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数学では、'''複素微分形式'''(complex differential form)は、[[複素数]]係数を持つ多様体（通常は[[複素多様体]]）上の[[微分形式]]である。

複素微分形式は、[[微分幾何学]]において広く応用されている。複素多様体上での[[代数幾何学]]や[[ケーラー多様体|ケーラー幾何学]]や[[ホッジ理論]]の多くで、複素微分形式は重要な基本としなっている。複素多様体でない場合でも、複素微分方程式は[[概複素構造]]や[[スピノル]]の理論や[[CR構造]]の研究で重要な役割を果たしている。

典型的には、複素微分形式は容易に期待される分解を持つ考えられている。たとえば、複素多様体上では、任意の k-形式が一意に '''(p,q)-形式'''に分解する。(p,q)-形式とは、大まかには、正則座標の p 個の[[外微分]]と、その複素共役の q 個の外微分のウェッジ積である。(p,q)-形式の集合は、基本的研究対象であり、k-形式以上に、多様体の幾何学的構造をよりよく反映定する。たとえば、[[ホッジ理論]]が適用可能な場合は、（k-形式よりも）良い多様体の構造が存在する。
<!--In [[mathematics]], a '''complex differential form''' is a [[differential form]] on a [[manifold]] (usually a [[complex manifold]]) which is permitted to have [[complex number|complex]] coefficients.

Complex forms have broad applications in [[differential geometry]].  On complex manifolds, they are fundamental and serve as the basis for much of [[algebraic geometry]], [[Kähler metric|Kähler geometry]], and [[Hodge theory]].  Over non-complex manifolds, they also play a role in the study of [[almost complex structure]]s, the theory of [[spinor]]s, and [[CR structure]]s.

Typically, complex forms are considered because of some desirable decomposition that the forms admit.  On a complex manifold, for instance, any complex ''k''-form can be decomposed uniquely into a sum of so-called '''(''p'',''q'')-forms''': roughly, wedges of ''p'' [[exterior derivative|differentials]] of the holomorphic coordinates with ''q'' differentials of their complex conjugates.  The ensemble of (''p'',''q'')-forms becomes the primitive object of study, and determines a finer geometrical structure on the manifold than the ''k''-forms.  Even finer structures exist, for example, in cases where [[Hodge theory]] applies.-->

==複素多様体上の微分形式==
M が[[複素多様体]]であるとすると、n 個の複素変数函数 z<sup>1</sup>,...,z<sup>n</sup> からなる局所[[座標変換]]が存在し、ある点の近傍から別の点の近傍への座標変換が複数の変数 z<sup>i</sup> の[[正則函数]]となる。複素微分形式の空間は、豊かな構造を持っていて、基本的には、座標変換の函数が[[滑らかな多様体|滑らか]](smooth)であることよりも正則であることに依存している。
<!--==Differential forms on a complex manifold==
Suppose that ''M'' is a [[complex manifold]].  Then there is a local [[coordinate system]] consisting of ''n'' complex-valued functions ''z''<sup>1</sup>,...,z<sup>''n''</sup> such that the coordinate transitions from one patch to another are [[holomorphic function]]s of these variables.  The space of complex forms carries a rich structure, depending fundamentally on the fact that these transition functions are holomorphic, rather than just [[smooth manifold|smooth]].-->

===1-形式===
1-形式の場合からはじめる。最初に、それぞれの j について複素数の座標を実部と虚部 z<sup>j</sup> = x<sup>j</sup> + iy<sup>j</sup> へ分解する。
:<math>dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j,</math>
とおくと、複素数係数を持つすべての微分形式は、和
:<math>\sum_{j=1}^n f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j.</math>
と書くことができることが分かる。

&Omega;<sup>1,0</sup> を <math>dz</math> のみを含む複素微分形式の空間とし、&Omega;<sup>0,1</sup> を <math>d\bar{z}</math> のみを含む空間とすると、[[コーシー・リーマンの方程式]]<!--このリンクはいきなり正則函数へリンクされているので、強引過ぎるのであるが、英語版にも多変数の場合のコーシー・リーマンの方程式の記載がほぼないに等しい。また多変数特有の問題もある。-->により空間 &Omega;<sup>1,0</sup> と &Omega;<sup>0,1</sup> は正則座標変換の下で不変である。言い換えると、異なる正則座標系 w<sub>i</sub> を選んでも、&Omega;<sup>0,1</sup> の元による変換とともに、&Omega;<sup>1,0</sup> の元も[[テンソル]]的に変換する。このように空間 &Omega;<sup>0,1</sup> と &Omega;<sup>1,0</sup> は複素多様体上の複素[[ベクトル場]]を定義する。
<!--We begin with the case of one-forms.  First decompose the complex coordinates into their real and imaginary parts: ''z''<sup>''j''</sup>=''x''<sup>''j''</sup>+''iy''<sup>''j''</sup> for each ''j''.  Letting
:<math>dz^j=dx^j+idy^j,\quad d\bar{z}^j=dx^j-idy^j,</math>
one sees that any differential form with complex coefficients can be written uniquely as a sum
:<math>\sum_{j=1}^n f_jdz^j+g_jd\bar{z}^j.</math>

