複素数のソースを表示

[[画像:Complex number illustration.svg|thumb|複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は実数）は、[[複素平面]]では、直交座標 {{math|(''a'', ''b'')}} に対応し、それは'''アルガン図'''上の[[ベクトル空間]]である。"Re" は実軸、"Im" は虚軸を意味する符牒であり、{{mvar|i}} は[[虚数単位]]と呼ばれる {{math2|''i''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} を満たす数である。]]
[[数学]]における{{読み仮名|'''複素数'''|ふくそすう|{{lang-en-short|complex number}}}}とは、2つの[[実数]] {{math2|''a'', ''b''}} と'''[[虚数単位]]''' {{math2|''i'' {{=}} {{sqrt|&minus;1}}}} を用いて
:{{math|1=''z'' = ''a'' + ''bi''}}
と表すことのできる[[数]]のことである{{efn|[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]は、1831年<ref>[https://xseek-qm.net/Matrix_complex.htm#_Toc526806431 なぜ虚数単位iの2乗は-1になるのか?#6.3.3. 複素数の由来] x_seek</ref>に発表した論文で、複素数を {{lang-de-short|"Komplexe Zahl"}}（「複合的な数」）と表し、初めて複素数に名前を付けた<ref>{{PDFlink|[http://www.cc.miyazaki-u.ac.jp/yazaki/teaching/ca/ca-complex_num.pdf 複素数 2006/10/05]}} 矢崎成俊 p.3</ref><ref>{{PDFlink|[http://edupa.info/pdf/math/hm/hmb-3-01.pdf 複素平面の基本概念]}} p.3</ref>。<br />{{lang-en-short|"Complex number"}} を最初に「複素数」と訳したのは、日本の[[藤沢利喜太郎]]である<ref>{{Cite book|和書 |author=片野善一郎 |title=数学用語と記号ものがたり |publisher=[[裳華房]] |date=2003-08-25 |page=63}}</ref>。1889年の著書『数学用語英和対訳字書』[https://dl.ndl.go.jp/info:ndljp/pid/826493/4] p.7 による。（ただし、東京数学会社による、"Composite number"（[[合成数]]）の日本語訳「複素数」も見られる）}}。{{math2|1, ''i''}} は実数体上[[線型独立]]であり、複素数は、係数体を実数とする、{{math2|1, ''i''}} の[[線型結合]]である。実数体 {{mathbf|R}} 上の二次拡大環の元であるため、[[二元数]]の一つである。

複素数全体からなる集合を、太字の {{mathbf|C}} あるいは[[黒板太字]]で {{math|ℂ}} と表す。{{mathbf|C}} は[[可換体]]である。[[体論]]の観点からは、複素数体 {{mathbf|C}} は、実数体 {{mathbf|R}} に {{math|{{sqrt|&minus;1}}}} を添加して得られる[[体の拡大]]である。[[代数学の基本定理]]により、複素数体は[[代数的閉体]]である。

複素数体は[[ケーリー＝ディクソンの構成法|ケーリー＝ディクソン代数]]（[[四元数]]、[[八元数]]、[[十六元数]]など）の基点となる体系であり、またさまざまな[[多元数]]の中で最もよく知られた例である。

複素数の概念は、一次元の[[実数直線]]を二次元の[[複素平面]]に拡張する。複素数全体に通常の大小関係を入れることはできない<ref name="NEW_ACTION _2B">{{Cite book|和書 |title=NEW ACTION LEGEND数学2+B―思考と戦略 数列・ベクトル |author=ニューアクション編集委員会 |publisher=[[東京書籍]] ||edition=単行本 |date=2019-02-01 |isbn=978-4487379927 |page=53}}</ref><ref>{{Mathworld |urlname=ComplexNumber |title=Complex Number}}</ref>。つまり、複素数体 {{mathbf|C}} は[[順序体]]でない{{efn|[[辞書式順序]]は[[全順序]]であるが、複素数に入れると {{math2|+, ×}} と両立しない。
{{See|順序集合}}}}。

数学での分野、概念や構成において、考えている体構造が複素数体であるとき、それを、それらの概念等の名称に、多くは接頭辞「複素-」を付けることで反映させる。例えば、[[複素解析]]、複素[[行列]]、複素（係数）[[多項式]]、複素[[リー代数]]など。

== 概観 ==
=== 定義 ===
{{math|''i''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} を満たす[[数]] {{mvar|i}} を[[虚数単位]]という。[[実数]] {{math|1}} と {{mvar|i}} は実数体上で[[線型独立]]である。実数 {{math2|''a'', ''b''}} を係数として {{math2|1, ''i''}} の[[線型結合]]で表される数 {{math|''a'' + ''bi''}} を'''複素数'''と呼ぶ{{efn|1 と<u>実数体上[[線型独立]]な</u>ベクトル {{mvar|u}} が {{math2|''u''{{sup|2}} {{=}} 1 or 0}} となるものとすれば、別の種類の[[二元数]]が得られる。}}。

任意の実数 {{mvar|a}} は {{math2|''a'' + 0''i''}} と表せるので複素数である（実数全体の複素数全体への[[埋め込み (数学)|埋め込み]]は、[[算術#四則演算|四則演算]]および[[絶対値]]を保つという意味で、[[位相体]]の埋め込みである）。{{math2|''bi'' {{=}} 0 + ''bi'' (''b'' ≠ 0)}} の形の複素数を純虚数と呼ぶ。

複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi'' (''a'', ''b'' ∈ '''R''')}} に対して、
:{{mvar|a}} を {{mvar|z}} の'''実部''' (''real part'') といい、{{math2|Re(''z''), ℜ(''z''), Re ''z'', ℜ ''z''}} などで表す。
:{{mvar|b}} を {{mvar|z}} の'''虚部''' (''imaginary part'') といい、{{math2|Im(''z''), ℑ(''z''), Im ''z'', ℑ ''z''}} などで表す。虚部とは実数「{{mvar|b}}」を指し複素数「{{mvar|bi}}」ではないことに注意<ref>{{Cite book|和書 |author=Murray Ralph Spiegel |title=複素解析 |translator=石原宗一 |publisher=[[オーム社]] |series=[[マグロウヒル・エデュケーション|マグロウヒル]]大学演習 |date=1995-05 |isbn=978-4274130106}}</ref><ref>{{Citation |title=College Algebra and Trigonometry |edition=6 |first1=Richard N. |last1=Aufmann |first2=Vernon C. |last2=Barker |first3=Richard D. |last3=Nation |publisher=Cengage Learning |year=2007 |isbn=0-618-82515-0 |page=66 |url=https://books.google.com/?id=g5j-cT-vg_wC&pg=PA66 |chapter=Chapter P}}</ref>。
* 虚部が {{math|0}} でない、すなわち実数でない複素数のことを[[虚数]]という。
* 実部、虚部がともに[[整数]]のとき[[ガウス整数]]といい、その全体を {{math|'''Z'''[''i'']}} と書く。
* 実部、虚部がともに[[有理数]]のとき'''ガウス有理数'''といい、その全体を {{math|'''Q'''(''i'')}} と表す。

=== 複素平面 ===
{{main|複素平面}}
[[画像:ComplexPlane.png|right|複素数平面]]
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''}}（{{math2|''x'', ''y''}} は実数）は実数の対 {{math|(''x'', ''y'')}} に [[全単射|1: 1 に対応]]するから、複素数全体からなる集合 {{mathbf|C}} は、{{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''iy''}} を {{math|(''x'', ''y'')}} と見なすことにより座標平面と考えることができる。この座標平面を'''[[複素平面]]'''という。[[カール・フリードリヒ・ガウス]]に因んで'''ガウス平面'''、{{仮リンク|ジャン゠ロベール・アルガン|en|Jean-Robert Argand}}に因んで'''アルガン図'''と呼ばれることもある。これと異なる語法として、{{mathbf|C}} は複素数体上一次元のアフィン線型多様体であるので、'''複素直線'''とも呼ばれる。

