複素数の偏角のソースを表示

[[画像:Complex number illustration modarg.svg|thumb|[[複素数平面]]での複素数の絶対値 {{mvar|r}}, 偏角 {{mvar|φ}}。]]
[[数学]]において、[[複素数]]の'''偏角'''（へんかく、{{lang-en-short|argument of complex}}）とは、[[複素数平面]]上で複素数が表す点の[[半径|動径]]が表す[[一般角]]のことである。複素数 {{mvar|z}} の偏角は記号で {{math|arg ''z''}} で表す。偏角は[[ラジアン]]で表す。

複素数を極形式表示することで、[[複素数の絶対値|絶対値]]と偏角が得られる。これにより、複素数の乗除が簡明に行うことができる。

複素数に対する偏角は、{{math|2''π''}} の任意の整数倍を足す分だけ表し方がある。つまり、[[多価関数]]である。そこで表示を一意にするには、'''[[主値]]'''を決め、[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} などに制限する。

{{math|2''π''}} の任意の整数倍の差を除いて次の等式が成り立つ：
:{{math|1=arg ''zw'' ≡ arg ''z'' + arg ''w''}}
:{{math|1=arg {{sfrac|''z''|''w''}} ≡ arg ''z'' &minus; arg ''w''}}
:(何れも {{math|mod 2''π''}})

== 定義 ==
[[画像:Complex number illustration multiarg.svg|thumb|偏角 {{mvar|φ}} の2つの選び方]]
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}} の'''偏角'''は、{{math|arg ''z''}} と書かれ、正の[[実数|実]][[デカルト座標系|軸]]から動径 {{math|O''z''}} までの角度を反時計回りに測った角度である。[[ラジアン|弧度法]]で表示する。時計回りに測ると負になる。

複素数に対する偏角の表示を一意にするために、'''[[主値]]'''を[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} に制限する。{{math|[0, 2''π'')}} にすることもある。

主値を {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} にすると、[[逆三角関数|逆正接関数]] {{math|tan{{sup|&minus;1}}}} を用いて次のように表せる：
:<math>\arg z = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x < 0 \,\land\, y \geqq 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} - \pi & (x < 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}</math>

上記の式には条件分岐が多数あるが、[[符号関数]] {{math|sgn}} や[[ヘヴィサイドの階段関数]] {{math|''H''(''x'')}} を用いることで次のようにまとめることもできる：
:<math>\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0) \\[0.1em]
(\operatorname{sgn} y)\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}</math>

{{math|0 &times; (0}} 除算を含む式{{math|) {{=}} 0}} と形式的に考えることで、更にまとめることもできる：
:<math>\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \dfrac{1 - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
|\operatorname{sgn} x| \tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \{ 1 - H_{1/2}(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}</math>

あるいは、[[逆三角関数|逆余弦関数]] {{math|cos{{sup|&minus;1}}}} や[[逆三角関数|逆正弦関数]] {{math|sin{{sup|&minus;1}}}} を用いて次のように表すこともできる：
:<math>\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\cos^{-1} \dfrac{x}{|z|} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(y) - 1 \}\cos^{-1} \dfrac{x}{|z|} & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}</math>

:<math>\begin{align}
\arg z &= \begin{cases}
( 1 + \operatorname{sgn} x - |\operatorname{sgn} x| )\sin^{-1} \dfrac{y}{|z|} + \dfrac{|\operatorname{sgn} x| - \operatorname{sgn} x}{2}( 1 + \operatorname{sgn} y - |\operatorname{sgn} y| )\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases} \\
&= \begin{cases}
\{ 2H_1(x) - 1 \}\sin^{-1} \dfrac{y}{|z|} + \{ 1 - H_1(x) \}\{ 2H_1(y) - 1 \}\pi & (x \neq 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}
\end{align}</math>

ここで、{{math|{{abs|''z''}}}} は[[複素数の絶対値]]で、{{math|{{abs|''z''}} {{=}} {{sqrt|''x''{{sup|2}} + ''y''{{sup|2}}}}}} である。

