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{{要改訳}}
[[微分幾何学]]で'''複素多様体'''（ふくそたようたい、{{lang-en-short|''complex manifold''}}）とは、多様体上の各点の開近傍が、<math>\mathbb{C}^n</math> の中の単位開円板への[[正則関数|正則]]な座標変換を持つ[[多様体]]のことを言う<ref group="注釈">'''C'''<sup>''n''</sup> に代り、モデル空間として'''C'''<sup>''n''</sup> の中の単位開円板を使う必要がある。複素多様体の場合は、実（解析）多様体の場合とは異なり、これらは同型ではないからである。</ref>。[[多様体#定義|座標変換]]が[[正則関数|正則]]である場合には、<math>\mathbb{C}^n</math>の中で、[[正則関数#コーシー・リーマンの方程式|コーシー・リーマンの方程式]]の制約を受ける。

'''複素多様体'''という単語は、上の意味での複素多様体のほか、[[概複素多様体]]を意味するものとしても使われる(区別が必要なときは、前者を'''可積分'''複素多様体と呼ぶ)。
<!---In [[differential geometry]], a '''complex manifold''' is a [[manifold]] with an [[atlas (topology)|atlas]] of [[chart (topology)|charts]] to the [[open unit disk]]<ref>One must use the open unit disk in '''C'''<sup>''n''</sup> as the model space instead of '''C'''<sup>''n''</sup> because these are not isomorphic, unlike for real manifolds.</ref> in '''C'''<sup>''n''</sup>, such that the [[transition map]]s are [[holomorphic]].

The term '''complex manifold''' is variously used to mean a complex manifold in the sense above (which can be specified as an '''integrable''' complex manifold), and an [[almost complex manifold]].-->

== 複素多様体の意味 ==
[[正則函数]]は実数の上での[[滑らかな函数]]よりも強い条件を満たすから、微分可能多様体の理論と複素多様体の理論とでは大きな違いがある。また、コンパクトな複素多様体は、微分可能多様体よりも[[代数多様体]]に非常に近い多様体である。

例えば、{{仮リンク|ホイットニーの埋め込み定理|en|Whitney embedding theorem}}により、すべての ''n''-次元微分可能多様体は <math>\mathbb{R}^{2n}</math> の中へ微分可能部分多様体として埋め込まれるが、複素多様体が'''C'''<sup>''n''</sup> の中へ正則に埋め込まれるようなことは『まれ』である。例えば、[[コンパクト_(数学)|コンパクト]]な連結多様体 ''M'' を考えてみると、''M'' 上の任意の正則函数は、[[リウヴィルの定理_(解析学)|リウヴィルの定理]]により[[局所定数]]となる。ここで、もしも '''C'''<sup>''n''</sup> の中への ''M'' の正則な埋め込みがあったとすると、'''C'''<sup>''n''</sup> の座標函数は ''M'' の上の定数ではない正則函数に限定されてしまう。これは、''M'' が一点の場合を除き、コンパクト性と矛盾する。'''C'''<sup>''n''</sup> へ埋め込むことができる複素多様体のことを[[シュタイン多様体]]<ref group="注釈">シュタイン多様体は普通は複数変数の場合を言い。1変数の場合と違い、複数変数の場合はさらに制限が厳しくなり、様子が異なる。[[多変数複素関数]]の項目も参照のこと。</ref>と言い、たとえば微分可能な複素アフィン代数多様体などを含む、非常に特別な多様体のクラスとなる。

複素多様体の分類は、微分可能多様体の分類よりも微妙である。例えば、次元が4以外では、与えられた位相多様体は高々有限個の{{仮リンク|微分可能構造|en|smooth structure}}を持つのに対して、複素構造を持った位相多様体は非可算個の複素構造を持つことができる場合もよくある。[[リーマン面]]は複素構造を持った2次元の多様体のことを言い、[[種数]]で分類され、この現象の重要な例となる。与えられた向きづけ可能な曲面上の複素構造の集合は、双正則同値を同一視して、[[モジュライ空間]]と呼ばれる複素代数多様体を形成する。この構造は現在、活発に研究されている領域である。

