複比のソースを表示

{{Distinguish|オッズ比}}
[[ファイル:Projection_geometry.svg|リンク=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/9/94/Projection_geometry.svg/220px-Projection_geometry.svg.png|サムネイル|点''A,'' ''B,'' ''C,'' ''D''および''A''<nowiki/>', ''B','' ''C','' ''D''' は射影変換によって関連付けられているため、それらの複比(A, B; C, D)および(A', B'; C', D')は等しい。]]

'''複比'''（ふくひ、英: double ratio）は、[[幾何学]]における概念の1つで、'''交差比'''（こうさひ、英: cross-ratio）および'''非調和比'''（ひちょうわひ、英: anharmonic ratio）とも呼ばれ、4つの[[共線]]上の点、特に[[射影直線]]上の点の集合に関連付けられた数値である。直線上の4つの点 A, B, C, D が与えられると、それらの複比は次のように定義される。

: <math>(A,B;C,D) = \frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD}</math>

ここで、各距離の符号は線の向きによって決まり、距離は[[ユークリッド空間]]に射影されて測定される。（4つの点の1つが直線の無限遠点である場合、その点を含む2つの距離は式から削除される。）複比が正確に-1の場合、点DはAとBに対するCの[[調和共役 (幾何学)|調和共役]]であり、調和比と呼ばれる。したがって、複比は、4つ組の調和比からの偏差を測定するものとみなせる。そのため''非調和比''とも呼ばれる。

複比は[[一次分数変換|線形分数変換]]の下で不変である。これは本質的に4つの同一線上の点の唯一の射影[[不変量]]である。このことは[[射影幾何学]]の根底にある重要な性質である。

複比は、古代よりおそらくは[[エウクレイデス|ユークリッド]]によって定義され、[[パップス]]によってその重要な普遍性特性に注目した考察がなされた。19世紀には広く研究されるようになった。<ref>A theorem on the anharmonic ratio of lines appeared in the work of [[Pappus of Alexandria|Pappus]], but [[Michel Chasles]], who devoted considerable efforts to reconstructing lost works of [[Euclid]], asserted that it had earlier appeared in his book ''Porisms''.</ref>

射影平面上で1点で交わる4線（英: concurrent lines）や、[[リーマン球面]]上の4点についての派生した概念も存在する。[[双曲幾何学]]の[[ベルトラミ-クライン模型|ケイリー・クラインモデル]]では、特定の複比により点間の距離が表される。

== 用語と歴史 ==
[[ファイル:Pappusharmonic.svg|リンク=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/e/ee/Pappusharmonic.svg/300px-Pappusharmonic.svg.png|右|サムネイル|300x300ピクセル| ''D''は''AとB''に対する''C''の[[調和共役 (幾何学)|調和共役]]であるため、交差比(A, B; C, D)は-1に等しい。]]
[[パップス|アレクサンドリアのパップス]]は、自身の著書''Collection: Book VIIの中''で複比に相当する概念を暗に使用した。パップスの初期の読者には、[[アイザック・ニュートン]]、[[ミシェル・シャール]]、[[ロバート・シムソン]]が含まれる。 1986年、アレクサンダー・ジョーンズはパップスの原文を翻訳し、パップスの補題が現代の用語とどのように関係しているかについて解説を書いた。<ref>Alexander Jones (1986) ''Book 7 of the Collection'', part 1: introduction, text, translation {{ISBN2|0-387-96257-3}}, part 2: commentary, index, figures {{ISBN2|3-540-96257-3}}, [[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|Springer-Verlag]]</ref>

射影幾何学における複比の現代的な使用は、1803 年に[[ラザール・カルノー]]の著書''Géométrie de Position''で始まった。使用された用語は、 ''le rapport anharmonique（''非調和比）であった。ドイツの幾何学者はそれを''das Doppelverhältnis''（複比）と呼んだ。

直線上の3点が与えられたとき、複比が-1になる4番目の点は[[調和共役 (幾何学)|射影調和共役]]と呼ばれる。 1847 年に、[[カール・フォン・シュタウト]]は4番目の点の構成を'''スロー'''（英: '''throw''', 独: '''Wurf''') と呼び、この構成を使用して、幾何学で暗黙的な算術演算を示した。彼による[[カール・フォン・シュタウト|スロー代数]]は、通常は公理とみなされるが、射影幾何学で証明された数値命題へのアプローチを提供している。<ref>[[Howard Eves]] (1972) ''A Survey of Geometry'', Revised Edition, page 73, [[Allyn and Bacon]]</ref>

