被約環のソースを表示

数学の[[可換環論]]において、'''被約環'''（ひやくかん、{{lang-en-short|reduced ring}}）とは、0でない[[ベキ零元]]をもたない[[環 (数学)|環]]のことである（ベキ零元とは何乗かすると0になる元のことである）。被約環は[[可換環論]]や[[代数幾何学]]で役割を果たす。可換環上の可換多元環は環として被約なとき'''被約多元環'''と呼ばれる。'''被約スキーム'''とは茎が被約なスキームである。

この記事は可換環論に関するものである。とくに、環は単位元をもち可換なものを考える。環準同型は単位元を単位元に写す。詳細は[[可換環論]]を見られたい。

== 定義 ==
=== 被約環 ===
環 ''R'' が'''被約'''であるとは、すべての ''r'' &isin; ''R'' に対して、
:<math>r^n = 0 \iff r = 0</math>
が成り立つときをいう。これは次と同値である。
* すべての ''r'' &isin; ''R'' に対して次が成り立つ：
*:<math>r^2 = 0 \iff r = 0.</math>
* 環の[[ベキ零根基]]は零イデアルである：
*:<math>\sqrt{(0)}= (0).</math>

=== 被約スキーム ===
[[概型|スキーム]] <math>(X,\mathcal{O}_X)</math> が被約であるとは、任意の開集合 <math>U \subset X</math> に対して環 <math>\mathcal{O}_X(U)</math> がベキ零元をもたないときをいう。これは次と同値である。すべての <math>x \in X</math> に対して局所環（茎）
:<math>\mathcal R_x=\operatorname{lim}_{V\ni x}\mathcal F(V)</math>
が被約である。

== 性質 ==
* 被約環の[[部分環]]、[[環の直積|直積]]、[[環の局所化|局所化]]は被約である。
* [[剰余環]] ''R''/''I'' が被約であることと ''I'' が[[根基イデアル]]であることは同値である。
* ''R'' が[[ネーター環]]のとき、次が成り立つ。
*:''R'' が被約であることと、零イデアルの[[準素分解]]においてその成分として（極小）素イデアルのみ現れることは同値である。

* 被約性は局所的な性質である。すなわち：
*:環 ''R'' が被約であることと、すべての[[極大イデアル]] <math>\mathfrak{m}</math> に対して <math>R_\mathfrak{m}</math> が被約であることは同値である。

* スキームが[[整スキーム|整]]であることと、[[既約位相空間|既約]]かつ被約であることは同値である。
* [[正標数]]の可換環が被約であることと[[フロベニウス自己準同型]]が単射であることは同値である（cf. [[完全体]]）。

== 例 ==
* <math>\Z</math> や体上のすべての多項式環は被約である。
* 環 <math>R/ \sqrt{(0)}</math> は被約である。
* すべての[[整域]]は被約である。逆は成り立たない。
* <math>\Z/6\Z</math> は被約であるが、<math>\Z/4\Z</math> はベキ零元 <math>2+4\Z</math> をもつので被約でない。一般に、<math>\Z/n\Z</math> が被約であることと ''n'' が 0 または [[square-free]] な整数であることは同値である。
* 環 <math>K[X]/(X^2)</math> は被約でない。ベキ零元 <math>X+(X^2)</math> をもつからである。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2018-12-06|section=1}}
* [[Ernst Kunz]]: ''Einführung in die kommutative Algebra und algebraische Geometrie'', Vieweg (1980), ISBN 3-528-07246-6 
* [[Michael Francis Atiyah|Atiyah]], [[Ian Macdonald|Macdonald]]: ''Introduction to Commutative Algebra'', Addison-Wesley (1969), ISBN 0-2010-0361-9
* Brüske, Ischebeck, Vogel: ''Kommutative Algebra'', Bibliographisches Institut (1989), ISBN 978-3411140411
* H. Matsumura, ''Commutative algebra'' 1980 ISBN 0-8053-7026-9.
* [[Bourbaki|N. Bourbaki]], ''Commutative Algebra'', Hermann Paris 1972, Chap. II, § 2.7
* [[Bourbaki|N. Bourbaki]], ''Algebra'', Springer 1990, Chap. V, § 6.7

{{DEFAULTSORT:ひやくかん}}
[[category:可換環論]]
[[category:代数幾何学]]
[[category:環論]]
[[category:数学に関する記事]]