phi' \right|^2
  \right]
</math>

ここで流体が非圧縮性であり、流れが渦なしであること（多くの場合、妥当な仮定である）を用いる。その結果 <math>\Phi(x,y,z,t)</math> と <math>\Phi'(x,y,z,t)</math> はいずれも[[ラプラス方程式]]

:<math>\nabla^2 \Phi = 0</math>, <math>\nabla^2 \Phi' = 0</math>

に従う<ref>Lamb (1994), §20</ref>。

これらを解くために適切な境界条件を与える。すなわち、界面から十分に遠方では <math>\Phi</math> と <math>\Phi'</math> はいずれも消失しなければならない（ここで想定されている「深水」の状況が当てはまる）。

[[グリーンの恒等式]]を用い、さらに界面の鉛直方向変位が小さい（そのため  <math>z = \eta</math> までの積分を <math>z=0</math> までで近似することができる）と仮定すると、運動エネルギーは以下のように表せる<ref name=LambKin/>。

:<math>
  T \approx
  \frac{1}{2} \iint dx\, dy\;  
  \left[
    \rho\,  \Phi\,  \frac{\partial \Phi }{\partial z}\; 
    -\; 
    \rho'\, \Phi'\, \frac{\partial \Phi'}{\partial z}
  \right]_{z=0}
</math>

分散関係を得るには、界面を <math>x</math> 方向に伝播する[[正弦波]]

:<math>\eta = a\, \cos\, ( kx - \omega t) = a\, \cos\, \theta </math>

を考えれば十分である<ref name=LambCap/>。振幅を <math>a</math>、波の[[位相]]を <math>\theta = kx - \omega t</math> とした。速度ポテンシャルを界面の運動と結び付ける運動学的境界条件として、界面において両方の流体の鉛直速度成分は波の運動と一致しなければならない<ref name=LambCap/>。

:<math>\frac{\partial\Phi}{\partial z} = \frac{\partial\Phi'}{\partial z} = \frac{\partial\eta}{\partial t}</math> &nbsp; (<math>z = 0</math>)

各領域の速度ポテンシャルを求めるにあたって[[変数分離]]を試みると、それぞれのポテンシャル場は以下のように書かれる<ref name=LambCap/>。

:<math>
\begin{align}
  \Phi(x,y,z,t) & = + \frac{1}{|k|} \text{e}^{+|k|z}\, 
                      \omega a\, \sin\, \theta
  \\
  \Phi'(x,y,z,t)& = - \frac{1}{|k|} \text{e}^{-|k|z}\, 
                      \omega a\, \sin\, \theta
\end{align}
</math>

以上より、波のエネルギーに対する三つの寄与を水平面内で <math>x</math> 方向に一波長分、<math>y</math> 方向に単位幅にわたって積分すると以下のようになる<ref name=LambCap/><ref>Lamb (1994), §230.</ref>。

:<math>
\begin{align}
  V_\mathrm{g} &= \frac{1}{4} (\rho-\rho') g a^2 \lambda
  \\
  V_\mathrm{st} &= \frac{1}{4} \sigma k^2 a^2 \lambda
  \\
  T &= \frac{1}{4} (\rho+\rho') \frac{\omega^2}{|k|} a^2 \lambda
\end{align}
</math>

分散関係は以下の[[ラグランジュ力学|ラグランジアン]] <math>L = T - V</math>から求められる (ここで <math>V = V_\mathrm{g} + V_\mathrm{st}</math>) <ref name=Whitham>{{cite book | first=G. B. | last=Whitham | author-link=Gerald B. Whitham | title=Linear and nonlinear waves | publisher = Wiley-Interscience | year=1974 | isbn=0-471-94090-9 }} See section 11.7.</ref>。

:<math>
  L = \frac{1}{4} \left[
      (\rho+\rho') \frac{\omega^2}{|k|} - (\rho-\rho') g - \sigma k^2
    \right] a^2 \lambda
</math>

