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{{要改訳}}
数学では、'''複素幾何学'''（ふくそきかがく、complex geometry）は[[複素多様体]]や多変数[[複素解析|複素函数]]の研究をする。[[複素解析]]における幾何学的な側面であるは[[代数幾何学]]への超越な応用は、この分野に属する。

本記事を通して、「[[解析函数|解析的]]」という用語は簡単のために省略することがある。例えば、部分多様体や超曲面は、「解析的」という形容詞は省略する。また、他の記事の使いかたに従い、多様体(variety)は既約(irreducible)であることを仮定する。
<!---In [[mathematics]], '''complex geometry''' is the study of [[complex manifold]]s and functions of many [[complex variable]]s. Application of transcendental methods to [[algebraic geometry]] falls in this category, together with more geometric aspect of [[complex analysis]].

Throughout this article, "[[Analytic function|analytic]]" is often dropped for simplicity; for instance, subvarieties or hypersurfaces refer to analytic ones. Following the convention in Wikipedia, varieties are assumed to be irreducible.-->

== 定義 ==
複素解析的多様体 M の'''解析的部分集合'''([[:en:Analytic variety|analytic subset]])は、局所的には M 上の正則函数の族の零点の軌跡である。解析的部分集合が[[ザリスキー位相]]で既約のときに、解析的部分多様体という。
<!---== Definitions ==
An ''[[Analytic variety|analytic subset]]'' of a complex-analytic manifold ''M'' is locally the zero-locus of some family of holomorphic functions on ''M''. It is called an analytic subvariety if it is irreducible in the Zariski topology.-->

== ラインバンドルと因子 ==

::このセクションは改善の必要がある。理由は、シンボル <math>\mathcal{O}, \mathcal{O}^*</math> や <math>\mathcal{M}</math> が定義なしで使われている。<math>\mathcal{O}^*</math> は X 上の正則函数の層 <math>\mathcal{O}</math> の 0 にならない函数の部分層なのであろうか？というような疑問がある。date：May 2014

このセクションでは、X を複素多様体を表すとする。「[[射影多様体]]」の中のパラグラフ「[[射影多様体#ラインバンドルと因子|ラインバンドルと因子]]」の定義に従い、X 上の[[正則函数 (スキーム論)|正則函数]]を <math>\mathcal{O}</math>、その可逆な元からなる部分層を <math>\mathcal{O}^*</math> と書く。<math>U_i</math> を X 上のアフィンチャートとしたときの <math>U</math> から <math>\Gamma(U, \mathcal{O}_X)</math> の分数の全体の環に付随する X 上の層を <math>\mathcal{M}_X</math> とする。すると、<math>\mathcal{M}_X^*/\mathcal{O}_X^*</math> の[[層 (数学)#大域切断|大域切断]]（* は乗法群を表す）を X 上の[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]と呼ぶ。

<math>\operatorname{Pic}(X)</math> を X 上のラインバンドルの全ての同型類の集合とする。これを X の[[ピカール群]]と呼び、自然に <math>H^1(X, \mathcal{O}^*)</math> と同型となる。短完全系列
:<math>0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to  \mathcal{O}^* \to 0</math>
をとる。ここに二番目の写像は <math>f \mapsto \exp (2\pi i f)</math> とする。この短完全系列は群の準同型
:<math>\operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z})</math>
を意味し、この写像のラインバンドル <math>\mathcal{L}</math> の像は <math>c_1(\mathcal{L})</math> で表され、<math>\mathcal{L}</math> の第一[[チャーン類]]と呼ばれる。
<!---== Line bundles and divisors ==
{{confusing section|reason=because of the use of symbols <math>\mathcal{O}, \mathcal{O}^*,</math> and <math>\mathcal{M}</math> without definitions. Is <math>\mathcal{O}^*</math> the subsheaf of nonvanishing functions of the sheaf <math>\mathcal{O}</math> of holomorphic functions on ''X''?|date=May 2014}}

