複体のソースを表示

{{出典の明記|date=2015年9月}}
[[Image:Simplicial complex example.svg|thumb|right|複体の例]]

'''単体複体'''（たんたいふくたい、{{lang-en-short|''simplicial complex''}}）（略して'''複体'''（ふくたい、{{lang-en-short|''complex''}}）ということもある）とは、複数の[[単体 (数学)|単体]]を、同じ次元の面（部分単体）同士で貼り合わせてできる図形である。[[代数的位相幾何学]]における'''単体集合'''は単体複体と混同されやすいが、単体集合は単体複体の[[圏論]]的な抽象化であり、単体圏からの[[関手]]として定義される概念として区別されるべきである。むしろ単体複体の性質から、各々の単体はその頂点の集合で完全に決定され、複体を頂点全体の集合とその部分集合の族の組として[[組合せ論]]的に表示することができる。この様に組合せ論的に表示された複体を'''抽象単体複体'''と呼ぶ。

== 定義 ==
有限個の[[単体 (数学)|単体]]の集合 ''K'' が、以下の条件を満たす時、''K'' を単体複体であると言う。
# ''a'' &isin; ''K'' かつ ''c'' が ''a'' の面ならば ''c'' &isin; ''K'' である。
# ''a'', ''b'' &isin; ''K'' ならば、''a'' &cap; ''b'' は空集合でない限り ''a'' の面かつ ''b'' の面である。

=== 順序集合としての定義 ===
単体複体は順序集合としても定義され、それは組合せ論的に与えられる抽象単体複体と等価である。順序集合 (''X'', &le;) が'''単体的''' (''simplex-like'') であるとは、''a'' &isin; ''X'' ならばある[[有限集合]] ''V''<sub>''a''</sub> が存在して
:<math>X_{\leq a} = \{ f \in X \mid f \leq a  \} \simeq \mathfrak{P}(V_a)</math>
なる順序同型が成立することとする（右辺は ''V''<sub>''a''</sub> の[[べき集合]]。また、空集合に合致する部分を除く場合もある）。このとき、順序集合 (&Delta;, &sub;) が
# ''X'' &isin; &Delta; ならば ''X'' は単体的、
# ''X'', ''Y'' &isin; &Delta; ならば、順序 &sub; に関する下限 ''X'' &and; ''Y'' が存在する
という条件を満たすとき、&Delta; は単体複体であるという。

== 例 ==
たとえば、二次元の世界で、[[正方形]]に[[対角線]]を一本入れた図形は、複体である。なぜなら、この図形は[[三角形]]二つからなっているが、その二つの三角形の共通部分は、対角線であり、両方の三角形の面（この場合は線分）になっているからである。

== 諸概念 ==
=== 頂点・面 ===
二つの単体 ''a'', ''b'' に対し、''a'' &sub; ''b'' が成り立つことを、''a'' は ''b'' の面 (face) であるという（普通は面といえば二次元の幾何学的対象であるが、今の場合は各単体の次元は問わない）。また &sub; の定める順序を'''面関係''' (''face relation'') ということがある。頂点は面関係に関して（空集合を除いて）極小な単体として特徴付けられる。

=== 単体写像 ===
単体複体の間の、単体の構造を保つ写像を'''単体写像'''という。具体的には 2 つの複体 ''K'', ''L'' があるとき、''K'' の頂点集合 ''V''<sub>''K''</sub> から ''L'' の頂点集合 ''V''<sub>''L''</sub> への写像 ''f'' が引き起こす ''K'' に属する単体全体のなす集合から ''L'' に属する単体全体の成す集合への写像 ''f''<sup>*</sup> が包含関係による順序を保つとき、''f'' は複体の間の写像であるという。''f'' および ''f''<sup>*</sup> がともに全単射であれば、2 つの複体は'''単体同型'''という。

単体複体 ''K''の単体の構造を忘れてユークリッド空間内の図形と考えたものを |''K''| で表し、'''多面体'''（ためんたい、''polyhedron''）と呼ぶ。
二つの複体 ''K'', ''L'' が単体同型ならば、二つの多面体 |''K''|, |''L''| は位相同型であるという定理があり、この定理を用いると、曲線を用いない図形について、位相同型か否かを組合せ論的に示すことができる。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|抽象単体複体|en|abstract simplicial complex}}
* [[鎖複体]]
* [[CW複体]]
* {{仮リンク|胞複体|en|cell complex}}

== 外部リンク ==
* {{SpringerEOM | title=Simplicial complex | id=Simplicial_complex }}

{{Topology}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふくたい}}
[[Category:位相幾何学]]
[[Category:代数的位相幾何学]]
[[Category:組合せ論]]
[[Category:数学に関する記事]]