英語の"cross-ratio"という用語は、1878 年に[[ウィリアム・キングドン・クリフォード]]によって導入された。<ref>[[W.K. Clifford]] (1878) [http://ebooks.library.cornell.edu/cgi/t/text/text-idx?c=math;cc=math;view=toc;subview=short;idno=04370002 Elements of Dynamic, books I,II,III], page 42, London: MacMillan & Co; on-line presentation by [[Cornell University]] ''Historical Mathematical Monographs''.</ref>

== 定義 ==
座標''z''<sub>1</sub>,&nbsp;''z''<sub>2</sub>,&nbsp;''z''<sub>3</sub>,&nbsp;''z''<sub>4</sub>の[[実数直線]]上の4つの異なる点の複比は次の式で与えられる。

: <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_3-z_1)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-z_1)}.</math>

また、2つの3点の分割比率の「複比」として記述することもできる。

: <math>(z_1,z_2;z_3,z_4) = \frac{z_3-z_1}{z_3-z_2}:\frac{z_4-z_1}{z_4-z_2}.</math>

複比は通常、 ''z''<sub>1</sub>,&nbsp;''z''<sub>2</sub>,&nbsp;''z''<sub>3</sub>,&nbsp;''z''<sub>4</sub>のいずれかが[[無限|無限大]]<math> (\infty)</math>の場合にも拡張される。これは、無限大となる点を含む2箇所を削除することにより行われる。例:

: <math>(\infty,z_2;z_3,z_4) = \frac{(z_3-\infty)(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)(z_4-\infty)}=\frac{(z_4-z_2)}{(z_3-z_2)} .</math>

[[ユークリッド幾何学]]では、 A, B, C, D が[[共線]]上の点である場合、複比は次のように表される。

: <math>(A,B;C,D) = \frac {AC\cdot BD}{BC\cdot AD} ,</math>

ここで、各距離の符号は、線の一貫した方向に従って決定される。

同じ式を4つの異なる[[複素数]]、またはより一般的には任意の[[可換体|体]]の元にも適用でき、1つが∞の場合は上記のような拡張が可能である。

== 性質 ==
共線上の4点 ''A'', ''B'', ''C'', ''D'' の複比は、次のように記述できる。

: <math>(A,B;C,D) = \frac {AC}{CB}:\frac {AD}{DB}</math>

ここで<math>\frac {AC}{CB}</math>は点''C''が線分<math>AB</math>を分割する比率を表し、 <math>\frac {AD}{DB}</math>は点''D''が同じ線分を分割する比率を表す。次に、複比は比の比として現れ、2 つの点 C, D が線分<math>AB</math>に対してどのように位置しているかを表す。点 ''A, B, C, D'' が異なる限り、複比 (A, B; C, D) はゼロ以外の実数となる。それは次のように簡単に推測できる。

* (''A'', ''B''; ''C'', ''D'') < 0 は、点 C, D の一方が点 A, B の間にあり、他方が点 A, B の間にない場合に限る。
* (''A'', ''B''; ''C'', ''D'') = 1 / (''A'', ''B''; ''D'', ''C'')
* (''A'', ''B''; ''C'', ''D'') = (''C'', ''D''; ''A'', ''B'')
* (''A'', ''B''; ''C'', ''D'') ≠ (''A'', ''B''; ''C'', ''E'') ↔ ''D'' ≠ ''E''

=== 6つの複比 ===
4点を並べる方法は {{Nowrap|1=[[階乗|4!]] = 4 × 3 × 2 × 1 = 24}} 通りだが、それらを順序付けられていない2つのペアに分割する方法は6通りしかない。したがって、4点は異なる交差比を6つのみ持つ。これらは次の関係式のようになる。

