裾の重い分布のソースを表示

'''裾の重い分布'''あるいは'''ヘヴィーテイル'''とは、[[確率分布]]の[[裾]]が[[ガウス分布]]のように指数関数的には減衰せず<ref name="Asmussen">{{cite journal|title=Steady-State Properties of of GI/G/1|volume=51|year=2003|pages=266–301|doi=10.1007/0-387-21525-5_10}}</ref>、それよりも緩やかに減衰する分布の総称。
また類似の用語に、ファットテイル、裾の厚い分布、ロングテール、劣指数的 (subexponential) などがある。

==定義==
===裾の重い分布(ヘヴィーテイル)===
本記事冒頭部に日本語で記載されている定義を数学的に表すと以下のようになる。

確率変数 ''X'' の累積確率分布関数 ''<span style='text-decoration:overline'>F</span>'' を

: <math>\overline{F}(x) \equiv \Pr[X>x] \, </math>

と書いたとき、以下を満たす確率分布は(右)裾の重い分布(ヘヴィーテイル)である。

:<math>
\lim_{x \to \infty} e^{\lambda x}\overline{F}(x) = \infty \quad \mbox{for all } \lambda>0.\,
</math>

===ファットテール===
裾の重い分布の中でも裾の分布がべき乗則にしたがって減衰する分布をファットテールと呼ぶことが多い。
{{main|:en:Fat-tailed distribution}}

===ロングテール===
確率変数 ''X'' がすべての ''t'' > 0 について以下を満たす確率分布はロングテールである。

:<math>
\lim_{x \to \infty} \Pr[X>x+t|X>x] =1, \,
</math>

これは累積確率分布関数を ''<span style='text-decoration:overline'>F</span>'' として以下と同じである。

:<math>
\overline{F}(x+t) \sim \overline{F}(x) \quad \mbox{as } x \to \infty. \,
</math>

簡単にいえば、x → ∞ ではほとんど減衰しない裾を持つ分布である。

==ヘヴィーテイル分布の例==
===片側ヘヴィーテイル===
* [[パレート分布]]
* [[対数正規分布]]
* [[レヴィ分布]]
* 形状パラメータが 1未満の[[ワイブル分布]]
* [[:en:Burr distribution]]
* {{ill|対数ガンマ分布|en|log-gamma distribution}}
* [[対数コーシー分布]]

===両側ヘヴィーテイル===
* [[コーシー分布]]
* 正規分布を除いた[[安定分布]]<ref>{{cite web |author=John P. Nolan | title=Stable Distributions: Models for Heavy Tailed Data| year=2009 | url=http://academic2.american.edu/~jpnolan/stable/chap1.pdf | format=PDF | accessdate=2009-02-21}} {{Dead link|date=2024-05}}</ref>
* [[t分布]]
* [http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ skew lognormal cascade distribution ] <ref>{{cite web |author=Stephen Lihn | title=Skew Lognormal Cascade Distribution| year=2009 | url=http://www.skew-lognormal-cascade-distribution.org/ |accessdate=2014-04-03}}</ref>

== 裾指数の推定 ==
最尤法(MLE)を用いて裾指数を推定することができる。代表的な裾指数の推定方法には次の推定法がある。
* Pickands tail-index 
* Hill tail-index 

===ソフトウェア===
* [http://www.cs.bu.edu/~crovella/aest.html 裾指数推定のためのC言語ツール]{{Dead link|date=2024-05}}<ref>{{cite journal|last1=Crovella|first1=Mark E.|last2=Taqqu|first2=Murad S.|journal=Methodology And Computing In Applied Probability|volume=1|issue=1|year=1999|pages=55–79|issn=13875841|doi=10.1023/A:1010012224103}}</ref>

==関連項目==
*[[ロングテール]]
*[[べき乗則]]
*[[極値分布]]

==脚注==
<references/>
{{デフォルトソート:すそのおもいふんふ}}
[[Category:確率分布]]
[[Category:保険数理]]
[[Category:リスク]]
[[Category:数学に関する記事]]