Let &Omega;<sup>1,0</sup> be the space of complex differential forms containing only <math>dz</math>'s and &Omega;<sup>0,1</sup> be the space of forms containing only <math>d\bar{z}</math>'s.  One can show, by the [[Cauchy-Riemann equations]], that the spaces &Omega;<sup>1,0</sup> and &Omega;<sup>0,1</sup> are stable under holomorphic coordinate changes.  In other words, if one makes a different choice ''w''<sub>i</sub> of holomorphic coordinate system, then elements of &Omega;<sup>1,0</sup> transform [[tensor]]ially, as do elements of &Omega;<sup>0,1</sup>.  Thus the spaces &Omega;<sup>0,1</sup> and &Omega;<sup>1,0</sup> determine complex [[vector bundle]]s on the complex manifold.-->

===高次の形式===
複素微分形式のウェッジ積は、実形式と同様な方法で定義される。p と q を非負な整数 &le; n のペアとすると、(p,q)-形式の空間 &Omega;<sup>p,q</sup> は、&Omega;<sup>1,0</sup> の p 個の元と &Omega;<sup>0,1</sup> の q 個の元のウェッジ積の線型結合により定義される。記号で書くと、
:<math>\Omega^{p,q}=\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}\wedge\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}</math>
であり、ここに &Omega;<sup>1,0</sup> の p 個の要素、&Omega;<sup>0,1</sup> の q 個の要素が存在する。まさに、1-形式の 2つの空間が、座標の正則な変換の下で安定であるので、ベクトルバンドルを決定する。

E<sup>k</sup> を全次数 k の全複素微分形式の空間とすると、E<sup>k</sup> の各々の元は一意な方法で p + q = k である空間 &Omega;<sup>p,q</sup> の元の線型結合で表わすことができる。より簡潔に言うと、[[直積]]分解
:<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}</math>

となる。直積分解は正則座標変換の下に安定であるから、直積分解はベクトルバンドルの分解をも決定する。

特に、各々の k = p + q である p と q に対し、ベクトルバンドルの標準的な射影
:<math>\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}</math>
が存在する。
<!--===Higher degree forms===
The wedge product of complex differential forms is defined in the same way as with real forms.  Let ''p'' and ''q'' be a pair of non-negative integers &le; ''n''.   The space &Omega;<sup>p,q</sup> of (''p'',''q'')-forms is defined by taking linear combinations of the wedge products of ''p'' elements from &Omega;<sup>1,0</sup> and ''q'' elements from &Omega;<sup>0,1</sup>.  Symbolically,
:<math>\Omega^{p,q}=\Omega^{1,0}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{1,0}\wedge\Omega^{0,1}\wedge\dotsb\wedge\Omega^{0,1}</math>
where there are ''p'' factors of &Omega;<sup>1,0</sup> and ''q'' factors of &Omega;<sup>0,1</sup>.  Just as with the two spaces of 1-forms, these are stable under holomorphic changes of coordinates, and so determine vector bundles.

If ''E''<sup>''k''</sup> is the space of all complex differential forms of total degree ''k'', then each element of ''E''<sup>''k''</sup> can be expressed in a unique way as a linear combination of elements from among the spaces &Omega;<sup>p,q</sup> with ''p''+''q''=''k''.  More succinctly, there is a [[direct sum of vector bundles|direct sum]] decomposition
:<math>E^k=\Omega^{k,0}\oplus\Omega^{k-1,1}\oplus\dotsb\oplus\Omega^{1,k-1}\oplus\Omega^{0,k}=\bigoplus_{p+q=k}\Omega^{p,q}.</math>
Because this direct sum decomposition is stable under holomorphic coordinate changes, it also determines a vector bundle decomposition.

