複素測度のソースを表示

[[数学]]の、特に[[測度論]]の分野における'''複素測度'''（ふくそそくど、{{Lang-en-short|''complex measure''}}）とは、[[複素数|複素数値]]を取ることも許すことで概念として一般化された[[測度]]のことである。すなわち、大きさ（長さ、面積、体積）が複素数であるような集合も、その測度に対して許されている。

== 定義 ==
[[完全加法族|可測空間]] (''X'',&Sigma;) 上の'''複素測度''' &mu; とは、正式には、&Sigma; 上の[[複素数|複素数値]][[関数 (数学)|関数]]

:<math>\mu:\Sigma\to \mathbb{C}</math>

で、[[シグマ加法性|σ-加法的]]であるようなもののことを言う。すなわち、&Sigma; に含まれる任意の[[素集合]]の[[列 (数学)|列]] (''A''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> に対し、

:<math>\mu\left(\bigcup_{n=1}^\infty A_n\right) = \sum_{n=1}^\infty \mu(A_n) </math>

が成り立つ。ただし、実数値符号付測度の場合と同様に、右辺の和は絶対収束するか発散するものとする。

== 複素測度に関する積分 ==
複素数値[[可測関数]]の複素測度に関する'''積分'''は、[[単関数]]を用いた可測関数の近似による実数値関数の[[測度|非負測度]]に関する[[ルベーグ積分]]と同様に定義出来る。通常の積分の場合と同様に、より一般的なこの積分も、存在しないことや、無限大（[[リーマン球面|複素無限]]）の値を取ることもあり得る。

また別の定義の仕方として、すでに利用可能な、非負測度に関する実数値関数の積分の概念を用いる方法がある。複素測度 &mu; の実部 &mu;<sub>1</sub> および虚部 &mu;<sub>2</sub> が有限値[[符号付測度]]であることはすぐに確かめられる。[[ハーンの分解定理|ハーン＝ジョルダン分解]]を用いることで、それらを、

:<math>\mu_1=\mu_1^+-\mu_1^-</math>

および

:<math>\mu_2=\mu_2^+-\mu_2^-</math>

に分けることが出来る。ただし、&mu;<sub>1</sub><sup>+</sup>, &mu;<sub>1</sub><sup>-</sup>, &mu;<sub>2</sub><sup>+</sup>, &mu;<sub>2</sub><sup>-</sup> は有限値非負測度である（また、とある意味において一意である）。すると、モーメントについて実数値である可測関数 ''f'' に対して、次の形で積分を定義することが出来る：

:<math>\int_X \! f \, d\mu = \left(\int_X \! f \, d\mu_1^+ - \int_X \! f \, d\mu_1^-\right) + i \left(\int_X \! f \, d\mu_2^+ - \int_X \! f \, d\mu_2^-\right) </math>

ただし、この右辺が定義できる場合に限る。すなわち、右辺の四つの積分はすべて存在し、それらを加減しても{{仮リンク|不定形|en|indeterminate<!-- 曖昧さ回避ページ -->}} &infin;&minus;&infin; にはならない場合に限る。

与えられた'''複素数値'''可測関数に対し、その実部と虚部を上述のように分けて積分することで、次を得る。

:<math>\int_X \! f \, d\mu = \int_X \! \Re(f) \, d\mu + i \int_X \! \Im(f) \, d\mu.</math>

== 複素測度の変分と極分解 ==

複素測度 &mu; に対し、その'''変分'''（variation）あるいは'''絶対値'''（absolute value） |&mu;| は次の式で定義される：

:<math>|\mu|(A)= \sup\sum_{n=1}^\infty |\mu(A_n)|</math>

ここで ''A'' は &Sigma; に属し、[[順序集合#順序集合の例|上限]]は[[合併 (集合論)|合併]]が ''A'' となるような素集合 (''A''<sub>''n''</sub>)<sub>''n''</sub> の列すべてに対して取られるものとする。集合 ''A'' を有限の回数で可測部分集合へと区分するとき、同値な定義を得ることが出来る。

|&mu;| は非負の有限測度であることが分かる。複素数が[[複素数|極形式]]で表現されるのと同様に、複素測度に対しては'''極分解'''（polar decomposition）が存在する：実数値の可測関数 &theta; で、

:<math>d\mu = e ^{i \theta}d |\mu|\,</math>

を満たすようなものが存在する。ただしこの式は

:<math>\int_X f\, d\mu = \int_X  f e ^{i \theta} \, d |\mu|</math>

が任意の'''絶対可積分'''可測関数 ''f'' に対して成立することを意味する。ここで ''f'' が絶対可積分であるとは

:<math>\int_X |f|\, d|\mu|<\infty. </math>

が成り立つことを言う。[[ラドン＝ニコディムの定理]]を使うことで、この変分が測度であることと、極分解の存在を証明することが出来る。

== 複素測度の空間 ==
二つの複素測度の和はふたたび複素測度であり、複素測度と複素数の積もまた複素測度である。したがって、可測空間 (''X'', &Sigma;) 上のすべての複素測度からなる集合は[[ベクトル空間]]を構成する。さらに、'''{{仮リンク|全変動|en|total variation}}''' ||&mu;|| は

:<math>\|\mu\| = |\mu| (X)\, </math>

によって定義されるので、これを[[ノルム]]とすることで、そのような複素測度の空間は[[バナッハ空間]]となる。

== 関連項目 ==
* [[リースの表現定理]]
* [[符号付測度]]
* [[ベクトル測度]]

== 参考文献 ==
=== 外部リンク ===
* [http://mathworld.wolfram.com/ComplexMeasure.html Complex measure] on [[MathWorld]]

{{DEFAULTSORT:ふくそそくと}}

[[Category:測度論]]
[[Category:数学に関する記事]]