Throughout this section, ''X'' denotes a complex manifold. Accordance with the definitions of the paragraph "[[projective varieties#line bundle and divisor|line bundles and divisors]]" in "[[projective varieties]]", let the [[regular function]]s on ''X'' denote <math>\mathcal{O}</math> and its invertible subsheaf <math>\mathcal{O}^*</math>.　And let　<math>\mathcal{M}_X</math> be the sheaf on ''X'' associated with <math>U \mapsto </math>  the total ring of fractions of <math>\Gamma(U, \mathcal{O}_X)</math>, where <math>U_i</math> are the open affine charts. Then a global section of <math>\mathcal{M}_X^*/\mathcal{O}_X^*</math> (* means multiplicative group) is called a [[Cartier divisor]] on ''X''.

Let <math>\operatorname{Pic}(X)</math> be the set of all isomorphism classes of line bundles on ''X''. It is called the [[Picard group]] of ''X'' and is naturally isomorphic to <math>H^1(X, \mathcal{O}^*)</math>. Taking the short exact sequence of
:<math>0 \to \mathbb{Z} \to \mathcal{O} \to  \mathcal{O}^* \to 0</math>
where the second map is <math>f \mapsto \exp (2\pi i f)</math>
yields a homomorphism of groups:
:<math>\operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbb{Z}).</math>
The image of a line bundle <math>\mathcal{L}</math> under this map is denoted by <math>c_1(\mathcal{L})</math> and is called the first [[Chern class]] of <math>\mathcal{L}</math>.-->

X 上の[[因子 (代数幾何学)|因子]] D とは、超曲面（1-次元の部分多様体）の局所的には有限和となる[[形式和]]
:<math>D = \sum a_i V_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}</math>
である。<ref>この局所的に有限と言う条件は、自動的にネタースキームかコンパクト複素多様体であることを意味する。</ref> X 上の全ての因子の集合は、<math>\operatorname{Div}(X)</math> で表される。この条件は <math>H^0(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)</math> と同一視することができる。商 <math>\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*</math> の長完全系列をとると、準同型
:<math>\operatorname{Div}(X) \to \operatorname{Pic}(X)</math>
を得ることができる。

第一チャーン類が閉じた正定値の実形式 <math>(1,1)</math>-形式であるとき、ラインバンドルは正のラインバンドルであるという。同じことであるが、グリフィスの正([[:en:Griffiths-positive|Griffiths-positive]])である誘導された曲率を持つエルミート構造とできる場合に、ラインバンドルは正であるという。正のラインバンドルを持つことができる複素多様体を[[ケーラー多様体|ケーラー]]であるという。

[[小平埋め込み定理]]は、コンパクトなケーラー多様体上のラインバンドルが正であることと、ラインバンドルが[[豊富なラインバンドル|豊富]]であることとは同値であるという定理である。
<!---A [[divisor (algebraic geometry)|divisor]] ''D'' on ''X'' is a [[formal sum]] of hypersurfaces (subvariety of codimension one):
:<math>D = \sum a_i V_i, \quad a_i \in \mathbb{Z}</math>
that is locally a finite sum.<ref>This last condition is automatic for a noetherian scheme or a compact complex manifold.</ref> The set of all divisors on ''X'' is denoted by <math>\operatorname{Div}(X)</math>. It can be canonically identified with <math>H^0(X, \mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*)</math>. Taking the long exact sequence of the quotient <math>\mathcal{M}^*/\mathcal{O}^*</math>, one obtains a homomorphism:
:<math>\operatorname{Div}(X) \to \operatorname{Pic}(X).</math>

A line bundle is said to be [[positive line bundle|positive]] if its first Chern class is represented by a closed positive real <math>(1,1)</math>-form. Equivalently, a line bundle is positive if it admits a hermitian structure such that the induced connection has [[Griffiths-positive]] curvature. A complex manifold admitting a positive line bundle is [[Kähler manifold|kähler]].