座標変換は双正則であるので、複素多様体は微分可能であり、標準的に向きづけられている（複素多様体であれば、[[向き#多様体の向き|向き付け可能]]である：'''C'''<sup>n</sup> （の部分集合）への双正則写像は、向きづけを保存する。)
<!---==Implications of complex structure==
Since [[holomorphic function]]s are much more rigid than [[smooth function]]s, the theories of smooth and complex manifolds have very different flavors: compact complex manifolds are much closer to [[algebraic variety|algebraic varieties]] than to differentiable manifolds.

For example, the [[Whitney embedding theorem]] tells us that every smooth manifold can be embedded as a smooth submanifold of '''R'''<sup>''n''</sup>, whereas it is "rare" for a complex manifold to have a holomorphic embedding into '''C'''<sup>''n''</sup>. Consider for example any [[compact space|compact]] connected complex manifold ''M'': any holomorphic function on it is [[locally constant]] by [[Liouville's theorem (complex analysis)|Liouville's theorem]]. Now if we had a holomorphic embedding of ''M'' into '''C'''<sup>''n''</sup>, then the coordinate functions of '''C'''<sup>''n''</sup> would restrict to nonconstant holomorphic functions on ''M'', contradicting compactness, except in the case that ''M'' is just a point. Complex manifolds that can be embedded in '''C'''<sup>''n''</sup> are called [[Stein manifold]]s and form a very special class of manifolds including, for example, smooth complex affine algebraic varieties.

The classification of complex manifolds is much more subtle than that of differentiable manifolds. For example, while in dimensions other than four, a given topological manifold has at most finitely many [[smooth structure]]s, a topological manifold supporting a complex structure can and often does support uncountably many complex structures. [[Riemann surface]]s, two dimensional manifolds equipped with a complex structure, which are topologically classified by the [[genus (mathematics)|genus]], are an important example of this phenomenon. The set of complex structures on a given orientable surface, modulo biholomorphic equivalence, itself forms a complex algebraic variety called a [[moduli space]], the structure of which remains an area of active research.

Since the transition maps between charts are biholomorphic, complex manifolds are, in particular, smooth and canonically oriented (not just [[orientable]]: a biholomorphic map to (a subset of) '''C'''<sup>''n''</sup> gives an orientation, as biholomorphic maps are orientation-preserving).-->

== 複素多様体の例 ==
* [[リーマン面]]
* 2つの複素多様体のデカルト積
* 正則写像の任意の臨界値でない値の逆像
<!---==Examples of complex manifolds==
* [[Riemann surface]]s.
* The Cartesian product of two complex manifolds.
* The inverse image of any noncritical value of a holomorphic map.-->

=== 滑らかな複素多様体 ===
滑らかな複素[[代数多様体]]<ref group="注釈">英語での"manifold"は、位相多様体、PL多様体、微分可能多様体など総称して使用され、一方、"variety"は代数多様体の場合に使用される。英語ではこれらの間に区別があるが、日本語では『多様体』と同じ訳語を使用する。</ref>は複素多様体で、次のような例がある：
* 複素ベクトル空間
* [[複素射影空間]]<ref group="注釈">この例は、実数の場合とは対照的に、全ての複素射影空間は'''向きづけ可能'''であることを意味する。</ref> '''P'''<sup>''n''</sup> ('''C''')
* 複素{{仮リンク|グラスマン多様体|en|Grassmannian}}
*<math>{\rm GL}(n,\mathbb{C})</math> や <math>{\rm Sp}(n,\mathbb{C})</math> といった複素[[リー群]]
同様に、これらの[[四元数]]の類似物も、また複素多様体となる。
<!---===Smooth complex algebraic varieties===
Smooth complex [[algebraic varieties]] are complex manifolds, including:
* Complex vector spaces.
* [[Complex projective space]]s,<ref>This means that all complex projective spaces are ''orientable'', in contrast to the real case</ref> '''P'''<sup>''n''</sup>('''C''').
* Complex [[Grassmannian]]s.
* Complex [[Lie groups]] such as GL(''n'', '''C''') or Sp(''n'', '''C''').
Similarly, the [[quaternions|quaternionic]] analogs of these are also complex manifolds.-->

