複素解析のソースを表示

{{Wikibooks|複素解析学|複素解析}}[[画像:Color complex plot.jpg|240px|thumb|複素関数''f''(''z'') = (''z''{{sup|2}} &minus; 1)(''z'' &minus; 2 &minus; ''i''){{sup|2}}/(''z''{{sup|2}}+2+2''i'')のグラフ。[[色相]]は[[複素数の偏角|偏角]]を表し、[[明度]]（このグラフでは周期的に変化させている）は[[絶対値]]を表す。]]
[[数学]]の一分野である'''複素解析'''（ふくそかいせき、{{lang-en-short|complex analysis}}）は、[[複素数]]上で定義された[[関数 (数学)|関数]]の[[微分法]]、[[積分法]]、[[変分法]]、[[微分方程式]]論、[[積分方程式]]論などの総称であり<ref name="jimbo">[[神保道夫]]、複素関数入門、[[岩波書店]]</ref>、''複素関数論'' あるいは　'''関数論'''とも呼ばれる<ref>[[木村俊房]], 高野恭一 (1991). 関数論. [[朝倉書店]].</ref><ref>関数論 上・下, [[竹内端三]] & 佐藤正孝、[[裳華房]].</ref><ref>近代関数論、[[能代清]]、[[岩波書店]].</ref>。初等教育以降で扱う[[実解析]]に対比して複素解析というが、現代数学の基礎が[[複素数]]であることから、単に解析といえば複素解析を意味することもある。複素解析の手法は、[[応用数学]]を含む[[数学]]全般、（[[流体力学]]などの）[[理論物理学]]、（[[数値解析]]<ref name="mori">[[森正武]] (1975). 数値解析と複素関数論. [[筑摩書房]].</ref><ref name="peter">Peter Henrici, Applied and Computational Complex Analysis, Volume 1-3, Wiley Classics Library.</ref>や[[回路]]理論<ref>[[大石進一]], 回路理論, コロナ社.</ref>をはじめとした）[[工学]]などの多くの分野で用いられている。

== 歴史 == 
{{See also|複素数|複素平面}}

=== 複素解析の理論に貢献した先人 ===
複素解析は最も古くからある[[数学]]の分野の一つであり、その起源は[[18世紀]]あるいはそれより以前にまでたどることができる。[[レオンハルト・オイラー]]、[[カール・フリードリッヒ・ガウス]]、[[ベルンハルト・リーマン]]、[[オーギュスタン＝ルイ・コーシー]]、[[ヨースタ・ミッタク＝レフラー]]、[[ワイエルシュトラス]]といった数学者や他の多くの[[20世紀]]の数学者たちが複素解析の理論に貢献している<ref name="jimbo"/><ref name="mori"/><ref name="peter"/><ref name="AF">Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. [[:en:Cambridge University Press]].</ref>。

=== 複素解析の応用 ===
歴史的に複素解析、特に[[等角写像]]の理論は[[工学]]・[[地図学]]・[[物理学]]に多くの応用があるが<ref name="peter"/><ref name="AF"/><ref>Weisstein, Eric W. "Conformal Mapping." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ConformalMapping.html</ref>、[[解析的整数論]]全般にわたっても応用されている<ref>Terr, David. "Analytic Number Theory." From MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein. http://mathworld.wolfram.com/AnalyticNumberTheory.html</ref>。近年は[[複素力学系]]の勃興や[[正則関数]]の繰り返しによって与えられる[[フラクタル図形]]（有名な例として[[マンデルブロ集合]]が挙げられる）の研究などによって有名になっている<ref name="APP">Agarwal, R. P., Perera, K., Pinelas, S. (2011), An Introduction to Complex Analysis, Springer.</ref>。

他の重要な応用として[[共形変換]]に対して[[群作用|作用]]が不変な[[場の量子論]]である[[共形場理論]]が挙げられる。また[[電気工学]]における[[フェーザ表示]]、[[連続体力学|固体力学]]における[[応力関数]]、[[流体力学]]における[[複素速度ポテンシャル]]<ref>[[今井功 (物理学者)|今井功]]. (1989). 複素解析と流体力学. [[日本評論社]].</ref>など、工学の様々な分野にも応用されている。

== 複素関数 ==
'''複素関数'''とは、[[自由変数]]と[[従属変数]]がともに[[複素数]]の範囲で与えられるような[[関数 (数学)|関数]]である<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。より正確に言えば[[複素平面]]の[[部分集合]]上で定義された複素数値の関数が複素関数と呼ばれる。複素関数に対し自由変数や従属変数を実部と虚部とに分けて考えることができる。
{{Indent|<math>z = x + iy ,\, w = f(z) = u(x,y) + iv(x,y),</math>

ここで <math>x,y,u(x,y),v(x,y) \in \mathbb{R}.</math>}}
従って複素関数の成分
:<math>u = u(x,y),</math>
:<math>v = v(x,y)</math>
は、2つの[[実数|実]]変数 {{math2|''x'', ''y''}} についての[[実数値関数]]だと考えることができる。複素解析の基本的な概念は、[[指数関数]]、[[対数関数]]、[[三角関数]]などの実関数を複素関数に拡張することにより与えられることが多い。