線形波動理論のもとで正弦波の{{仮リンク|平均ラグランジアン|en|Averaged Lagrangian}}は常に <math>L = D(\omega, k) a^{2}</math> の形を取る。したがって、唯一の自由なパラメータである <math>a</math> についての変分条件から分散関係 <math>D(\omega, k) = 0</math> が導かれる<ref name=Whitham/>。ここで <math>D(\omega,k)</math> は上式の角かっこ内にあたり、分散関係は

:<math>
  \omega^2 = |k| \left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'}\, g  + \frac{\sigma}{\rho+\rho'}\, k^2 \right)
</math>
となって前掲式と一致する。

結果として、水平面の単位面積当たり波の平均エネルギー <math>(T + V)/\lambda</math> は

:<math>
  \bar{E} = \frac{1}{2}\, \left[ (\rho-\rho')\, g + \sigma k^2 \right]\, a^2
</math>

である。また、線形波で一般的なようにポテンシャルと運動エネルギーは等しい（[[エネルギー等分配の法則]]は保たれている）<ref>{{cite journal | title=On progressive waves | author=Lord Rayleigh (J. W. Strutt) | author-link=Lord Rayleigh | year=1877 | journal=Proceedings of the London Mathematical Society | volume=9 | pages=21–26 | doi=10.1112/plms/s1-9.1.21 | url=https://zenodo.org/record/1447762 }} Reprinted as Appendix in: ''Theory of Sound'' '''1''', MacMillan, 2nd revised edition, 1894.</ref>。
|}

== ギャラリー ==
<gallery>
ファイル:Surface waves and water striders.JPG|[[アメンボ]]によって作られたさざ波。
ファイル:Narvijärvi ripples.jpg|そよ風によって湖水表面に作られたさざ波。
</gallery>

== 関連項目 ==

* [[毛細管現象]]
* {{仮リンク|分散 (水波)|en|Dispersion (water waves)}}
* {{仮リンク|熱表面張力波|en|Thermal capillary wave}}
* {{仮リンク|二層流|en|Two-phase flow}}
* {{仮リンク|ウェーブリップル|en|Wave-formed ripple}}

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==

* {{Cite journal|last=Longuet-Higgins,M. S.|year=1963|title=The generation of capillary waves by steep gravity waves|journal=Journal of Fluid Mechanics|volume=16|issue=1|pages=138–159|bibcode=1963JFM....16..138L|DOI=10.1017/S0022112063000641|ISSN=1469-7645}}
* {{Cite book|first=H.|last=Lamb|author-link=Horace Lamb|year=1994|title=Hydrodynamics|publisher=Cambridge University Press|edition=6th|isbn=978-0-521-45868-9}}
* {{Cite book|first=O. M.|last=Phillips|author-link=Owen Martin Phillips|title=The dynamics of the upper ocean|publisher=Cambridge University Press|year=1977|edition=2nd|isbn=0-521-29801-6}}
* {{Cite book|title=Water wave propagation over uneven bottoms|first=M. W.|last=Dingemans|year=1997|series=Advanced Series on Ocean Engineering|volume=13|publisher=World Scientific, Singapore|pages=2 Parts, 967 pages|isbn=981-02-0427-2}}
* {{Cite book|first=Samuel|last=Safran|title=Statistical thermodynamics of surfaces, interfaces, and membranes|publisher=Addison-Wesley|year=1994}}
* {{Cite journal|last=Tufillaro|first=N. B.|last2=Ramshankar|first2=R.|last3=Gollub|first3=J. P.|year=1989|title=Order-disorder transition in capillary ripples|url=http://scholarship.haverford.edu/cgi/viewcontent.cgi?article=1062&context=physics_facpubs|journal=Physical Review Letters|volume=62|issue=4|pages=422–425|bibcode=1989PhRvL..62..422T|DOI=10.1103/PhysRevLett.62.422|PMID=10040229}}

== 外部リンク ==

* [http://www.sklogwiki.org/SklogWiki/index.php/Capillary_waves sklogwikiの表面張力波エントリ]

{{DEFAULTSORT:ひようめんちようりよくは}}
[[Category:波]]
[[Category:流体力学]]