=== 単連結 ===
[[単連結]]な1次元複素多様体は以下の何れかに同型である：
* &Delta;, '''C''' の中の単位円板
* '''C''', 複素平面
* <math> \widehat{\mathbb{C}}</math>, [[リーマン球面]]
注意することは、これらの間には、Δ ⊆ '''C''' ⊆ <math> \widehat{\mathbb{C}}</math>の包含関係があるが、[[リウヴィルの定理_(解析学)|リウヴィルの定理]]により、逆向きの写像は定数写像以外は存在しない。
<!---===Simply connected===
The [[simply connected]] 1-dimensional complex manifolds are isomorphic to either:
* Δ, the unit disk in '''C'''
* '''C''', the complex plane
* '''Ĉ''', the [[Riemann sphere]]
Note that there are inclusions between these as
Δ ⊆ '''C''' ⊆ '''Ĉ''', but that there are no non-constant maps in the other direction, by
[[Liouville's theorem (complex analysis)|Liouville's theorem]].-->

== ディスク vs. 空間 vs. 多重ディスク ==
次に挙げる空間は可微分多様体としては同型であるが、複素多様体としては異なっている。このことは、可微分多様体の場合と比較して、複素多様体が幾何学的に硬い(リジッドである)という特徴を持つことを示している:
* 複素空間 '''C'''<sup>n</sup>
* 単位円板、もしくは[[開球体]]
::<math>\left \{ z \in \mathbf{C}^n \ : \ \|z\| < 1 \right \}</math>
* {{仮リンク|多重ディスク|en|Polydisc}}
::<math>\left \{ z=(z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbf{C}^n \ : \ \vert z_i \vert < 1, \mbox{ for all } i = 1,\dots,n \right \}</math>
<!---==Disk vs. space vs. polydisk==
The following spaces are different as complex manifolds, demonstrating the more rigid geometric character of complex manifolds (compared to smooth manifolds):
* complex space '''C'''<sup>''n''</sup>.
* the unit disk or [[open ball]]
::<math>\left \{ z \in \mathbf{C}^n \ : \  \|z\| < 1 \right \}.</math>
* the [[polydisk]]
::<math>\left \{ z=(z_1, z_2, \dots, z_n) \in \mathbf{C}^n \ : \  \vert z_i \vert < 1, \mbox{ for all } i = 1,\dots,n \right \}.</math>-->

== 概複素多様体 ==
{{Main|概複素多様体}}
実多様体である概複素多様体は、GL<sub>n</sub>('''C''')-構造を持ってる（{{仮リンク|G-構造|en|G-structure}}の意味で）。 つまり、接バンドルが{{仮リンク|線形複素構造|en|Linear complex structure}}を持っている。

具体的には、これは二乗が &minus;I となるような[[接バンドル]]の自己準同型である；この自己準同型は、複素数 i を賭けることに類似していて、J で表します（単位行列の I との混乱を避けるため）。概複素多様体は必然的に偶数次元である。

概複素構造は、複素構造よりも'''弱く'''、任意の複素構造は概複素構造であるが、すべての概複素構造が複素構造から発生するわけではない。注意すべきは、すべての偶数次元の実多様体は局所座標により定義される概複素構造を持っていることで、問題はこの複素構造が大域的に定義できるかどうかである。大域的に定義できた複素構造から自動的にでてくる概複素構造のことを[[可積分]]であると言い、また概複素構造と区別して複素構造を特定したい時は、'''可積分''' な複素構造と言う。可積分な複素構造に対して、ナイエンハンステンソル(Nijenhuis tensor)がゼロになる。ナイエンハンステンソルは、ベクトル場のペア X,Y の上で下記の関係式により定義される。