== 正則関数 ==
{{main|正則関数}}
'''[[正則関数]]'''とは、[[複素平面]]のある[[領域 (解析学)|領域]] ''D'' で定義され、[[定義域]]の全体で[[微分可能|複素微分可能]]、つまり任意の ''a'' ∈ ''D'' に対し ''z'' の ''a'' への近づき方に依らずに極限
:<math>f'(a) = \frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}z}(a) = \lim_{z\to a}\frac{f(z)-f(a)}{z-a}</math>
が定まる複素関数 ''f''(''z'') をいう<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。
複素関数については[[微分可能|複素微分可能]]であることと[[解析函数|解析的]]であること、つまり
* 任意の ''a'' ∈ ''D'' に対して複素係数の[[べき級数]]
:{{Indent|<math>\sum_{n=0}^\infty c_n \left( z-a \right)^n = c_0 + c_1 (z-a)^1+ c_2 (z-a)^2 + \cdots</math>

が定まり、}}
* ''a'' から一定の距離（[[収束半径]]）の範囲でこの級数が収束して、
* 収束値が関数値 ''f''(''z'') に一致すること
が[[同値]]である<ref name="lars">{{Citation |author=[[ラース・ヴァレリアン・アールフォルス|L.V. アールフォルス]] |year=1982 |title=複素解析 |publisher=現代数学社}}</ref>。そのため、複素解析においては'''[[正則関数]]''' (holomorphic function) 、'''複素微分可能関数''' (complex differentiable function) 、'''[[解析関数]]''' (analytic function) という用語は同義になる。複素関数が複素微分可能でない点を[[特異点 (数学)|特異点]] (singularity) という。

=== 特異点の分類 ===
{{main|特異点 (数学)}}
{{See also|{{ill2|確定特異点|en|regular singular point}}|動く特異点}}
複素解析は解析的な[[領域]]を主として探求する分野であるが、複素関数に[[特異点 (数学)|特異点]]がある場合、特異点を含む領域全体における大局的な挙動は特異点に支配される。したがって、特異点の位置や性質を研究することは複素解析の範疇に含まれる。

特異点には'''[[孤立特異点|孤立した]]'''ものと'''孤立しない'''ものとがあるが、複素解析の対象となるのは主に孤立した特異点である。

==== 孤立特異点 ====
{{main|孤立特異点}}
[[孤立特異点]]は、'''[[可除特異点]]'''、'''[[極 (複素解析)|極]]''' 、'''[[真性特異点]]'''に分類される。除去可能な特異点とは、その点における値を適当に取り直すことにより、複素函数をその近傍で解析的にすることができるときに言う。極とは、複素函数 {{math|''f''(''z'')}} の特異点 {{math|1=''z'' = ''a''}} であって、{{math|(''z'' &minus; ''a''){{sup|''n''}}''f''(''z'')}} において除去可能な特異点となる自然数 {{mvar|n}} が存在するものをいう。[[真性特異点]]とは、除去可能でも極でもない[[孤立特異点]]をいう<ref name="jimbo"/>。

==== 非孤立特異点 ====
非孤立特異点は、特異点が[[稠密集合|稠密]]に連なっているために、その[[近傍 (位相空間論)|近傍]]に必ず他の特異点を含んでしまう特異点をいう。例えば {{math|1=''f''(''z'') = 1/sin(1/''z'')}} は {{math|1=''z'' = 0}} に非孤立特異点を持つ（{{math|1=''z'' = ±1/''nπ''}} は {{math|0}} 以外の、孤立していない[[真性特異点]]、ただし {{mvar|n}} は任意の[[自然数]]）。この他に、定義域の自然な境界（[[解析接続]]によって越えられない壁）や[[多価関数]]を一価関数として扱うために導入する'''[[分岐点_(数学)|分岐切断]]''' (branch cut)<ref name="jimbo"/> も一種の特異点と考えられる。分岐切断の端点を'''分岐点''' (branch point) というが、分岐切断があるかぎり、分岐点は孤立した特異点になりえない。しかし、分岐切断は（分岐点を固定して[[ホモトピー|ホモトープ]]である限り）どこに置いてもよいものであるから都合に合わせて分岐切断を動かせば、分岐点をあたかも孤立した特異点であるかのように扱える。この発想は[[リーマン面]]<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>に通ずる。分岐点は'''代数分岐点'''と'''対数分岐点'''に分類されるが、代数特異点、対数特異点<ref>Weisstein, Eric W. "Logarithmic Singularity." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/LogarithmicSingularity.html</ref>と呼ばれることもある。