複素数平面においては、{{mvar|x}}座標が実部、{{mvar|y}}座標が虚部に対応し、{{mvar|x}}軸（横軸）を'''実軸''' (''real axis) 、''{{mvar|y}}軸（縦軸）を'''虚軸''' (''imaginary axis'') と呼ぶ<ref name="omote"/>。

複素数 {{math|''z'', ''w''}} に対して
:{{math2|1=''d''(''z'', ''w'') = {{abs|''z'' &minus; ''w''}}}}
とすると、{{math|('''C''', ''d'')}} は[[距離空間]]となる。この距離は、座標平面における[[ユークリッド距離]]に対応する。複素数平面は複素数の計算を視覚化でき、数直線の概念そのものを拡張した。

=== 複素数球面 ===
{{main|リーマン球面|射影直線}}
[[画像:Stereographic projection in 3D.png|thumb|リーマン球面の視覚化]]
複素関数論においては、複素数平面 {{mathbf|C}} を考えるよりも、[[無限遠点]]を付け加えて1点コンパクト化した {{math|'''C''' ∪ {{mset|∞}}}} を考える方が自然であり、議論が透明になることもある。'''複素数球面'''またはリーマン球面と呼ばれ、以下に示すように2次元球面同型 {{math|''S''{{sup|2}}}} と[[位相同型]]である。無限遠点にも幾何的な意味を与えることができる。

複素数平面 {{mathbf|C}} を、{{mvar|xyz}}座標空間内の {{mvar|xy}}平面とみなし、{{math|''z'' ≥ 0}} に含まれ {{mvar|xy}}平面と原点で接する球面 {{math2|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}} + (''z'' &minus; 1){{sup|2}} {{=}} 1}} を考える。この球における原点の{{仮リンク|対蹠点 (数学)|label=対蹠点|en|Antipodal point}} {{math|(0, 0, 2)}} を北極と呼ぶことにする。任意の複素数 {{mvar|w}} に対し {{mvar|w}} と北極を結んだ線分はこの球面と、北極以外の一点で必ず交わり、それを {{math|''f''(''w'')}} と書けば {{mvar|f}} は[[単射]]、[[連続写像]]である。{{mvar|f}} の[[像 (数学)|像]]は、球面から北極を除いた部分である。また、{{math|''w'' → ∞}} のとき {{math|''f''(''w'') → (0, 0, 2)}}（北極）である。そこで、{{mvar|f}} の定義域を {{math|'''C''' ∪ {{mset|∞}}}} に拡張すると、{{math|''f'' : '''C''' ∪ {{mset|∞}} → ''S''{{sup|2}}}} は同相写像になる。

この同相写像 {{mvar|f}} は、複素平面上の円を円に写し、複素平面上の直線を、無限遠点を通る円に写す。このことは、複素平面上の直線と円はほぼ同等であることを表している。

== 基本的な性質 ==
=== 相等関係 ===
二つの複素数が'''等しい'''とは、それらの実部および虚部がそれぞれ等しいことである：
:<math>z_1 = z_2 \iff ( \operatorname{Re} z_1 = \operatorname{Re} z_2 ) \land ( \operatorname{Im} z_1 = \operatorname{Im} z_2 )</math>
このことは、{{math2|1, ''i''}} が[[線型独立]]であることから示される。

=== 四則演算 ===
[[画像:Vector Addition.svg|200px|thumb|二つの複素数の和は、複素数平面では、平行四辺形の対角線を作ることに当たる。]]
* {{math2|1=(''a'' + ''bi'') ± (''c'' + ''di'') = (''a'' ± ''c'') + (''b'' ± ''d'')''i''}}（複号同順）
* {{math2|1=(''a'' + ''bi'')(''c'' + ''di'') = (''ac'' &minus; ''bd'') + (''bc'' + ''ad'')''i''}}
* <math>\frac{a+bi}{c+di} =\frac{ac+bd}{c^2 +d^2} +\frac{bc-ad}{c^2 +d^2} i</math>
{{math|''n'', ''m''}} は整数とする。
* {{math2|1=''z{{sup|n}}z{{sup|m}}'' = ''z''{{sup|''n''+''m''}}}}
* {{math2|1=(''z{{sup|n}}'')''{{sup|m}}'' = ''z{{sup|nm}}''}}
* {{math2|1=(''zw''){{sup|''n''}} = ''z{{sup|n}}w{{sup|n}}''}}

=== 複素共役（共役複素数） ===
{{main|複素共役}}
[[画像:Complex conjugate picture.svg|thumb|複素数 {{mvar|z}} の共役複素数 {{mvar|{{overline|z}}}} を取る操作は、複素数平面では実軸[[線対称|対称]]変換に当たる。]]
複素数 {{math|''a'' + ''bi''}} に対して、虚部 {{mvar|b}} を反数にした複素数 {{math|''a'' &minus; ''bi''}} を {{mvar|z}} の'''共役'''（きょうやく、''conjugate'', 本来は'''共軛'''）'''複素数'''といい、記号で {{math|{{overline|''z''}}}}（または {{math|''z''*}}）と表す<ref name="omote">{{Harvtxt|表|1988}}</ref>。
:{{math2|1={{overline|''z''}} = Re ''z'' &minus; ''i'' Im ''z''}}
{{mvar|z}} と {{overline|''z''}} を'''複素共役'''あるいは単に'''共役'''という。

複素数の共役をとる複素関数 {{math2|{{overline|・}} : '''C''' → '''C''' ; ''z'' ↦ {{overline|''z''}}}} は[[環準同型]]である。すなわち次が成り立つ。
* {{math2|1={{overline|''z'' + ''w''}} = {{overline|''z''}} + {{overline|''w''}}}}
* {{math2|1={{overline|''zw''}} = {{overline|''z''}} {{overline|''w''}}}}
複素共役は[[実数]]を変えない：
* {{mvar|z}} が実数 {{math2|1=⇔ {{overline|''z''}} = ''z''}}
逆に、{{mathbf|C}} 上の環準同型写像で、実数を変えないものは、[[恒等写像]]か複素共役変換に限られる。

複素共役変換 {{math2|{{overline|・}} : '''C''' → '''C''' ; ''z'' ↦ {{overline|''z''}}}} は、{{math|C}} の全ての点で[[複素微分]]不可能である。

以下の性質が成り立つ。
* {{mvar|z}} が実数 ⇔ {{math2|1={{overline|''z''}} = ''z''}}
* {{mvar|z}} が純虚数 ⇔ {{math|1={{overline|''z''}} = &minus;''z'' ≠ 0}}
* {{math2|1={{overline|''z'' ± ''w''}} = {{overline|''z''}} ± {{overline|''w''}}}}（複号同順）
* {{math2|1={{overline|''zw''}} = {{overline|''z''}} {{overline|''w''}}}}
* <math>\overline{\left( \frac{z}{w} \right)} =\frac{\overline{z}}{\overline{w}}</math>
* <math>\overline{z^n} =\left( \overline{z} \right)^n</math>（{{mvar|n}} は整数）
* <math>\overline{\overline{z}}=z</math>（[[対合]]）
* {{math2|1={{abs|''z''}} = {{abs|{{overline|z}}}}}}
* {{math2|1=''z''{{overline|''z''}} = {{abs|''z''}}{{sup|2}}}}
** {{math|0}} 以外の複素数の[[逆数]]は、絶対値と共役で表せる{{efn|複素数を拡張した[[四元数]]では、逆数はこの式で定義される<ref>{{高校数学の美しい物語|title=四元数と三次元空間における回転|urlname=quaternion}}</ref>。}}：
*: <math>\frac{1}{z} = \frac{\overline{z}}{|z|^2} \ (z \ne 0)</math>
* {{math2|1=''z'' + {{overline|''z''}} = 2 Re ''z''}}
* {{math2|1=''z'' &minus; {{overline|''z''}} = 2''i'' Im ''z''}}
[[代数方程式]]の解について、次が成り立つ：
:「実係数[[多項式]] {{math|''P''(''x'')}} が虚数根 {{mvar|α}} をもつならば、{{math|{{overline|''α''}}}} も {{math|''P''(''x'')}} の虚数根である」
つまり、
:実係数多項式 {{math|''P''(''x'')}} について、{{math2|1=''P''(''α'') = 0 ⇔ ''P''({{overline|''α''}}) = 0}}
:（1746年、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]）
このことは、複素共役変換が環準同型であることから容易に示せる。