: <math>
\begin{align}
& (A,B;C,D) = (B,A;D,C) = (C,D;A,B) = (D,C;B,A) = \lambda \\[6pt]
& (A,B;D,C) = (B,A;C,D) = (C,D;B,A) = (D,C;A,B) = \frac 1 \lambda \\[6pt]
& (A,C;B,D) = (B,D;A,C) = (C,A;D,B) = (D,B;C,A) = 1-\lambda \\[6pt]
& (A,C;D,B) = (B,D;C,A) = (C,A;B,D) = (D,B;A,C) = \frac 1 {1-\lambda} \\[6pt]
& (A,D;B,C) = (B,C;A,D) = (C,B;D,A) = (D,A;C,B) = \frac{\lambda-1} \lambda \\[6pt]
& (A,D;C,B) = (B,C;D,A) = (C,B;A,D) = (D,A;B,C) = \frac \lambda {\lambda-1}.
\end{align}
</math>

後述の''[[複比#非調和群とクライン四群|非調和群]]''を参照。

== 射影幾何学 ==
{{further|射影幾何学}}
[[ファイル:Cross_ratio_metrology_example.svg|リンク=//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c3/Cross_ratio_metrology_example.svg|サムネイル|射影幾何学における複比を使用した透視投影で描かれた地物の実際の寸法の測定。 A, B, C, D, Vは画像上の点であり、それらの間隔はピクセル単位で示される。 A', B', C', D'は実世界にあり、メートル単位で分離される。

* （1）脇道の幅Wは、隣接する店舗の既知の幅から計算される。

* （2）消失点Vが表示されるため、1つの店の幅のみが必要である。

]]

複比は射影直線の[[射影変換]]によって保持されるという意味で'''射影[[不変量]]'''である。

特に、4つの点が'''R'''<sup>2</sup>の直線''L''上にある場合、それらの複比は、原点を選択や線上のスケールを選択に関わらず同じ値になるため [[well-defined]] な量である。

さらに {{Nowrap|{''L''<sub>''i''</sub> {{!}} 1 ≤ ''i'' ≤ 4}}} は、同じ点''Q''を通る平面上の4本の異なる直線である。次に、''Q''を通過しない任意の線''L''は、4つの異なる点''P''<sub>''i''</sub>でこれらの線と交差する (''L''が''L''<sub>''i''</sub>に[[平行]]である場合、対応する交点は「無限遠」にある)。これらの点の（固定された順序で与えられる）複比は、線''L''の選択に依存しないことがわかる。したがって、4本の線の組 {''L''<sub>''i''</sub>} の不変量である。

これは、''L''と''L''&#x2032;が''Q''を通過しない2つの線である場合、''Q''を中心とする''L''から''L''&#x2032;への透視変換は、''L''上の4つの点の組 {''P''<sub>''i''</sub>} から''L''&#x2032;上の4つの点の組 {''P''<sub>''i''</sub>&#x2032;} 射影変換となることから理解できる。

したがって、直線の射影的自己同型の下での複比の不変性は、4つの直線 {''L''<sub>''i''</sub>} 上の4つの[[共線]]点 {''P''<sub>''i''</sub>} の複比が、その線の選択から独立していることを意味する（実際には等価）。

== 同次座標での定義 ==
同一線上にある4つの点がベクトル''a'',&nbsp;''b'',&nbsp;''c'',&nbsp;''d''によって[[同次座標]]で表され、 {{Nowrap|1=''c'' = ''a'' + ''b''}} および {{Nowrap|1=''d'' = ''ka'' + ''b''}} である場合、それらの複比は''ｋである。''<ref>{{Cite book|last=Irving Kaplansky|title=Linear Algebra and Geometry: A Second Course|year=1969|isbn=0-486-43233-5|url=https://archive.org/details/linearalgebrageo0000kapl}}</ref>

== 非ユークリッド幾何学における役割 ==
[[アーサー・ケイリー]]と[[フェリックス・クライン]]は、複比の[[非ユークリッド幾何学]]への適用を発見した。実[[射影平面]]の正則[[円錐曲線]]''C''が与えられると、[[射影線型群|射影群]]{{Nowrap|1=''G'' = PGL(3, '''R''')}}内のその[[群作用|スタビライザー]]''G<sub>C</sub>''は''C''の内部の点に[[群作用|推移的]]に[[群作用|作用]]する。ただし、点の''ペア''に対する''G<sub>C</sub>''の作用には不変条件がある。実際、そのような不変量はすべて、適切な複比の関数として表現できる。{{要出典|date=November 2010}}