主値を {{math|[0, 2''π'')}} にするには、上記の定義で、負となる偏角の値に対しては {{math|2''π''}} を加えることにすればよい。

偏角を「[[位相]]」<ref name="phase">Dictionary of Mathematics (2002). ''phase''.</ref>、振幅<ref>{{Cite book |author1=Knopp, Konrad |author2=Bagemihl, Frederick |authorlink1=Konrad Knopp |title=Theory of Functions Parts I and II |year=1996 |publisher=Dover Publications |isbn=0-486-69219-1 |page=3}}</ref>と呼んだりすることもある。

=== 基本的な性質 ===
* <math>|z|\cos(\arg z) = \operatorname{Re} z</math>
* <math>|z|\sin(\arg z) = \operatorname{Im} z</math>
* <math>\arg \bar{z} = -\arg z</math>
* <math>\arg 0</math> は不定

== 主値をとる偏角 ==
[[画像:Principal value of arg.svg|275px|thumb|{{math|1 + ''i''}}（青点）の主値 {{math|Arg}} は {{math|{{sfrac|''π''|4}}}} である。赤い線は分岐切断である。<!--corresponds to the two red lines in figure 2 seen vertically above each other).-->]]
主値 {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} における偏角の値を、記号で {{math|Arg ''z''}}（最初の文字を大文字）で表すことがある。表記には揺れがあり、{{math|arg}} と {{math|Arg}} が文献によって逆になることもあることに注意。
:<math>\arg z = \{ \operatorname{Arg} z + 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \}</math>
:<math>\operatorname{Arg} z = \{ \arg z - 2\pi n \mid n \in \mathbb{Z} \, \land \, (-\pi < \operatorname{Arg} z \leqq \pi) \}</math>

== 数値計算 ==
複素数 {{math2|''z'' {{=}} ''x'' + ''yi''}} の偏角は[[逆三角関数|逆正接関数]] {{math|arctan {{sfrac|''y''|''x''}}}} で表せる。

{{math|''x'' > 0}} のとき、すなわち {{math2|&minus;{{sfrac|''π''|2}} < Arg ''z'' < {{sfrac|''π''|2}}}} のとき
:{{math|1=Arg ''z'' = tan{{sup|&minus;1}} {{sfrac|''y''|''x''}}}}
が成り立つが、{{math|''x'' > 0}} 以外の場合の偏角を逆正接関数で表すには、場合分けが必要である。{{math|''x'' < 0}} の場合はさらに {{math|''y'' > 0}} と {{math|''y'' < 0}} の場合に分ける。
:<math>\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} & (x > 0) \\[0.2em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} + \pi & (x < 0 \,\land\, y \geqq 0) \\[0.1em]
\tan^{-1} \dfrac{y}{x} - \pi & (x < 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} & (x = 0 \,\land\, y < 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}</math>
上半平面、下半平面ごとに表示することもできる：
:<math>\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y > 0) \\[0.1em]
-\dfrac{\pi}{2} - \tan^{-1} \dfrac{x}{y} & (y < 0) \\[0.1em]
0 & (x > 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}</math>
{{math|Arg}} の主値を区間 {{math|[0, 2''π'')}} とする変種では、値が負のときに値に {{math|2''π''}} を足すことで得られる。

[[三角関数の公式の一覧#倍角・三倍角・半角の公式|正接の半角公式]] {{math|tan {{sfrac|''θ''|2}} {{=}} {{sfrac|sin ''θ''|1 + cos ''θ''}}}} を用いると、1つの計算式で表せる：
:<math>\operatorname{Arg}(x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x} & (x > 0 \,\lor\, y \neq 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}</math>
ただし、この表示は、計算の精度が上記より下がる。