== 極形式 ==
{{See also|極座標系|{{仮リンク|極分解|en|polar decomposition}}}}
[[画像:Complex number illustration modarg.svg|thumb|複素数 {{mvar|z}} は、[[複素数平面]]における絶対値 {{mvar|r}}, 偏角 {{mvar|φ}} でも表される。すなわち、複素数 {{mvar|z}} の極形式が<br />{{math|1=''z'' {{=}} ''r''(cos ''φ'' + ''i'' sin ''φ'')}} あるいは {{mvar|re{{sup|iφ}}}}<br />で与えられる。]]
複素数を実部と虚部で表すのとは別の方法として、複素数平面上での点 {{math|P}} を、[[原点 (数学)|原点]] {{math|O(0)}} からの距離と、{{仮リンク|正の実数|en|Positive real numbers|label=正の実軸}}と線分 {{math|OP}} の見込む角を反時計回りに測ったものの対（{{math|P}} の極座標）で表す方法が挙げられる。これにより、複素数の極形式の概念が導入される。

=== 絶対値 ===
{{main|複素数の絶対値}}
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}}（{{math2|''x'', ''y''}} は実数）の絶対値は
:<math>|z| = \sqrt{x^2 + y^2}</math>
で定義される。これは {{math|0}} 以上の実数である。{{mvar|z}} が実数（つまり {{math2|''y'' {{=}} 0}}）のとき {{math|{{abs|''z''}}}} は実数の[[絶対値]] {{math2|{{abs|''x''}} {{=}} max{{mset|''x'', &minus;''x''}}}} に一致する。

複素数の絶対値は、[[ピタゴラスの定理]]により、複素平面における原点 {{math|O(0)}} との[[ユークリッド距離]]に等しい。そして次が成り立つ。
* 非退化性：{{math2|1={{abs|''z''}} = 0 ⇔ ''z'' = 0}}
* [[三角不等式]]：{{math2|{{abs|''z'' + ''w''}} ≤ {{abs|''z''}} + {{abs|''w''}}}}（[[劣加法性]]とも）
* 乗法性：{{math2|1={{abs|''zw''}} = {{abs|''z''}}{{abs|''w''}}}}
逆に、複素数の絶対値は、実数の絶対値を複素数に拡張した[[ノルム代数]]として特徴付けられる。

複素数 {{mvar|z}} の絶対値 {{math|{{abs|''z''}}}} は、{{mvar|z}} を極形式表示：
:{{math2|1=''z'' = ''r''(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ'')}}
したときの動径 {{mvar|r}} に等しい。

共役複素数と自身の積は、絶対値の平方に等しい。すなわち複素数 {{mvar|z}} に対して
:<math>|z|^2 = z\overline{z} = x^2 + y^2</math>
が成り立つ。

=== 偏角 ===
{{main|複素数の偏角}}
複素数 {{mvar|z}} の偏角（応用の場面ではしばしば「[[位相]]」とも呼ばれる）{{math|arg ''z''}} とは、複素平面上で、正の実軸から測った動径 {{math|OP}} の角度のことである。偏角 {{mvar|φ}} の値は[[ラジアン]]で表すものとする。

角に {{math|2''π''}} の任意の整数倍を加えてもそれが表す動径、複素数は同じであるから、偏角を与える関数は[[多価関数]]である。

そこで、偏角 {{math|arg ''z''}} を一価関数として定義するには、'''[[主値]]'''を[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} とする場合、逆正接関数から次のようにして定義される<ref>{{Citation |title=Complex Variables: Theory And Applications |edition=2nd |chapter=Chapter 1 |first1=H.S. |last1=Kasana |publisher=PHI Learning Pvt. Ltd |year=2005 |isbn=81-203-2641-5 |page=14 |url={{google books|plainurl=yes|id=rFhiJqkrALIC|page=14}}}}</ref>（計算機言語では、{{math|{{sfrac|''y''|''x''}}}} の逆正接関数を、二つの引数 {{math2|''x'', ''y''}} に対する [[atan2]]{{math|(''y'', ''x'')}} として実装していることが多い）：
:<math>\arg z = \begin{cases}
\arctan \dfrac{y}{x} &\text{if } x > 0 \\
\arctan \dfrac{y}{x} + \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y \ge 0 \\
\arctan \dfrac{y}{x} - \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y < 0 \\
\dfrac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y > 0 \\
-\dfrac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y < 0 \\
\text{indeterminate} &\text{if } x = y = 0
\end{cases}</math>
複素数が {{math|[[0]]}} のときだけ偏角は不定 (indeterminate) となる。

上記の定義で、負となる偏角の値に対しては {{math|2''π''}} を加えることにすると、主値は {{math|[0, 2''π'')}} となる。

複素数 {{mvar|z}} が主値の端の値の近傍を連続的に変化するならば、偏角の値もまたその近傍で連続的に変化するように枝をとるものとして、それを単に {{math2|arg ''z'' {{=}} arctan ''{{sfrac|y|x}}''}} のように書く{{efn|これは正確には適当な[[リーマン面]]を考えるべきであろうけれども、直観的には {{math2|tan(arctan(''α'')) {{=}} ''α''}} かつ {{math2|arctan(tan(''β'')) {{=}} ''β''}} が常に成り立っているように枝を渡る（特定の一つの枝を固定したのでは不連続となる点の前後で、実際には隣の枝に遷る）と理解することができる。}}。

=== 極形式の表示と記法 ===
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}}（{{math2|''x'', ''y''}} は実数）において、[[直交座標系]] {{math2|(''x'', ''y'')}} に対応する[[極座標系]]を {{math|(''r'', ''φ'')}} {{math2|(''r'' ≥ 0)}} とするとき、
:<math>z = r( \cos \varphi + i\sin \varphi )</math>（[[三角関数]]表示）
と表すことができる。この表示式を'''極形式''' (''polar form'') という。{{mvar|r}} は {{mvar|z}} の絶対値、{{mvar|φ}} は {{mvar|z}} の偏角である。{{math|0}} を除いて、この表示は一意である。

極形式から元の直交座標を恢復するには、三角関数表示を展開すればよい。

[[オイラーの公式]]を用いれば、これを
:{{math2|1=''z'' = ''re{{sup|iφ}}''}}
と書くことができるし、[[純虚指数函数]]を用いて
:{{math2|1=''z'' = ''r''&thinsp;cis(''φ'')}}
と書くこともある。

[[フェーザ表示]]
:<math>z = r \angle \varphi</math>
は[[電子工学]]において振幅 {{mvar|r}} と位相 {{mvar|φ}} を持つ正弦信号を表すのによく用いられる<ref>{{Citation |title=Electric circuits |chapter=Chapter 9 |edition=8th |first1=James William |last1=Nilsson |first2=Susan A. |last2=Riedel |publisher=Prentice Hall |year=2008 |isbn=0-13-198925-1 |page=338 |url={{google books|plainurl=yes|id=sxmM8RFL99wC|page=338}}}}</ref>。