:<math>N_J(X,Y) = [X,Y] + J[JX,Y] + J[X,JY]-[JX,JY]</math>

例えば、6次元球面 ''S''<sup>6</sup> は、[[8元数]]の単位球面における ''i'' の[[直交補空間]]であるという事実から出てくる自然な概複素構造を持っている。しかしこれは複素構造ではない（現在、6次元球面は複素構造を持っているか否か分かっていない)。 一般に、概複素構造を使い、正則写像の意味づけをすることは可能で、多様体上の正則座標の存在するかと問うことは可能である。正則座標が存在することと、多様体が（座標が定義するような）複素多様体であるという事と同値である。

接バンドルと複素数のテンソル積をとると、'''複素化された''' 接バンドルを得て、その上では複素数との積が意味を持つ。このことは、単に実多様体から始めた場合でさえ、複素化された接バンドルを得ることは可能である。概複素多様体の固有値は ±i で、固有空間は部分バンドルを形成し、T<sup>&thinsp;0, 1</sup>M および T<sup>&thinsp;1, 0</sup>M と書く。[[概複素構造#可積分概複素構造|ニューランダー-ニーレンバーグの定理]]は、概複素構造がその部分バンドルが'''対合的'''（involutive）、つまりベクトル場のリーブラケットの下に閉じている時は、複素多様体となることを言っている。この概複素多様体のことを[[可積分]]であると言う。
<!---==Almost complex structures==
{{main|Almost complex manifold}}
An [[almost complex structure]] on a real manifold is a GL(''n'', '''C''')-structure (in the sense of [[G-structure]]s) – that is, the tangent bundle is equipped with a [[linear complex structure]].

Concretely, this is an [[endomorphism]] of the [[tangent bundle]] whose square is −''I''; this endomorphism is analogous to multiplication by the imaginary number ''i'', and is denoted ''J'' (to avoid confusion with the identity matrix ''I''). An almost complex manifold is necessarily even dimensional.

An almost complex structure is ''weaker'' than a complex structure: any complex manifold has an almost complex structure, but not every almost complex structure comes from a complex structure. Note that every even dimensional real manifold has an almost complex structure defined locally from the local coordinate chart. The question is whether this complex structure can be defined globally. An almost complex structure that comes from a complex structure is called [[Frobenius_theorem_(differential_topology)|integrable]], and when one wishes to specify a complex structure as opposed to an almost complex structure, one says an ''integrable'' complex structure. For integrable complex structures the so-called Nijenhuis tensor vanishes. This tensor is defined on pairs of vector fields, ''X'', ''Y'' by

:''N''<sub>''J''</sub>(''X'', ''Y'') = [''X'', ''Y''] + ''J''[''JX'', ''Y''] + ''J''[''X'', ''JY''] − [''JX'', ''JY''].

For example, the 6-dimensional [[hypersphere|sphere]] '''S'''<sup>6</sup> has a natural almost complex structure arising from the fact that it is the [[orthogonal complement]] of ''i'' in the unit sphere of the [[octonion]]s, but this is not a complex structure. (It is not currently known whether or not the 6-sphere has a complex structure.) Using an almost complex structure we can make sense of holomorphic maps and ask about the existence of holomorphic coordinates on the manifold. The existence of holomorphic coordinates is equivalent to saying the manifold is complex (which is what the chart definition says).

Tensoring the tangent bundle with the complex numbers we get the ''complexified'' tangent bundle, on which multiplication by complex numbers makes sense (even if we started with a real manifold). The eigenvalues of an almost complex structure are ±''i'' and the eigenspaces form sub-bundles denoted by ''T''<sup>0,1</sup>''M'' and ''T''<sup>1,0</sup>''M''. The [[Newlander&ndash;Nirenberg theorem]] shows that an almost complex structure is actually a complex structure precisely when these subbundles are ''involutive'', i.e., closed under the Lie bracket of vector fields, and such an almost complex structure is called [[Frobenius_theorem_(differential_topology)|integrable]].-->