=== 双曲幾何学 ===
明示的に円錐曲線を[[単位円]]とする。単位円内部の任意の2点 ''P,'' ''Q'' に対し、それらを結ぶ直線が円と交差する2点 X, Y を順が X, P, Q, Y となるように決める。このとき[[双曲幾何学|双曲平面]]の[[ベルトラミ-クライン模型|ケイリー・クラインモデル]]における''P''と''Q''の間の双曲距離は、

: <math> d_h(P,Q)=\frac{1}{2} \left| \log \frac{|XQ||PY|}{|XP||QY|} \right| </math>

のように表せる([[ガウス曲率|曲率]]を -1 にするためには係数の 1/2 が必要である)。複比は射影変換の下で不変であるため、双曲線距離は円錐''C''を保存する射影変換の下で不変であるということになる。

逆に、群''G''は固定された双曲的距離で単位円盤の点{{Nowrap|(''p'', ''q'')}}のペアのセットに推移的に作用する。

後に、[[アンリ・ポアンカレ]]の影響もあり、円上の4つの[[複素数]]の複比が双曲線計量に使用された。円上にあるということは、[[メビウス変換]]の下で4つの点が4つの実点の像であることを意味するため、複比は実数となる。[[ポワンカレの上半平面モデル|ポアンカレ半平面モデル]]と[[ポワンカレの円板モデル|ポアンカレの円板モデル]]は、[[リーマン球面|複素射影直線]]における双曲幾何学の2つのモデルである。

これらのモデルは、 [[ケイリー・クライン計量]]の例である。

== 非調和群とクライン四群 ==
複比は、次の4つの式のいずれかで定義できる。

: <math> (A,B;C,D) = (B,A;D,C) = (C,D;A,B) = (D,C;B,A). \, </math>

これらは、次の（[[置換 (数学)|循環表記法]]で表現された）変数の[[置換 (数学)|順列]]によって異なる。

: <math>
1, \ (A, B) (C, D), \ 
(A, C) (B, D), \ 
(A, D) (B, C) .
</math>

4つの変数の順列は、4つの変数の関数に対する[[対称群]]S<sub>4</sub>の[[群作用|作用]]と考えることができる。上記の4つの順列は複比を変えないため、この作用の下で複比の[[群作用|スタビライザー]]''K''を形成し、複比の軌道上の[[商群|商群<math>
S_4/K
</math>]]の[[群作用|有効な作用]]を成す。 ''K''の4つの順列は、S<sub>4</sub>の[[クラインの四元群]]を実現し、商<math>
S_4/K
</math>は対称群S<sub>3</sub>と同形である。

したがって、4つの変数の他の順列は複比を変え、6要素の群<math>
S_4/K\cong S_3
</math>の軌道である次の6つの値を与える。

: <math>
\begin{align}
(A, B; C, D) & = \lambda & (A, B; D, C) & = \frac 1 \lambda \\[6pt]
(A, C; D, B) & = \frac 1 {1-\lambda} & (A, C; B, D) & = 1-\lambda \\[6pt]
(A, D; C, B) & = \frac \lambda {\lambda-1} & (A, D; B, C) & = \frac{\lambda-1} \lambda.
\end{align}
</math>

''&#x3BB;''の関数とすると、これらは[[メビウス変換]]の例であり、関数の合成の下でメビウス群{{Nowrap|PGL(2, '''Z''')}}を形成する。 6つの変換は'''非調和群'''として知られる部分群を形成し、これも S<sub>3</sub>に同型である。それらは{{Nowrap|[[Projective linear group|PGL]](2, '''Z''')}}の捩れ元（[[メビウス変換|楕円変換]]）である。すなわち、 <math>\tfrac{1}{\lambda}</math>, <math>1-\lambda\,</math>, <math>\tfrac{\lambda}{\lambda-1}</math>はそれぞれ[[不動点|固定点]] −1, 1/2, 2 を持つ位数2（つまり、調和複比の軌道）である。一方、<math>\tfrac{1}{1-\lambda}</math>と<math>\tfrac{\lambda-1}{\lambda}</math>は{{Nowrap|PGL(2, '''Z''')}}の位数3であり、それぞれが両方の「最も対称的な」複比の値<math>e^{\pm i\pi/3}</math>を固定する。