=== 極形式表示での乗除法 ===
[[画像:Complex multi.svg|thumb|{{math|2 + ''i''}}（青）と {{math|3 + ''i''}}（赤）の積の、複素平面における位置。<br />赤三角は、青三角の偏角だけ回転され、青三角の[[斜辺]] ([[5の平方根|{{math|{{sqrt|5}}}}]]) は、赤三角の斜辺だけ拡大され<br />{{math2|(2 + ''i'')(3 + ''i'') {{=}} 5 + 5''i''}}<br />を表す三角（灰）になる。<br />{{math|5 + 5''i''}} の偏角は {{math|{{sfrac|''π''|4}}}}（ラジアン）であるから、偏角について<br />{{math2|{{sfrac|''π''|4}} {{=}} arctan {{sfrac|1|2}} + arctan {{sfrac|1|3}}}}<br />が成り立つ（{{math|arctan}} は逆正接関数）。逆正接関数は高効率で近似することができることに応じて、[[円周率|{{pi}}]] を高精度に近似するこのような式（[[マチンの公式]]と呼ばれる）に用いられる。]]
複素数の乗除・冪は、極形式表示をしてから行う方が、直交座標表示よりも、見通しがよくなる。2つの複素数の極形式を
:{{math2|1=''z''{{sub|1}} = ''r''{{sub|1}}(cos ''φ''{{sub|1}} + ''i'' sin ''φ''{{sub|1}})}},
:{{math2|1=''z''{{sub|2}} = ''r''{{sub|2}}(cos ''φ''{{sub|2}} + ''i'' sin ''φ''{{sub|2}})}}
とすると、積 {{math|''z''{{sub|1}} ''z''{{sub|2}}}} は、三角関数の加法定理： 
:<math>\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta = \cos ( \alpha + \beta ),</math>
:<math>\cos \alpha \sin \beta + \sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha + \beta )</math>
により
:<math>z_1 z_2 = r_1 r_2 ( \cos ( \varphi_1 + \varphi_2 ) + i \sin ( \varphi_1 + \varphi_2 ))</math>
となる。すなわち、積の絶対値は絶対値の積であり、積の偏角は偏角の和である。

{{math2|''i''{{sup|2}} {{=}} &minus;1}} より、虚数単位 {{math2|''i'' {{=}} {{sqrt|&minus;1}}}} を掛けること（[[作用 (数学)|作用]]）は、複素数平面上で原点中心に反時計回りに直角回転させることである。ゆえに、虚数単位 {{mvar|i}} は、複素数平面上では、直交座標で {{math|(0, 1)}} の位置にある。 

同様にして、商は
:<math>\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left( \cos ( \varphi_1 - \varphi_2 ) + i \sin( \varphi_1 - \varphi_2 ) \right)</math>
になる。

=== 偏角の計算規則 ===
偏角に関する等式 {{math2|arg(''zw'') {{=}} arg(''z'') + arg(''w'')}} は、両辺の差が {{math|2''π''}} の任意の整数倍であることを除いて成り立つ等式であることに注意しなければならない。
:例えば
::{{math2|1=arg(''z''{{sup|2}}) = arg(''z'') + arg(''z'') = 2 arg(''z'')}}
:において、もし各項が任意の偏角をとるものとしてしまうと、
::{{math2|1=arg(''z'') = ''θ'' + 2''nπ''}}（{{mvar|n}} は任意の整数）
:と書けば、右辺は {{math|2''θ'' + 4''nπ''}} だが左辺は {{math|2''θ'' + 2''mπ''}}（{{mvar|m}} は任意の整数）となり厳密には等しくならない。
それを明示するために合同式の記法を流用してしばしば
:{{math2|arg(''zw'') ≡ arg(''z'') + arg(''w'') (mod 2''π'')}}
などとも書く。このように {{math|mod 2''π''}} に関して合同であるという理解は重要である。しかし、先述のように（適当な[[リーマン面]]上で）偏角をとるものと仮定すれば、{{math|2''π''}} の整数倍を加える不定性無く実際に等号が成り立つ。すなわち、三つの複素数 {{math2|''zw'', ''z'', ''w''}} のそれぞれに対して独立に偏角をとるのではなく、ひとたび {{math2|arg(''zw'') {{=}} arg(''z'') + arg(''w'')}} を満たすように偏角を一組選べば（例えば右辺の各項の値を決め、それによって左辺の値を定義すれば）、{{mvar|z}} あるいは {{mvar|w}} を連続的に変化させるとき、{{math|arg(''zw'')}} も連続的に変化して、そのような三点の近傍において常に厳密な意味で等号が成立する{{sfn|木村|高野|1991|p=4}}。

この注意の下で以下が成り立つ：
* {{math2|1=arg(''zw'') = arg(''z'') + arg(''w'')}}
* {{math2|1=arg(''{{sfrac|z|w}}'') = arg(''z'') &minus; arg(''w'')}}
* {{math2|1=arg(''z{{sup|n}}'') = ''n'' arg(''z'')}}（{{mvar|n}} は整数）
偏角の計算法則は[[対数]]のそれとほぼ同じであるが、それは[[複素対数函数]]の虚部が偏角に等しいことに起因している。

=== ド・モアブルの定理 ===
{{main|ド・モアブルの定理}}
実数 {{mvar|θ}}, 整数 {{mvar|n}} に対して、
:{{math2|1=(cos ''θ'' + ''i'' sin ''θ''){{sup|''n''}} = cos ''nθ'' + ''i'' sin ''nθ''}}
が成り立つ（ド・モアブルの定理）。[[オイラーの公式]]より
:{{math2|1=(''e{{sup|iθ}}''){{sup|''n''}} = ''e{{sup|inθ}}''}}
:{{math2|1=(exp ''iθ''){{sup|''n''}} = exp ''inθ''}}
と表現することもできる。{{mvar|n}} が整数でないとき一般には成り立たない。

== 性質と特徴付け ==
{{出典の明記|date=2013-06|section=1}}

=== 体構造 ===
{{main|可換体}}
複素数全体からなる集合 {{mathbf|C}} は可換体になる。つまり、以下の事実が成り立つ。
* [[閉性]]：任意の二つの複素数の和および積は再び複素数になる。
* [[反数]]の存在：任意の複素数 {{mvar|z}} に加法逆元 {{math|&minus;''z''}} が存在してそれもまた複素数である。
* [[逆数]]の存在：任意の非零複素数に対して乗法逆元 {{math|{{sfrac|1|''z''}}}} が存在する。
* さらにいくつかの法則を満足する。複素数 {{math2|''z''{{sub|1}}, ''z''{{sub|2}}, ''z''{{sub|3}}}} に対して
** 和の[[交換法則]]：{{math2|1=''z''{{sub|1}} + ''z''{{sub|2}} = ''z''{{sub|2}} + ''z''{{sub|1}}}}
** 和の[[結合法則]]：{{math2|1=(''z''{{sub|1}} + ''z''{{sub|2}}) + ''z''{{sub|3}} = ''z''{{sub|1}} + (''z''{{sub|2}} + ''z''{{sub|3}})}}
** 積の交換法則：{{math2|1=''z''{{sub|1}}''z''{{sub|2}} = ''z''{{sub|2}}''z''{{sub|1}}}}
** 積の結合法則：{{math2|1=(''z''{{sub|1}}''z''{{sub|2}})''z''{{sub|3}} = ''z''{{sub|1}}(''z''{{sub|2}}''z''{{sub|3}})}}
** [[分配法則]]：{{math2|1=''z''{{sub|1}}(''z''{{sub|2}} + ''z''{{sub|3}}) = ''z''{{sub|1}}''z''{{sub|2}} + ''z''{{sub|1}}''z''{{sub|3}}}}
これらの性質は、実数全体からなる集合 {{mathbf|R}} が可換体であるという事実の下、先に与えた基本的な和と積の定義式から証明することができる。

実数と異なり、[[虚数]]に通常の大小関係 ({{math2|''z''{{sub|1}} < ''z''{{sub|2}}}}) はない。つまり、複素数体 {{mathbf|C}} は[[順序体]]にはならない<ref name="NEW_ACTION _2B"/><ref name="omote"/>。これは、[[自乗]]すると負である数（例えば[[虚数単位]] {{mvar|i}}）が存在することによる。

=== 代数的閉体 ===
{{main|代数学の基本定理|代数的閉体}}
代数学の基本定理より、複素数を係数とする[[代数方程式]]の解は存在しまた複素数になる。つまり、
:<math>a_n z^n + \cdots + a_1 z + a_0 \quad ( \, a_r \in \mathbb{C} , \ a_n \neq 0 \, )</math>
は、少なくとも一つの複素根 {{mvar|z}} を持つ。