この表示は、{{math2|''x'' < 0, ''y'' {{=}} 0}} の近くでは 不定形 {{math|{{sfrac|0|0}}}} に近づき、[[浮動小数点数|浮動小数点]]の計算において、計算が不安定となり、[[算術オーバーフロー|オーバーフロー]]する可能性がある。この範囲でのオーバーフローを避けるには、もう1つの正接の半角公式 {{math|tan {{sfrac|''θ''|2}} {{=}} {{sfrac|1 &minus; cos ''θ''|sin ''θ''}}}} を用いて次の計算式が使われる：
:<math>\operatorname{Arg} (x + iy) = \begin{cases}
2 \tan^{-1} \dfrac{\sqrt{x^2 + y^2} - x}{y} & (y \neq 0) \\[0.1em]
0 & (x > 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\pi & (x < 0 \,\land\, y = 0) \\[0.1em]
\text{indeterminate} & (x = y = 0)
\end{cases}</math>
主値 {{math|Arg}} は、プログラミング言語の数学ライブラリでは関数 <code>[[atan2]]</code> あるいはその変種の言語を用いて多くの通常利用可能である。{{math|atan2(''y'', ''x'')}} の主値は[[区間 (数学)|区間]] {{math|(&minus;''π'', ''π'']}} である。

== 積・商の偏角 ==
2つの複素数の乗除は、極形式表示することにより、簡明に行うことができる。複素数 {{math|''z''{{sub|1}}, ''z''{{sub|2}}}} の極形式表示を
:{{math|1=''z''{{sub|1}} = ''r''{{sub|1}}(cos ''φ''{{sub|1}} + ''i'' sin ''φ''{{sub|1}})}}
:{{math|1=''z''{{sub|2}} = ''r''{{sub|2}}(cos ''φ''{{sub|2}} + ''i'' sin ''φ''{{sub|2}})}}
とすると、
:{{math|arg ''z''{{sub|1}}''z''{{sub|2}} ≡ arg ''z''{{sub|1}} + arg ''z''{{sub|2}}}}
:{{math|arg {{sfrac|''z''{{sub|1}}|''z''{{sub|2}}}} ≡ arg ''z''{{sub|1}} &minus; arg ''z''{{sub|2}}}}
:(何れも {{math|mod 2''π''}})
{{math|''z'' ≠ 0}} で {{mvar|n}} が整数のとき、
:{{math|arg ''z''{{sup|''n''}} ≡ ''n'' arg ''z''}}　{{math|(mod 2''π'')}}
;例
:<math>\begin{align}
\arg (2+i) + \arg (3+i) &= \arg (2+i)(3+i) \\
 &= \arg (5+5i) \\
 &= \dfrac{\pi}{4} \pmod {2\pi} \quad //
\end{align}</math>

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 文献 ==
{{refbegin}}
*{{Cite book|last=Ahlfors|first=Lars|title=Complex Analysis: An Introduction to the Theory of Analytic Functions of One Complex Variable|edition=3rd|location=New York;London|publisher=McGraw-Hill|year=1979|isbn=0-07-000657-1}}
*{{Cite book|last=Ponnuswamy|first=S.|title=Foundations of Complex Analysis|edition=2nd|location=New Delhi;Mumbai|publisher=Narosa|year=2005|isbn=978-81-7319-629-4}}
*{{Cite book|last=Beardon|first=Alan|title=Complex Analysis: The Argument Principle in Analysis and Topology|location=Chichester|publisher=Wiley|year=1979|isbn=0-471-99671-8}}
*{{Cite book|last1=Borowski|first1=Ephraim|last2=Borwein|first2=Jonathan|title=Mathematics|series=Collins Dictionary |year=2002|origyear=1st ed. 1989 as ''Dictionary of Mathematics''|isbn=0-00-710295-X|edition=2nd|publisher=[[HarperCollins]]|location=Glasgow}}
{{refend}}

== 外部リンク ==
*{{MathWorld|title=Complex Argument|urlname=ComplexArgument}}

<!--
{{複素数}}-->
{{DEFAULTSORT:ふくそすうのへんかく}}
[[Category:複素数|へんかく]]
[[Category:三角法]]
[[Category:信号処理]]
[[Category:数学に関する記事]]