The [[Kodaira embedding theorem]] states that a line bundle on a compact kähler manifold is positive if and only if it is [[ample line bundle|ample]].-->

==複素ベクトルバンドル==
X を微分可能多様体とする。[[複素ベクトルバンドル]] <math>\pi: E \to X</math> の基本不変量はバンドルの[[チャーン類]]である。定義により、チャーン類は、<math>c_i(E)</math> が <math>H^{2i}(X, \mathbb{Z})</math> の元であり、次の公理をみたすような数列 <math>c_1, c_2, \dots</math> ことである。<ref>{{harvnb|Kobayashi–Nomizu|1996|Ch XII}}</ref>

# 任意の微分可能写像 <math>f: Z \to X</math> に対し、<math>c_i(f^*(E)) = f^*(c_i(E))\ .</math>
# <math>c(E \oplus F) = c(E) \cup c(F)</math> ここに、F は E と異なるバンドルで <math>c = 1 + c_1 + c_2 + \dots</math> とする。
# <math>i > \operatorname{rk}E</math> に対し、<math>c_i(E) = 0\ .</math>
# <math>E_1</math> を <math>\mathbb{C}\mathbf{P}^1</math> 上の[[標準バンドル]]とすると、<math>-c_1(E_1)</math> は <math>H^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1, \mathbb{Z})</math> を生成する。
<!---==Complex vector bundles==
Let ''X'' be a differentiable manfold. The basic invariant of a complex vector bundle <math>\pi: E \to X<math> is the [[Chern class]] of the bundle. By definition, it is a sequence <math>c_1, c_2, \dots</math> such that <math>c_i(E)</math> is an element of <math>H^{2i}(X, \mathbb{Z})</math> and that satisfies the following axioms:<ref>{{harvnb|Kobayashi–Nomizu|1996|Ch XII}}</ref>
# <math>c_i(f^*(E)) = f^*(c_i(E))</math> for any differentiable map <math>f: Z \to X</math>.
# <math>c(E \oplus F) = c(E) \cup c(F)</math> where ''F'' is another bundle and <math>c = 1 + c_1 + c_2 + \dots.</math>
# <math>c_i(E) = 0</math> for <math>i > \operatorname{rk}E</math>.
# <math>-c_1(E_1)</math> generates <math>H^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1, \mathbb{Z})</math> where <math>E_1</math> is the [[canonical line bundle]] over <math>\mathbb{C}\mathbf{P}^1</math>.-->

L をラインバンドルとすると、L の[[チャーン類#チャーン指標|チャーン指標]]は、
:<math>\operatorname{ch}(L) = e^{c_1(L)}</math>
で与えられる。さらに一般的には、E をランク r のベクトルバンドルとすると、形式的な分解 <math>\sum c_i(E)t^i = \prod_1^r (1+ \eta_i t)</math> 得て、
:<math>\operatorname{ch}(E) = \sum e^{\eta_i}</math>
とおくことができる。
<!---If ''L'' is a line bundle, then the [[Chern character]] of ''L'' is given by
:<math>\operatorname{ch}(L) = e^{c_1(L)}</math>.
More generally, if ''E'' is a vector bundle of rank ''r'', then we have the formal factorization:
<math>\sum c_i(E)t^i = \prod_1^r (1+ \eta_i t)</math> and then we set
:<math>\operatorname{ch}(E) = \sum e^{\eta_i}</math>.-->

== 調和解析からの方法 ==
[[調和解析]]を用いて得られる複素幾何学の深い結果がいくつかある。
<!---== Methods from harmonic analysis ==
Some deep results in complex geometry are obtained with the aid of [[harmonic analysis]].-->

== 消滅定理 ==
コンパクトと非コンパクトの双方の複素多様体に対し、消滅定理のいくつかのバージョンがある。しかし、全て{{仮リンク|ボホナーの方法|en|Bochner method}}(Bochner method)をベースとしている。
<!---== Vanishing theorem ==
There are several versions of vanishing theorems in complex geometry for both compact and non-compact complex manifolds. They are however all based on the [[Bochner method]].-->