上記の多項式の複素根の一つを {{math|''α''{{sub|1}}}} とし、[[因数定理]]を帰納的に用いると、上記の多項式は
:<math>\textstyle \sum\limits_{r=0}^n a_r z^r = a_n \prod\limits_{k=1}^n (z- \alpha_k ) \quad ( \, \alpha_k \in \mathbb{C} \, )</math>
と複素数の範囲で[[因数分解]]される。これは、複素数が代数方程式による数の拡張の最大であることを意味している。つまり、{{mathbf|C}} は[[代数的閉体]]である。

代数学の基本定理の証明にはさまざまな方法がある。例えば[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]などを用いる解析的な方法や、[[回転数 (数学)|巻き数]]などを使う[[位相幾何学|位相的]]な証明、あるいは奇数次の実係数多項式が少なくとも一つの実根を持つ事実に[[ガロア理論]]を組み合わせた証明などがある。

この事実により、「任意の代数的閉体に対して成り立つ定理」を {{mathbf|C}} にも適用できる。例えば、任意の空でない複素[[正方行列]]は少なくとも一つの複素[[固有値]]を持つ。

=== 代数的特徴付け ===
体 {{mathbf|C}} は以下の三つの性質：
* [[標数]]は {{math|0}} である。これは {{math|1}} を何回足しても {{math2|1 + 1 + … + 1 ≠ 0}} となるという意味である。
* {{mathbf|C}} の[[素体 (数学)|素体]] {{mathbf|Q}} 上の[[超越次数]]は[[連続体濃度]]に等しい。
* [[代数的閉体]]である。（[[#代数的閉体]]を参照）
を満足する。この三つの性質を持つ任意の体は、体として {{mathbf|C}} に同型であることが示せる。例えば [[p進数|{{math|'''Q'''{{sub|''p''}}}}]] の[[代数的閉包]]はこれら三つを満たすので、{{mathbf|C}} に同型となる。この代数的な {{mathbf|C}} の特徴付けの帰結として、{{mathbf|C}} は自身に同型な真の部分体を無数に含むことが分かる。

また {{mathbf|C}} は複素{{仮リンク|ピュイズー級数|en|Puiseux series}}体に同型である（が、その同型を決めるには[[選択公理]]が必要となる）。

=== 位相体としての特徴付け ===
{{mathbf|C}} には代数的側面のみならず、[[近傍 (位相空間論)|近傍]]や[[連続写像|連続性]]などの[[解析学]]や[[位相空間論]]の分野で考慮の対象となる性質も備わっている。そのような位相的性質に関して {{mathbf|C}} は、適当な意味で収束の概念を考えることのできる[[位相体]]を成すことに注意しよう。

{{mathbf|C}} は以下の三条件を満たす部分集合 {{mvar|P}} を持つ。
* {{mvar|P}} は加法、乗法および[[逆元]]を取ることについて閉じている。
* {{mvar|P}} の異なる元 {{math2|''x'', ''y''}} に対して、{{math|''x'' &minus; ''y''}} または {{math|''y'' &minus; ''x''}} のうちの何れか一方のみが {{mvar|P}} に属する。
* {{mvar|S}} が {{mvar|P}} の空でない部分集合ならば、適当な {{math2|''x'' ∈ '''C'''}} に対して {{math2|''S'' + ''P'' {{=}} ''x'' + ''P''}} が成り立つ。
この {{mvar|P}} はつまり正の実数全体の成す集合である。さらに言えば、{{mathbf|C}} は非自明な[[対合]]的{{仮リンク|反自己同型|en|antiautomorphism}}として複素共軛変換 {{math2|''x'' ↦ ''x''*}} を持ち、任意の非零複素数 {{mvar|x}} に対して {{math2|''xx''* ∈ ''P''}} が成り立つ。

これらの性質を満たす任意の体 {{mvar|F}} には、任意の {{math2|''x'' ∈ ''F'', ''p'' ∈ ''P''}} に対する集合 {{math2|''B''(''x'', ''p'') {{=}} {{mset| ''y'' | ''p'' &minus; (''y'' &minus; ''x'')(''y'' &minus; ''x'')* ∈ ''P''}}}} を開基とすることによって、位相を入れることができ、この位相に関して {{mvar|F}} は {{mathbf|C}} に'''位相体として'''同型になる。

これとは別の位相的な特徴付けに、[[連結空間|連結]]な[[局所コンパクト空間|局所コンパクト]][[位相体]]は {{mathbf|R}} および {{mathbf|C}} に限ることが利用できる。実際このとき、非零複素数の全体 {{math|'''C''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は連結だが、非零実数の全体 {{math|'''R''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は連結でないという事実を併せれば、{{mathbf|R}} と峻別することができる。

=== 乗法群の構造 ===
非零複素数の全体 {{math2|'''C'''* {{=}} '''C''' {{setminus}} {{mset|0}}}} は、複素数体 {{mathbf|C}} の[[乗法群]] {{math|'''C'''{{sup|×}}}} であり、{{mathbf|C}} における[[距離空間]]としての[[相対位相|部分位相空間]]と見て、[[位相群]]を成す。また、絶対値 {{math|1}} の複素数全体の成す群（[[円周群]]）{{mathbf|U}} はその部分位相群であり、写像
:<math>\mathbb{R/Z} \to \mathbb{U};\; x + \mathbb{Z} \mapsto e^{2\pi ix}</math>
および写像
:<math>\mathbb{C}^* \to \mathbb{R}_+^* \times \mathbb{U};\; re^{i\theta} \mapsto (r,e^{i\theta})</math>
は位相群としての[[同型写像|同型]]である。ここに、{{math|'''R'''/'''Z'''}} は[[商群|商]]位相群、{{math|'''R'''{{subsup|2=+|3=&lowast;}}}} は正の実数の全体が乗法についてなす群であり、{{math|×}} は位相[[群の直積]]を表す。

== 形式的構成 ==
=== 実数の対として ===
{{main|ケーリー＝ディクソンの構成法}}
1835年に[[ウィリアム・ローワン・ハミルトン|ハミルトン]]によって、負の数の平方根を用いない複素数の定義が与えられた。

実数の[[直積集合|順序対]] {{math|(''a'', ''b'')}} および {{math|(''c'', ''d'')}} に対して和と積を
:{{math2|1=(''a'', ''b'') + (''c'', ''d'') = (''a'' + ''c'', ''b'' + ''d'')}}
:{{math2|1=(''a'', ''b'') × (''c'', ''d'') = (''ac'' &minus; ''bd'', ''ad'' + ''bc'')}}
により定めるとき、{{math|(''a'', ''b'')}} を'''複素数'''という。実数 {{mvar|a}} は {{math|(''a'', 0)}} で表され、虚数単位 {{mvar|i}} は {{math|(0, 1)}} に当たる。このとき、{{math|'''R'''{{sup|2}}}} は {{math|+, ×}} に関して[[可換体|体]]となり、[[加法単位元|零元]]は {{math|(0, 0)}}、[[単位元]]は {{math|(1, 0)}} である<ref>高木『解析概論』付録I, §10.</ref>。

ハミルトンの代数的な見方に対するこだわりは、複素数をさらに拡張した[[四元数]]の発見へと結び付いた。

=== 剰余環としての構成 ===
{{main|剰余環|体の拡大}}
{{See also|根体|分解体}}
複素数体 {{mathbf|C}} の代数的な構造は、体および多項式の概念により、自然に構成することができる。

[[可換体|体]]とは、四則演算ができてよく知られた計算法則を満たすものである（例えば[[有理数]]体など）。実数全体の成す集合 {{mathbf|R}} は体である。また、係数体が {{mathbf|R}} の多項式全体の成す集合 {{math|'''R'''[''X'']}} は、通常の加法、乗法に関して[[環 (数学)|環]]を成す（[[多項式環]]と呼ばれる）ことに注意する。

