複素数空間のソースを表示

[[数学]]における'''複素 {{mvar|n}}-次元（数）空間'''（すうくうかん、{{lang-en-short|complex {{mvar|n}}-space}}）とは、[[複素数]]からなる順序付けられた[[タプル| {{mvar|n}}-組]]全体の成す集合を言い、{{math|'''C'''{{exp|''n''}}}} と書く。これは複素数全体の成す集合 {{math|'''C'''}} の {{mvar|n}}-重[[直積集合|デカルト積]]であり、記号で書けば
: <math>\mathbb{C}^n=\{ (z_1,\ldots,z_n)\mid z_i\in\mathbb{C}\} = \underbrace{\mathbb{C} \times \mathbb{C} \times \dotsb \times \mathbb{C}}_{n}</math>
である。各変数 {{mvar|z{{sub|i}}}} は複素 {{mvar|n}}-次元数空間の（複素）座標あるいは座標成分と呼ばれる。{{mvar|n}}-次元複素座標全体の成す空間という意味で {{mvar|n}}-次元複素座標空間 (''n''-dimensional '''complex coordinate space''') とも呼ぶ。

== 数空間上の構造 ==
複素&shy;数空間は成分ごとの和とスカラー倍により複素数体上の[[数ベクトル空間|ベクトル空間]]となる（各座標成分の実部および虚部を考えれば複素 {{mvar|n}}-次元空間 {{math|'''C'''{{exp|''n''}}}} と[[実数空間|実 {{math|2''n''}}-次元空間]] {{math|'''R'''{{exp|2''n''}}}} との間の全単射を作ることができる）。さらに通常の位相（標準[[ユークリッド位相]]）を入れて、{{math|'''C'''{{exp|''n''}}}} は複素数体上の[[位相線型空間]]を成す。

== 数空間上の函数 ==
複素 {{mvar|n}}-次元空間の開集合上で定義された函数が正則であるとは、それが各座標変数に関してそれぞれ[[正則函数]]となっているときに言う。[[多変数複素函数論]]は {{mvar|n}}-変数の正則函数の研究である。より一般に、複素 {{mvar|n}}-次元座標空間は[[複素多様体]]上の正則座標系に対する[[接空間]]である。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|座標空間|en|Coordinate space}}

== 参考文献 ==
* {{citation | first1= Robert |last1= Gunning | first2= Hugo | last2= Rossi | title= Analytic functions of several complex variables}}

{{DEFAULTSORT:ふくそすうくうかん}}
[[Category:多変数複素函数論]]
[[Category:位相線型空間]]
[[Category:数学に関する記事]]