In particular, for each ''k'' and each ''p'' and ''q'' with ''p''+''q''=''k'', there is a canonical projection of vector bundles
:<math>\pi^{p,q}:E^k\rightarrow\Omega^{p,q}.</math>-->

===ドルボー作用素===
通常の外微分は、切断の写像 d:E<sup>k</sup>&rarr;E<sup>k+1</sup> を定義する。この写像を &Omega;<sup>p,q</sup> の切断に限定すると、実際 d:&Omega;<sup>p,q</sup>&rarr;&Omega;<sup>p+1,q</sup> + &Omega;<sup>p,q+1</sup> である{{clarify|reason=This is an object. In fact, it exists? Equals something?|date=November 2011}} 外微分は多様体のより厳密な複素構造を反映はしない。

d と前のサブセクションで定義されたことを使うと、'''ドルボー作用素'''(Dolbeault operators)
:<math>\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}</math>
と定義することができる。これらの作用素を局所座標で表わすため、
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}</math>
とおく。ここに I と J は複数のインデックスを持っている。すると、
:<math>\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
:<math>\bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
が成り立つ。

次の性質も成り立つことが分かる。
:<math>d=\partial+\bar{\partial}</math>
:<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.</math>

これらの作用と性質は、[[ドルボーコホモロジー]]の基礎と[[ホッジ理論]]の様々な面を与える。
<!--===The Dolbeault operators===
The usual exterior derivative defines a mapping of sections ''d'':''E''<sup>''k''</sup>&rarr;''E''<sup>''k+1''</sup>.  Restricting this to sections of &Omega;<sup>''p,q''</sup>, one can show that in fact ''d'':&Omega;<sup>''p,q''</sup>&rarr;&Omega;<sup>''p''+1,''q''</sup> + &Omega;<sup>''p'',''q''+1</sup>.{{clarify|reason=This is an object. In fact, it exists? Equals something?|date=November 2011}} The exterior derivative does not in itself reflect the more rigid complex structure of the manifold.

Using ''d'' and the projections defined in the previous subsection, it is possible to define the '''Dolbeault operators''':
:<math>\partial=\pi^{p+1,q}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p+1,q},\quad \bar{\partial}=\pi^{p,q+1}\circ d:\Omega^{p,q}\rightarrow\Omega^{p,q+1}</math>
To describe these operators in local coordinates, let
:<math>\alpha=\sum_{|I|=p,|J|=q}\ f_{IJ}\,dz^I\wedge d\bar{z}^J\in\Omega^{p,q}</math>
where ''I'' and ''J'' are [[multi-index|multi-indices]].  Then
:<math>\partial\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial z^\ell}\,dz^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J</math>
:<math>\bar{\partial}\alpha=\sum_{|I|,|J|}\sum_\ell \frac{\partial f_{IJ}}{\partial \bar{z}^\ell}d\bar{z}^\ell\wedge dz^I\wedge d\bar{z}^J.</math>

The following properties are seen to hold:
:<math>d=\partial+\bar{\partial}</math>
:<math>\partial^2=\bar{\partial}^2=\partial\bar{\partial}+\bar{\partial}\partial=0.</math>

These operators and their properties form the basis for [[Dolbeault cohomology]] and many aspects of [[Hodge theory]].-->

===正則形式===
各々の p に対し、正則 p-形式はバンドル &Omega;<sup>p,0</sup> の正則切断である。局所座標では、正則 p-形式は、

:<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>

と書くことができる。ここに f<sub>I</sub> は正則函数である。同じことであるが、(p,0)-形式 &alpha; が正則であることと、
:<math>\bar{\partial}\alpha=0.</math>
は同値である。正則 p-形式の[[層 (数学)|層]]は、よく &Omega;<sup>p</sup> と表わされるが、混乱を時々招くので、代わりの記法を使うようになってきている。
<!--===Holomorphic forms===
For each ''p'', a holomorphic ''p''-form is a holomorphic section of the bundle &Omega;<sup>''p,0''</sup>.  In local coordinates, then, a holomorphic ''p''-form can be written in the form

:<math>\alpha=\sum_{|I|=p}f_I\,dz^I</math>

where the ''f''<sub>''I''</sub> are holomorphic functions.  Equivalently, the (''p'',0)-form &alpha; is holomorphic if and only if
:<math>\bar{\partial}\alpha=0.</math>
The [[sheaf (mathematics)|sheaf]] of holomorphic ''p''-forms is often written &Omega;<sup>''p''</sup>, although this can sometimes lead to confusion so many authors tend to adopt an alternative notation.-->

==参照項目==

*[[ドルボーコホモロジー|ドルボー複体]]
*{{仮リンク|フローリッヒのスペクトル系列|en|Frölicher spectral sequence}}(Frölicher spectral sequence)
*{{仮リンク|第一種微分|en|Differential of the first kind}}(Differential of the first kind)

==参考文献==
* {{cite book|last=Wells|first=R.O.|authorlink=Raymond O. Wells, Jr.|title=Differential analysis on complex manifolds|year=1973|publisher=Springer-Verlag|isbn=0-387-90419-0}}

{{DEFAULTSORT:ふくそひふんけいしき}}
[[Category:複素多様体]]
[[Category:微分形式]]
[[Category:数学に関する記事]]