[[剰余環]] {{math|'''R'''[''X'']/(''X''{{sup|2}} + 1)}} は、{{mathbf|R}} を含む体であることは示すことができる。この拡大体において、{{math2|''X'', &minus;''X''}}（の属する剰余類）は {{math|&minus;1}} の平方根である。この剰余環の任意の元は、多項式の[[除法の原理]]より、{{math|''a'' + ''bX''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は実数）の形の多項式を代表元に一意に持つ。ゆえに、{{math|'''R'''[''X'']/(''X''{{sup|2}} + 1)}} は {{mathbf|R}} 上の2次元[[ベクトル空間]]であり、{{math|(1, ''X'')}}（が属する剰余類）はその[[基底 (線型代数学)|基底]]である。

{{math|'''R'''[''X'']/(''X''{{sup|2}} + 1)}} の元（剰余類）{{math|''a'' + ''bX''}}（{{math2|''a'', ''b''}} は実数）を、実数の順序対 {{math|(''a'', ''b'')}} に対応させると、[[#実数の対として|前節]]で述べた体が得られる。この2つの体は体[[同型写像|同型]]である。

=== 行列表現 ===
{{See also|実二次正方行列}}
複素数 {{math2|''α'' {{=}} ''a'' + ''bi''}} を、{{mathbf|C}} 上の（左からの）[[作用 (数学)|作用]]と見ると、それに対応する {{math|'''R'''{{sup|2}}}} 上での一次変換の[[線型写像#行列表現|表現行列]]を考えることができる。

対応
:<math>a+bi \leftrightarrow \begin{pmatrix}
a &-b \\
b &a
\end{pmatrix} \quad (a,b \in \mathbb{R})</math>
により、複素数は[[実二次正方行列]]で表現することができる。特に、実数単位 {{math|1}}, [[虚数単位]] {{mvar|i}} は
:<math>1\leftrightarrow \begin{pmatrix}
1 &0 \\
0 &1
\end{pmatrix} ,\quad i\leftrightarrow \begin{pmatrix}
0 &-1 \\
1 &0
\end{pmatrix}</math>
である。この対応により、複素数の加法および乗法は、この対応によって通常の{{仮リンク|行列の和|en|matrix addition}}および[[行列の乗法]]に対応する。[[複素共役]]は[[転置行列]]に対応している。

[[#極刑式|極形式]]表示を {{math2|''a'' + ''bi'' {{=}} ''r''(cos ''θ'' + ''i''&thinsp;sin ''θ'')}} とすると、
:<math>\begin{pmatrix}
a &-b \\
b &a
\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}
r\cos \theta &-r\sin \theta \\
r\sin \theta &r\cos \theta
\end{pmatrix} =r \,\begin{pmatrix}
\cos \theta &-\sin \theta \\
\sin \theta &\cos \theta
\end{pmatrix}</math>
は角度 {{mvar|θ}} の[[回転行列]]のスカラー {{mvar|r}} 倍であり、これは複素数の積が {{math|'''R'''{{sup|2}}}} 上で原点を中心とする{{仮リンク|相似拡大|en|Homothetic transformation}}と[[回転 (数学)|回転]]の合成を引き起こすことに対応する。

複素数 {{math|''z'' {{=}} ''a'' + ''bi''}} の表現行列を {{mvar|A}} とすると、{{mvar|A}} の[[行列式]]
:{{math2|1=det ''A'' = ''a''{{sup|2}} + ''b''{{sup|2}} = {{abs|''z''}}{{sup|2}}}}
は対応する[[複素数の絶対値]]の平方である。

複素数のこの行列表現はよく用いられる標準的なものだが、虚数単位 {{mvar|i}} に対応する行列 <math>( \begin{smallmatrix}
0 &-1 \\
1 &0
\end{smallmatrix})</math> を例えば <math>( \begin{smallmatrix}
1  &1  \\
-2 &-1
\end{smallmatrix})</math> に置き換えても、平方が[[単位行列]]の {{math|&minus;1}} 倍であり、複素数の別の行列表現が無数に考えられる（[[#複素数の拡張|後述]]、また[[実二次正方行列]]の項も参照）。

== 複素函数 ==
[[画像:Sin1perz.png|270px|thumb|{{math|sin {{sfrac|1|''z''}}}} の[[定義域の着色|色相環グラフ]]。内側の黒の部分は、とる値の絶対値が大きいことを表す。{{math|sin {{sfrac|1|''z''}}}} における {{math2|''z'' {{=}} 0}} は[[真性特異点]]である。]]
{{main|複素解析}}
複素変数の函数の研究は複素解析と呼ばれ、純粋数学の多くの分野のみならず[[応用数学]]においても広汎な応用がもたれる。[[実解析]]や[[数論]]等における命題の最も自然な証明が、複素解析の手法によって為されることもしばしば起こる（例えば[[素数定理]]。あるいは[[代数学の基本定理]]の[[ルーシェの定理]]による証明）。実函数が一般に実二次元のグラフとして視覚的に理解することができたのとは異なり、複素函数のグラフは実四次元となるから、その視覚化に際しては二次元や{{仮リンク|三次元グラフ|en|three-dimensional graph}}に色相（もしくは明度や彩度、輝度）による次元を加えたり、あるいは複素函数の引き起こす複素数平面の動的な変換をアニメーションで表したりすることが有効になる。

実解析における[[収束級数]]や[[連続写像|連続性]]などの概念は、いわゆる[[イプシロン-デルタ論法|{{mvar|ε}}-{{mvar|δ}}論法]]において実数の絶対値を用いたところを複素数の絶対値で置き換えることにより、複素解析においても自然に考えられる。例えば、複素数列が収束するための必要十分条件は、その実部および虚部の成す実数列がともに収束することである。もう少し抽象的な観点では、{{mathbf|C}} は[[距離函数]]
:<math>d(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|\quad (z_1,z_2\in \mathbb{C})</math>
を備える[[完備距離空間]]で、特に[[三角不等式]]
:<math>|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|</math>
が成立する。実解析と同様に、収束の概念はいくらかの[[初等関数]]の構成において用いられる。

=== 指数・対数 ===
==== 複素指数函数 ====
[[複素指数函数]] {{math|exp ''z''}} あるいは {{mvar|e{{sup|z}}}} は[[級数]]
:<math>\exp z:= \textstyle\sum\limits_{n=0}^{\infty} \displaystyle \frac{z^n}{n!} = 1 + z + \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{6} + \cdots</math>
で定義される。この級数の[[収束半径]]は {{math|∞}} であるから、複素指数函数は {{mathbf|C}} 上[[正則関数]]（[[整関数]]）である。

任意の実数 {{mvar|φ}} に対して次の等式が成り立つ：
:<math>\exp i\varphi = \cos \varphi + i\sin \varphi</math>（[[オイラーの公式]]）

一般の複素変数 {{mvar|z}} に拡張した余弦函数 {{math|cos ''z''}}, 正弦函数 {{math|sin ''z''}} は次の式で定義できる：
:<math>\begin{align}
\cos z &= \frac{e^{iz} + e^{-iz}}{2} \\
\sin z &= \frac{e^{iz} - e^{-iz}}{2i}
\end{align}</math>
余弦函数、正弦函数は整関数である。整関数であるような拡張の仕方は、[[一致の定理]]より一意である。

{{math|cosh}}, {{math|sinh}} などの[[双曲線関数]]も、同様に複素指数函数により定義できる。

==== 複素対数函数 ====
{{main|複素対数函数}}
実函数の場合と異なり、複素数 {{mvar|z}} に関する方程式
:<math>\exp z = w</math>
は任意の非零複素数 {{mvar|w}} に対して無限個の複素数解を持つ。そのような解 {{mvar|z}}、すなわち {{mvar|w}} の[[複素対数函数]] {{math|log ''w''}} は
:<math>\log w = \ln|w| + i\arg w</math>
と表すことができる。ただし、{{math|ln}} は実函数としての[[自然対数]]で、{{math|arg}} は[[#偏角|上述]]の[[複素数の偏角|偏角]]である。この値は、偏角のときと同様に {{math|2''π''}} の整数倍の差を除いて一意であるから、複素対数函数もまた[[多価関数]]の[[主値]]としては、虚部 {{math|arg ''w''}} を[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} にすることが多い。