== ケーラー多様体とカラビ-ヤウ多様体 ==
複素多様体に対して[[リーマン計量]]の類似物を定義できて、[[エルミート計量]]と呼ぶ。リーマン計量のように、エルミート計量は滑らかな微分可能な変形を持ち、接空間の上で正定値な内積である。各々の点での接空間上では、複素構造の観点から、[[エルミート行列|エルミート]]である。リーマン多様体の場合と同じく、そのような計量はいつでも複素多様体上には十分多く存在している。もしそのような計量が、[[シンプレクティック幾何学|シンプレクティック構造]]の場合、つまり、閉じた非退化な場合には、計量はケーラーと呼ばれる。ケーラー構造はより非常に難しい条件となる。

[[ケーラー多様体]]の例としては、微分可能な射影多様体や、ケーラー多様体の任意の複素部分多様体がある。ホップ多様体(Hopf manifold)はケーラー多様体ではない複素多様体の例である。ホップ多様体を構成するためには、複素ベクトル空間から原点を取り去り、この空間に対して exp(n) をかける整数の群の作用を考える。商は第一[[ベッチ数]]が 1 の複素多様体で、従って[[ホッジ理論]]よりケーラー多様体ではあり得ないことが分かる<ref group="注釈">{{仮リンク|ホップ多様体|en|Hopf_manifold}}である多様体 <math>H:=({\Bbb C}^n\setminus\{0\})/{\Bbb Z}</math> は <math>S^{2n-1}\times S^1</math> に微分同相である. これはケーラー多様体ではあり得ない。実際、H の第一コホモロジー群は奇数次元で、[[ド・ラームコホモロジー#ホッジ分解|ホッジ分解]]により、コンパクトなケーラー多様体はいつも偶数次元であるからである。</ref>。

[[カラビ・ヤウ多様体|カラビ-ヤウ多様体]]は、[[リッチ平坦多様体|リッチ平坦]]なコンパクトケーラー多様体として、あるいは同値なことであるが、第一[[チャーン類]]がゼロとなるようなコンパクトケーラー多様体として定義される。
<!---== Kähler and Calabi–Yau manifolds ==
One can define an analogue of a [[Riemannian metric]] for complex manifolds, called a [[Hermitian metric]]. Like a Riemannian metric, a Hermitian metric consists of a smoothly varying, positive definite inner product on the tangent bundle, which is Hermitian with respect to the complex structure on the tangent space at each point. As in the Riemannian case, such metrics always exist in abundance on any complex manifold. If the skew symmetric part of such a metric is [[Symplectic geometry|symplectic]], i.e. closed and nondegenerate, then the metric is called Kähler. Kähler structures are much more difficult to come by and are much more rigid. 

Examples of Kähler manifolds include smooth [[projective varieties]] and more generally any complex submanifold of a Kähler manifold. The Hopf manifolds are examples of complex manifolds that are not Kähler. To construct one, take a complex vector space minus the origin and consider the action of the group of integers on this space by multiplication by exp(''n''). The quotient is a complex manifold whose first [[Betti number]] is one, so by the [[Hodge theory]], it cannot be Kähler.

A [[Calabi–Yau manifold]] can be defined as a compact Ricci-flat Kähler manifold or equivalently one whose first [[Chern class]] vanishes.-->

== 関連項目 ==
* [[CR多様体]]
* [[一般化された複素構造|一般複素構造]]

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2023年9月}}
* {{citebook
 |last=Kodaira
 |first=Kunihiko
 |authorlink=Kunihiko Kodaira
 |title=Complex Manifolds and Deformation of Complex Structures
 |series=Classics in Mathematics
 |publisher=Springer
 |isbn=3-540-22614-1
}}
* {{citebook
 |last=小平
 |first=邦彦
 |authorlink=小平邦彦
 |title=複素多様体論
 |series=
 |publisher=岩波書店
}}

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふくそたようたい}}
[[Category:複素多様体|*]]
[[Category:数学に関する記事]]