==関連項目==
* {{仮リンク|双ベクトル|en|Bivector (complex)}}(Bivector (complex))
* {{仮リンク|変形理論#複素構造変形|label=複素構造変形|en|Deformation Theory#Deformations of complex manifolds}}(Deformations of complex manifolds)
* [[複素解析空間]]
* [[代数幾何学と解析幾何学|GAGA]]
* [[複素多変数|多変数複素函数]]
* [[複素射影空間]]
* {{仮リンク|複素曲面と代数曲面のリスト|en|List of complex and algebraic surfaces}}(List of complex and algebraic surfaces)
* [[エンリケス・小平の分類]]
* [[ケーラー多様体]]
* [[シュタイン多様体]]
* [[擬凸性]]
* [[小林計量]]
* [[射影多様体]]
* [[クザン問題]]
* [[カルタンの定理A, B|カルタンの定理 A, B]]
* [[ハルトークスの定理]]
* [[カラビ・ヤウ多様体]]
* [[ミラー対称性 (弦理論)|ミラー対称性]]
* {{仮リンク|エルミート対称空間|en|Hermitian symmetric space}}(Hermitian symmetric space)
* {{仮リンク|複素リー群|en|Complex Lie group}}(Complex Lie group)
* {{仮リンク|ホップ多様体|en|Hopf manifold}}(Hopf manifold)
* [[ド・ラームコホモロジー#ホッジ分解|ホッジ分解]]
* [[小林・ヒッチン対応]]
* {{仮リンク|正則ヒッグスペア|en|Holomorphic Higgs pairs}}(Holomorphic Higgs pairs)
* {{仮リンク|レロン数|en|Lelong number}}(Lelong number)
* {{仮リンク|乗数イデアル|en|Multiplier ideal}}(Multiplier ideal)

==参考文献==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

*{{cite book |title=Complex Geometry: An Introduction|first=Daniel|last=Huybrechts
|publisher=Springer|year=2005|isbn=3-540-21290-6}}
* {{Citation | last1=Griffiths | first1=Phillip | author1-link=Phillip Griffiths | last2=Harris | first2=Joseph | author2-link=Joe Harris (mathematician) | title=Principles of algebraic geometry | publisher=[[John Wiley & Sons]] | location=New York | series=Wiley Classics Library | isbn=978-0-471-05059-9 | mr=1288523 | year=1994}}
*{{Citation
  | last = Hörmander
  | first = Lars 
  | author-link = Lars Hörmander
  | title = An Introduction to Complex Analysis in Several Variables
  | place = Amsterdam–London–New York–Tokyo
  | publisher = [[Elsevier|North-Holland]]
  | origyear = 1966
  | year = 1990
| series = North–Holland Mathematical Library
  | volume = 7
  | edition = 3rd (Revised)
  | url = 
  | doi = 
  | mr = 1045639 
  | zbl = 0685.32001
  | isbn = 0-444-88446-7
}}
* {{citation | last1=Kobayashi|first1=Shoshichi|last2=Nomizu|first2=Katsumi | title = [[Foundations of Differential Geometry]]|volume=Vol. 1| publisher=[[Wiley Interscience]] | year=1996|edition=New|isbn=0-471-15733-3}}
* {{citation|last1=Kobayashi|first1=S.|last2=Nomizu|first2=K.|title=[[Foundations of Differential Geometry]], Vol. 2|publisher=Wiley-Interscience|year=1963|publication-date= new ed. 2004}}.
* [[エリック・ハロルド・ネヴィル|E. H. Neville]] (1922) ''Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions'', [[Cambridge University Press]].

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{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ふくそきかかく}}
[[Category:複素幾何学|*]]
[[Category:多変数複素函数論]]
[[Category:複素多様体]]
[[Category:数学に関する記事]]