==== 複素数の複素数乗 ====
複素数の複素数乗 {{mvar|z{{sup|ω}}}} は
:<math>z^\omega = \exp(\omega \log z)</math>
として定義される。対数函数は多価であったから、その結果として複素数の複素数乗も一般には多価になる。特に {{math2|''ω'' {{=}} {{sfrac|1|''n''}}}}（{{mvar|n}} は自然数）の形のときは、複素数 {{mvar|z}} の {{mvar|n}}乗根 {{math|{{radic|''z''|''n''}}}} を表し、値は一意に定まらない。

対数函数の適当な枝をとって一価函数として扱うとき、実数の実数乗に対して成立していた指数法則や対数法則は、複素数の複素数乗では一般に成り立たない。例えば、
:<math>a^{bc} = (a^b)^c</math>
は {{math2|''a'', ''b'', ''c''}} が複素数である場合には一般には成立しない。この式の両辺を今述べたような多価の値を持つものと見なす場合、左辺の値の全体は右辺の値の全体の成す集合の部分集合になっていることに注意する。

=== 正則函数 ===
{{main|正則関数}}
{{mvar|D}} を複素数平面 {{mathbf|C}} の[[領域 (解析学)|領域]]とする。

複素函数 {{math2|''f'' : ''D'' → '''C'''}} が[[正則関数|正則]]であるとは、定義域 {{mvar|D}} の各点で[[複素微分]]可能であることである。実部と虚部に分けて考えると、{{mvar|f}} が正則である必要十分条件は、{{math|Re ''f''}}, {{math|Im ''f''}} が微分可能で、[[コーシー・リーマンの方程式]]を満たすことである。例えば、複素函数
:<math>f(z)=\overline{z}</math>
や
:<math>f(z)=|z|</math>
は正則でない。これらはコーシー・リーマンの方程式を満たさず複素微分可能でない。

複素解析には実解析に無いいくつかの特徴がある。

正則函数は[[解析関数]]である（[[正則関数の解析性]]）。したがって、正則函数は何回でも微分可能である。

2つの正則函数 {{math2|''f'', ''g''}} が {{mvar|D}} のある小さな、[[正則]][[曲線]]上で一致するならば、それらは全体でも一致する（[[一致の定理]]、[[解析接続]]）。

[[有理型関数]]は、局所的には正則函数 {{mvar|f}} を用いて {{math2|''f''(''z'')/(''z'' &minus; ''z''{{sub|0}}){{sup|''n''}}}} で近似でき、正則函数といくつかの特徴が共通する。有理型でない函数は[[真性特異点]]をもつ（例えば{{math|sin {{sfrac|1|''z''}}}} は {{math2|''z'' {{=}} 0}} で真性特異点を持つ）。

== 歴史 ==
負の数の平方根について、いささかなりとも言及している最も古い文献は、数学者で発明家の[[アレクサンドリアのヘロン]]による『測量術』(''{{Lang|en|Stereometrica}}'') である。そこで彼は、現実には不可能なピラミッドの錐台について考察しているものの、計算を誤り、不可能であることを見逃している。

16世紀にイタリアの数学者[[ジェロラモ・カルダーノ|カルダーノ]]や[[ラファエル・ボンベリ|ボンベリ]]によって[[三次方程式]]の解の公式が考察され、特に相異なる 3 個の実数解を持つ場合に解の公式を用いると、負の数の平方根を取ることが必要になることが分かった。当時は、まだ、負の数でさえあまり認められておらず、回避しようと努力したが、それは不可能なことであった。

17世紀になり[[ルネ・デカルト]]によって、'''虚''' ({{Lang|en|imaginary}}) という言葉が用いられ、虚数と呼ばれるようになった。デカルトは作図の不可能性と結び付けて論じ、虚数に対して否定的な見方を強くさせた。

その後、[[ジョン・ウォリス|ウォリス]]により幾何学的な解釈が試みられ、[[ヨハン・ベルヌーイ]]や[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール|ダランベール]]らにより、虚数を用いた[[解析学]]、[[物理学]]に関する研究が多くなされた。

[[複素平面]]が世に出たのは、1797年に[[ノルウェー]]の数学者{{ill2|カスパー・ベッセル|en|Caspar Wessel}} (Caspar Wessel) によって提出された論文が最初とされている。しかしこの論文はデンマーク語で書かれ、デンマーク以外では読まれずに1895年に発見されるまで日の目を見ることはなかった。1806年に{{ill2|ジャン＝ロベール・アルガン|en|Jean-Robert Argand}} (Jean-Robert Argand) によって出版された複素平面に関するパンフレットは、[[アドリアン＝マリ・ルジャンドル|ルジャンドル]]を通して広まったものの、その後、特に進展は無く忘れられていった。

1814年に[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー|コーシー]]が[[複素解析]]を始め、複素数を[[変数 (数学)|変数]]に取る[[解析関数]]や[[複素線積分]]が論じられるようになった<ref name="takagi1996.pp=88-94">{{Harvtxt|高木|1996|loc=14. 函数論縁起}}</ref>。

1831年に、機は熟したと見た[[カール・フリードリヒ・ガウス|ガウス]]が、複素平面を論じ、複素平面はガウス平面として知られるようになった<ref name="takagi1996.pp=94f">{{Harvtxt|高木|1996|pp=94f.}}</ref>。ここに、虚数に対する否定的な視点は完全に取り除かれ、複素数が受け入れられていくようになる。実は、ガウスはベッセル（1797年）より前の1796年以前にすでに複素平面の考えに到達していた。1799年に提出されたガウスの学位論文は、今日、[[代数学の基本定理]]と呼ばれる定理の証明であり<ref name="takagi1965.pp=48-52">{{Harvtxt|高木|1965|loc=§9. 代数学の基本定理}}</ref>、複素数の重要な特徴付けを行うものだが、複素数の概念を表に出さずに巧妙に隠して論じている<ref name="takagi1996.pp=94f"/>。

== 他分野における複素数の利用 ==
複素数 {{mvar|A}} と実数 {{mvar|ω}} により定まる、一変数 {{mvar|t}} の関数 {{mvar|Ae{{sup|iωt}}}} は時間 {{mvar|t}} に対して周期的に変化する量を表していると見なすことができる。周期的に変化し、ある種の微分方程式を満たすような量を示すこのような表示は[[フェーザ表示]]と呼ばれ、[[電気工学|電気]]・[[電子工学]]における回路解析や、[[機械工学]]・[[ロボット工学]]における[[制御理論]]、土木・建築系における[[振動解析]]で用いられている<ref>なお[[電気電子工学]]分野では虚数単位は「{{mvar|j}}」を用いることが多い（電流（の密度）「{{mvar|i}}」と混同を避けるため）。</ref>。

===物理学===
物理における振動や波動など、互いに関係の深い2つの実数の物理量を複素数の形に組み合わせて表現すると便利な場面が多いため、よく用いられる。

[[量子力学]]では複素数が本質的である（[[量子力学の数学的定式化|数学的定式化]]に用いられる）。物体の位置と[[運動量]]とは[[フーリエ変換]]を介して同等の扱いがなされ、波動関数たちのなす複素[[ヒルベルト空間]]とその上の[[作用素 (関数解析学)|作用素]]たちが理論の枠組みを与える。

== 複素数の拡張 ==
{{main|多元数}}
複素数とは[[実数]]体上の、実数単位 {{math|[[1]]}}, [[虚数単位]] {{mvar|i}} の[[線型結合]]であるが、これに新たな単位を有限個加えて[[可換体]]（通常の四則演算ができる数の体系）を作ることはできない<ref name="shiga">{{Harvtxt|志賀|1989|pp=212–214}}</ref><ref name="takagi1996.pp=102-116">{{Harvtxt|高木|1996|pp=102–116}}</ref>。実数体 {{mathbf|R}} から拡張して {{mathbf|C}} を得る過程は[[ケーリー＝ディクソンの構成法]]と呼ばれる。この過程を推し進めると、より高次元の[[四元数]]体 {{mathbf|H}}, [[八元数]]体 {{mathbf|O}} が得られる。これらの、実数体上の線形空間としての次元はそれぞれ {{math2|4, 8}} である。この文脈において複素数は「二元数」(''binarions'') とも呼ばれる<ref>Kevin McCrimmon (2004) ''A Taste of Jordan Algebras'', p.64, Universitext, Springer ISBN 0-387-95447-3 {{mr|id=2014924}}</ref>。