非調和群は{{Nowrap|''λ'' ↦ 1/''λ''}}と{{Nowrap|''λ'' ↦ 1 − ''λ''}}によって生成される。 {{Nowrap|{0, 1, ∞}{{null}}}}に対するその作用は S<sub>3</sub>との同型を与える。また、前述の6つのメビウス変換<ref>{{Cite book|last=Chandrasekharan|first=K.|author-link=K. S. Chandrasekharan|title=Elliptic Functions|series=Grundlehren der mathematischen Wissenschaften|volume=281|publisher=[[Springer-Verlag]]|year=1985|isbn=3-540-15295-4|zbl=0575.33001|page=120}}</ref>として実現することもでき、これは（整数エントリで定義されるため）任意の[[体 (数学)|体]]上で[[3次対称群|S<sub>3</sub>の射影表現]]を生成し、（2つの項が1/−1のみが異なることはないため）常に忠実/単射である。 2元体上では射影直線は3点しか持たないため、この表現は同型であり、[[射影線型群|例外的な同型]]<math>\mathrm{S}_3 \approx \mathrm{PGL}(2, 2)</math>である。標数3では、これにより点<math>-1 = [-1:1]</math> が安定し、これは<math>2 = 1/2 = -1</math>であることから調和複比の軌道が1点のみであることに対応する。 3元体上では、射影線には4つの点しかなく、 <math>\mathrm{S}_4 \approx \mathrm{PGL}(2, 3)</math>であり、したがってこの表現は正確に調和複比のスタビライザーであり、点<math>-1</math> のスタビライザーに等しい埋め込み<math>\mathrm{S}_3 \hookrightarrow \mathrm{S}_4</math>が得られる。

=== 例外的な軌道 ===
''λが''特定の値のとき、対称性が高くなるため交差比の可能な値は6つより少なくなる。 ''λ''のこれらの値は、リーマン球面上のS<sub>3</sub>の作用の[[不動点|固定点]]に対応する（前述の6つの関数によって与えられる）。言い換えると、この順列群に非自明な[[群作用|スタビライザー]]を持つこれらの点に対応する。

固定点の最初の集合は{{Nowrap|{0, 1, ∞<nowiki>}</nowiki>}}である。ただし、点 A, B, C, D がすべて異なる場合、複比はこれらの値を取ることはできない。これらの値は、座標の1つのペアが互いに接近するときの極限値である。

: <math>(Z,B;Z,D) = (A,Z;C,Z) = 0</math>
: <math>(Z,Z;C,D) = (A,B;Z,Z) = 1</math>
: <math>(Z,B;C,Z) = (A,Z;Z,D) = \infty.</math>

固定点の2番目の集合は{{Nowrap|{&minus;1, 1/2, 2<nowiki>}</nowiki>}}である。この状況は、古典的に'''調和複比'''と呼ばれるもので、[[射影調和共軛|射影調和共役]]で起こりうる。実数の範囲では、他に例外的な軌道はない。

複素数の範囲では、最も対称的な複比は<math>\lambda = e^{\pm i\pi/3}</math>である場合にみられる。これらは複比の唯一の2つの値であり、これらは順列の符号に従って作用する。

== 変換的アプローチ ==
複比は、直線の[[射影変換]]の下で不変である。[[複素数|複素]]射影線または[[リーマン球面|リーマン球]]の場合、これらの変換は[[メビウス変換]]として知られている。一般的なメビウス変換の形式は次のように表される。

: <math>f(z) = \frac{az+b}{cz+d}\;,\quad \mbox{where } a,b,c,d\in\mathbb{C} \mbox{ and } ad-bc \ne 0.</math>

これらの変換は、[[リーマン球面|リーマン球]]に[[群作用|作用]]する[[群 (数学)|群]]、[[メビウス変換|メビウス群]]を形成する。

複比の射影不変性は、

: <math>(f(z_1), f(z_2); f(z_3), f(z_4)) = (z_1, z_2; z_3, z_4).\ </math>

すべてのメビウス変換が[[一般化された円]]を一般化された円にマッピングするという事実より、4つの点が[[共線]]または[[共円]]である場合にのみ複比が[[実数]]になる。