注意すべき点として、実数体にケーリー＝ディクソンの構成を施したことにより、[[順序体|順序]]に関する性質が失われていることである。より高次元へ進めば実数や複素数に関してよく知られた性質が失われていくことになる。四元数は唯一の[[斜体 (数学)|非可換体]]であり<ref name="shiga"/><ref name="takagi1996.pp=102-116"/>（つまり、ある二つの四元数 {{math2|''x'', ''y''}} に対して {{math|''x''·''y'' ≠ ''y''·''x''}} となる）、八元数では（非可換なばかりでなく）乗法に関する[[結合法則]]も失われる（つまり、ある八元数 {{math2|''x'', ''y'', ''z''}} に対して {{math|(''x''&sdot;''y'')&sdot;''z'' ≠ ''x''&sdot;(''y''&sdot;''z'')}} となる）。一般に、実数体 {{mathbf|R}} 上の[[ノルム多元体]]は、[[同型写像|同型]]による違いを除いて、実数体 {{mathbf|R}}, 複素数体 {{mathbf|C}}, 四元数体 {{mathbf|H}}, 八元数体 {{mathbf|O}} の4種類しかない（{{仮リンク|フルヴィッツの定理 (代数学)|label=フルヴィッツの定理|en|Hurwitz's theorem (composition algebras)}}）<ref>{{Harvtxt|エビングハウスほか|2012}}</ref>。ケーリー＝ディクソン構成の次の段階で得られる[[十六元数]]環ではこの構造は無くなってしまう。

ケーリー＝ディクソン構成は、{{mathbf|C}}（を {{mathbf|R}}-[[環上の多元環|線型環]]、つまり乗法を持つ {{mathbf|R}}-線型空間と見て）の[[正則表現 (数学)|正則表現]]と近しい関係にある。すなわち、複素数 {{mvar|w}} に対して、{{mathbf|R}}-[[線型写像]] {{mvar|f{{sub|w}}}} を
:<math>f_w : \mathbb{C} \to \mathbb{C};\; z \mapsto wz</math>
とすると、{{mvar|f{{sub|w}}}} の（順序付き）[[基底 (線型代数学)|基底]] {{math|(1, ''i'')}} に関する表現[[行列 (数学)|行列]]は、[[実二次正方行列]]
:<math>\begin{pmatrix}
\operatorname{Re}(w) &-\operatorname{Im}(w) \\
\operatorname{Im}(w) &\quad \operatorname{Re}(w)
\end{pmatrix}</math>
である（つまり、[[#行列表現]]で述べた行列に他ならない）。これは {{mathbf|C}} の標準的な[[表現論|線型表現]]だが、唯一の表現ではない。実際、
:<math>J = \begin{pmatrix}
p &q \\
r &-p
\end{pmatrix}, \quad (p^2 + qr + 1 = 0)</math>
なる形の任意の行列はその平方が[[単位行列]]の {{math|&minus;1}} 倍、すなわち {{math|''J''{{sup|2}} {{=}} &minus;''I''}} を満たすから、行列の集合
:<math>\{ z=aI+bJ : a,b \in \mathbb{R} \}</math>
もまた {{mathbf|C}} に同型となり、{{math|'''R'''{{sup|2}}}} 上に別の複素構造を与える。これは{{仮リンク|線型複素構造|en|linear complex structure}}の概念によって一般化することができる。

[[多元数]]は {{math2|'''R''', '''C''', '''H''', '''O'''}} もさらに一般化するもので、例えば[[分解型複素数]]環は剰余環 {{math|'''R'''[''x'']/(''x''{{sup|2}} &minus; 1)}} である（複素数は剰余環 {{math|'''R'''[''x'']/(''x''{{sup|2}} + 1)}} であった）。この環において方程式 {{math|''a''{{sup|2}} {{=}} 1}} は4つの解を持つ。

実数体 {{mathbf|R}} は[[有理数]]体 {{mathbf|Q}} の通常の[[絶対値]]による[[距離函数|距離]]に関する完備化である。{{mathbf|Q}} 上の別の距離函数をとれば、任意の[[素数]] {{mvar|p}} に対して [[p進数|{{mvar|p}}進数]]体 {{math|'''Q'''{{sub|''p''}}}} が導かれる（つまりこれは実数体 {{mathbf|R}} の類似対応物である）。[[オストロフスキーの定理]]によれば、この {{mathbf|R}} と {{math|'''Q'''{{sub|''p''}}}} 以外に {{mathbf|Q}} の非自明な完備化は存在しない。{{math|'''Q'''{{sub|''p''}}}} の[[代数的閉包]] {{math|{{overline|'''Q'''}}{{sub|''p''}}}} にもノルムは伸びるが、{{mathbf|C}} の場合と異なり、そのノルムに関して {{math|{{overline|'''Q'''}}{{sub|''p''}}}} は完備にならない。{{math|{{overline|'''Q'''}}{{sub|''p''}}}} の完備化 {{math|'''C'''{{sub|''p''}}}} は再び[[代数的閉体]]であり、{{mathbf|C}} の類似対応物として {{mvar|p}}-進複素数体と呼ぶ。

体 {{mathbf|R}}, {{math|'''Q'''{{sub|''p''}}}} およびそれらの有限次拡大体は、すべて[[局所体]]である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist}}

=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book|和書|author=H.D.エビングハウス ほか|title=数|volume=下|translator=成木勇夫|publisher=[[丸善雄松堂|丸善出版]]|series=[[シュプリンガー・サイエンス・アンド・ビジネス・メディア|シュプリンガー]]数学リーディングス 7|date=2012-09|edition=新装版|isbn=978-4-621-06387-3|ref={{Harvid|エビングハウスほか|2012}}}}
*{{Cite book|和書|author=表実|title=複素関数|series=理工系の数学入門コース 5|publisher=[[岩波書店]]|date=1988-12-08|isbn=4-00-007775-9|ref={{Harvid|表|1988}}}}
*{{Cite book|和書|author=志賀浩二|authorlink=志賀浩二|title=複素数30講|publisher=[[朝倉書店]]|date=1989-04-10|isbn=978-4-254-11481-2|ref={{Harvid|志賀|1989}}}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|authorlink=高木貞治|title=代数学講義|publisher=[[共立出版]]|date=1965-11-25|edition=改訂新版|isbn=978-4-320-01000-0|ref={{Harvid|高木|1965}}}}
*{{Cite book|和書|author=高木貞治|title=復刻版 近世数学史談・数学雑談|publisher=共立出版|date=1996-12-10|isbn=978-4-320-01551-7|ref={{Harvid|高木|1996}}}}
*{{Cite book|和書|author1=木村俊房|authorlink1=木村俊房|author2=高野恭一|title=関数論|publisher=朝倉書店|series=新数学講座|date=1991-07-01|isbn=978-4-254-11437-9}}

== 関連項目 ==
<!--項目の50音順-->
{{Div col}}
*[[オイラーの等式]]
*[[虚数単位]]
*[[四元数]]
*[[実数]]
*[[等角写像]]
*[[ド・モアブルの定理]]
*[[二重数]]
*[[フェーザ表示]]
*[[複素解析]]
*[[複素数の絶対値]]
*[[複素数の偏角]]
*[[複素平面]]
*[[分解型複素数]]
*[[平方根]]
*[[マンデルブロ集合]]
*[[メビウス変換]]（[[一次分数変換]]）
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== 外部リンク ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
*{{Kotobank|複素数}}
*{{MathWorld|title=Complex Number|urlname=ComplexNumber}}

{{数の体系}}<!--
{{複素数}}-->
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふくそすう}}<!--カテゴリの50音順-->
[[Category:初等数学]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:複素数|*]]