メビウス群の作用は、リーマン球の異なる点の三つ組の集合上で[[群作用|単純に推移的]]である。異なる点の任意の順序付き三つ組{{Nowrap|(''z''<sub>2</sub>, ''z''<sub>3</sub>, ''z''<sub>4</sub>)}}が与えられると、一意なメビウス変換''f''(''z'')が存在する。この変換は複比を用いて簡単に記述できる。{{Nowrap|(''z'', ''z''<sub>2</sub>; ''z''<sub>3</sub>, ''z''<sub>4</sub>)}}は{{Nowrap|(''f''(''z''), 1; 0, ∞)}}に等しくなければならず、これは''f''(''z'')に等しいため、次の式が得られる。

: <math>f(z)=(z, z_2; z_3, z_4) .</math>

複比の不変性の別の説明は、直線の射影変換の群が平行移動、相似性、乗法的反転によって生成されるという事実に基づいている。差{{Nowrap|''z''<sub>''j''</sub> &minus; ''z''<sub>''k''</sub>}}は、基礎体''F''の[[定数]]''aに対する''[[平行移動]]、

: <math>z \mapsto z + a</math>

の下で不変である。また、分割比は''F''の非ゼロ定数''bに対する''[[相似変換]]、

: <math>z \mapsto b z</math>

の下で不変である。したがって、複比は[[アフィン写像|アフィン変換]]の下で不変である。

[[well-defined]]な[[逆数|反転マッピング]]

: <math>T : z \mapsto z^{-1},</math>

を得るために、アフィン線は、射影線''P''<sup>1</sup>(''F'') を形成する ∞ で示される[[無限遠点|無限遠の点]]によって拡張される必要がある。各アフィン写像 {{Nowrap|''f'' : ''F'' → ''F''}} は、点を無限遠に固定する''P''<sup>1</sup>(''F'') のそれ自体への写像に一意に拡張できる。写像''T''は 0 と ∞ を交換する。射影群は''Tによって''[[群の生成系|生成]]され、アフィン写像は''P''<sup>1</sup>(''F'') に拡張される。 {{Nowrap|1=''F'' = '''C'''}} 、すなわち[[複素平面]]の場合、これは[[メビウス変換|メビウス群]]になる。複比も''T''の下で不変であるため、''P''<sup>1</sup>(''F'')のそれ自体への射影写像の下で不変である。

=== 座標の説明 ===
複素数点をベクトル<math>\overrightarrow{x}_n = [\Re(z_n),\Im(z_n)]^{\rm T}</math>として書き、<math>x_{nm}=x_n-x_m</math> と定義し、<math>a</math>と<math>b</math>の内積を<math>(a,b)</math>と表記するとき、複比の実部は次の式で与えられます。

:: <math>
C_1 = \frac{ (x_{12},x_{14}) (x_{23},x_{34}) - (x_{12},x_{34}) (x_{14},x_{23}) + (x_{12},x_{23}) (x_{14},x_{34}) } {|x_{23}|^2 |x_{14}|^2 }
</math>

これは、反転<math>x^\mu \rightarrow \frac{x^\mu}{|x|^2} </math>などの2次元[[特殊共形変換|特殊等角写像]]の不変量である。

虚部は2次元の外積<math>a\times b = [a,b] = a_2 b_1 - a_1 b_2</math>を使用する必要がある。

:: <math>
C_2 = \frac{ (x_{12},x_{14}) [x_{34},x_{23}] - (x_{43},x_{23}) [ x_{12},x_{34} ] } {|x_{23}|^2 |x_{14}|^2 }
</math>

== 環のホモグラフィ ==
複比の概念は、加法、乗法、反転の[[環 (数学)|環]]演算にのみ依存する（ただし、特定の元の反転は環ではその限りではない）。複比へのひとつのアプローチは、指定された3点を 0、1、無限大 にする[[射影変換|ホモグラフィ]]として解釈することである。逆数に関する制限の下で、[[環上の射影直線]]による環操作を使用してそのような写像を生成することが可能である。 4 点の複比は、4点目でのこのホモグラフィの評価である。

== 微分幾何学の視点 ==
この理論は、4つの点が近接するにつれて、微分計算の側面を帯びる。これは、[[シュヴァルツ微分|シュワルツ導関数]]の理論につながり、より一般的には[[射影接続]]の理論につながる。

== 高次元の一般化 ==
複比は、点の構成の他の幾何学的特性、特に共線性により、単純な方法ではより高い次元に一般化されない。[[構成空間 (数学)|構成空間]]はより複雑であり、点の異なる''k-組''は[[一般の位置|一般化位置]]にない。

射影線の射影線型群は3推移的（任意の3つの異なる点を他の任意の3 点に写像できる）であり、実際には単純な3推移的である（任意の三つ組を別の三つ組に取る''一意の''射影写像がある）が、したがって、複比は4つの点の集合の一意の射影不変量であり、高次元には基本的な幾何学的不変量がある。 ''n''空間の射影線型群<math>\mathbf{P}^n=\mathbf{P}(K^{n+1})</math>は(''n''&nbsp;+&nbsp;1)<sup>2</sup>&nbsp;&#x2212;&nbsp;1次元を持つ（<math>\mathrm{PGL}(n,K) = \mathbf{P}(\mathrm{GL}(n+1,K))</math>であり、1つの次元を削除する射影化であるため）が、他の次元では、射影線型群は2推移性のみである。これは、3つの共線上の点を3つの共線上の点に写す必要があるためである（これは、射影線の制限ではない）。したがって、''n''<sup>2</sup>点の一意の不変量を提供する一般化交差比は存在しない。

共線性は、維持する必要がある点の構成の唯一の幾何学的特性ではない。例えば、 [[5点が円錐を決定|5つの点は円錐曲線を決定する]]が、6つの点は一般に円錐曲線上にないため、「点の6つ組が円錐曲線上にあるか否か」も射影不変量となる。[[一般の位置|一般化位置]]での点の軌道を調べることができる（「一般化位置」の直線では区別することと同等だが、より高い次元では、議論したように幾何学的な考慮が必要である）が、上記のように、これはより複雑で情報が少なくなる。

ただし、[[アーベル・ヤコビ写像|アベル・ヤコビ写像]]と[[テータ関数|シータ関数]]を用いた、[[種数]]が正の[[リーマン面]]への一般化が存在する。

== 関連項目 ==

* [[ヒルベルト計量]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}<references responsive="1"></references>

== 参考文献 ==

* [[:en:Lars_Ahlfors|Lars Ahlfors]] (1953,1966,1979) ''Complex Analysis'', 1st edition, page 25; 2nd & 3rd editions, page 78, [[:en:McGraw-Hill|McGraw-Hill]] {{ISBN2|0-07-000657-1}} .
* Viktor Blåsjö (2009) "[https://archive.today/20130104231533/http://www.springerlink.com/content/p01527115762n730/ Jakob Steiner’s Systematische Entwickelung: The Culmination of Classical Geometry]", [[:en:Mathematical_Intelligencer|Mathematical Intelligencer]] 31(1): 21&#x2013;9.
* John J. Milne (1911) [[iarchive:elementarytreati00milnuoft/page/11| An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes]], [[:en:Cambridge_University_Press|Cambridge University Press]].
* [[:en:Dirk_Struik|Dirk Struik]] (1953) ''Lectures on Analytic and Projective Geometry'', page 7, [[:en:Addison-Wesley|Addison-Wesley]].
* [[:en:Igor_Shafarevich|I. R. Shafarevich]] & A. O. Remizov (2012) ''Linear Algebra and Geometry'', [[:en:Springer_Science+Business_Media|Springer]] {{ISBN2|978-3-642-30993-9}}.

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|866|複比の定義と複比が不変であることの証明}}
* [http://www.mathpages.com/home/kmath543/kmath543.htm MathPages – Kevin Brown explains the cross-ratio in his article about ''Pascal's Mystic Hexagram'']
* [http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/Cross-Ratio.shtml Cross-Ratio] at [[:en:Cut-the-knot|cut-the-knot]]
* {{mathworld|CrossRatio}}
* {{Cite web |last1=Ardila |first1=Federico |title=The Cross Ratio |url=https://www.youtube.com/watch?v=ffvojZONF_A |archive-url=https://ghostarchive.org/varchive/youtube/20211212/ffvojZONF_A |archive-date=2021-12-12 |url-status=live |website=youtube |publisher=[[Brady Haran]] |accessdate=2018-07-06 |format=video}}

{{DEFAULTSORT:ふくひ}}
[[Category:比]]
[[Category:射影幾何学]]
[[Category:エウクレイデス]]
[[Category:数学に関する記事]]