=== 複素関数の分類 ===
複素関数が微分可能であるということは、実関数が微分可能であるということに比べて遥かに強い制約条件である。一階微分可能な複素関数は無限階微分可能であり<ref>藤本坦孝. 複素解析. [[岩波書店]], 1996年.</ref>、積分可能であり、解析的である。定義域（もしくは考察の対象となっている領域）の全体で正則な関数を[[正則関数]]といい<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>、特に複素平面全体を定義域とする[[正則関数]]を[[整関数]]という<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。孤立した[[極 (複素解析)|極]]を除いて正則な関数を[[有理型関数]]という<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。指数関数、正弦関数、余弦関数、[[多項式]]関数など、多くの初等関数は[[整関数]]であるが<ref name="jimbo"/>、正接関数(<math>\tan</math>)などは極を持つから有理型であり、[[対数]]関数は負の実軸に[[分岐点_(数学)|分岐]]を持ち正則でない<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。[[ガンマ関数]]は負の整数に極を持つから有理型であるが、右半平面に限れば正則である<ref name="jimbo"/><ref>時弘哲治. 工学における特殊関数. [[共立出版]].</ref><ref>Weisstein, Eric W. "Gamma Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GammaFunction.html</ref>。

== 著しい特徴 ==
=== 複素線積分 ===
{{main|複素線積分}}
複素解析においてよく用いられる道具立てに[[複素線積分]]がある。[[コーシーの積分定理]]によって、閉じた経路で囲まれた領域の内側全体で正則になっている関数を、その経路上線積分した値はかならず 0 になるということがわかる<ref name="jimbo"/><ref name="mori"/><ref name="AF"/><ref name="APP"/><ref name="lars"/>。もし[[正則関数]]が特定の点を[[極 (複素解析)|極]]にしているとき、つまりそこで関数の値が「爆発」し有限の値をとらないときには、その点での関数の[[留数]]を求めることで線積分の値を決定できる。各複素数における[[正則関数]]の値は、その点のまわりの[[円周]]上での（考えている[[正則関数]]に応じて構成される有理型関数の）線積分の値として求めることができる（[[コーシーの積分公式]]<ref name="jimbo"/><ref name="mori"/><ref name="AF"/><ref name="APP"/><ref name="lars"/>）。また、[[正則関数]]の線積分に関する[[留数]]の理論を用いることで複雑な実積分の値を決定することもできるようになる<ref name="jimbo"/><ref name="mori"/><ref name="AF"/><ref name="APP"/><ref name="lars"/>。

=== カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理 ===
{{main|カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理}}
[[カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理]]によって[[真性特異点]]のまわりでの[[正則関数]]の挙動に関する驚くべき性質が導かれる。特異点のまわりでの関数の挙動は[[テイラー級数]]に類似の[[ローラン級数]]によって記述される。

=== リウヴィルの定理 ===
{{main|リウヴィルの定理 (解析学)}}
[[リウヴィルの定理 (解析学)|リウヴィルの定理]]によって複素平面全体で有界な[[正則関数]]は定数関数に限られることがわかるが<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>、これをもちいて複素数体が[[代数的閉体]]であるという[[代数学の基本定理]]の自然で簡単な証明が与えられる。

=== 解析接続 ===
{{main|解析接続}}
[[正則関数]]の重要な性質に、[[正則関数]]の[[連結]]な領域上全体での挙動が任意のより小さい領域上の挙動によって決定されてしまう（[[一致の定理]]<ref name="jimbo"/>）、というものがある。大きい領域全体でのもとの関数は小さい領域上に制限して考えたものの[[解析接続]]とよばれる<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/>。このような原理によってリーマン[[ゼータ関数]]など、限られた領域上でしか収束しない[[級数]]によって定義されていた関数を複素平面全体に[[正則関数]]や[[有理型関数]]として拡張することが可能になる<ref name="APP"/><ref>Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Riemann Zeta Function." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RiemannZetaFunction.html</ref>。場合によっては[[自然対数]]などのように複素平面内の[[単連結]]でない領域への[[解析接続]]が不可能なこともあるが、[[リーマン面]]とよばれる曲面を導入することでその上の[[正則関数]]としての「[[解析接続]]」を考えることができる<ref name="jimbo"/><ref name="AF"/><ref name="APP"/><ref>Springer, G. (1957). Introduction to Riemann surfaces (Vol. 473). Reading, Mass.: Addison-Wesley.</ref><ref>Hershel M. Farkas and Irwin Kra (1992), Riemann surfaces, Springer, New York.</ref><ref>Weisstein, Eric W. "Riemann Surface." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/RiemannSurface.html</ref><ref>[https://ncatlab.org/nlab/show/Riemann+surface Riemann surface in nLab]</ref>。

=== 多変数複素解析 ===
{{main|多変数複素解析}}
上記の結果はすべて一変数に関する複素解析のものであるが、[[多変数複素解析]]についても豊かな理論が存在し<ref>Salomon Bochner and W. T. Martin Several Complex Variables (1948).</ref><ref>Steven G. Krantz, Function Theory of Several Complex Variables (1992)</ref><ref>Volker Scheidemann, Introduction to complex analysis in several variables, Birkhäuser, 2005, ISBN 3-7643-7490-X</ref><ref>[[大沢健夫]] (2018). 多変数複素解析 (増補版). [[岩波書店]].</ref><ref>倉田令二朗 著, 高瀬正仁 解説 (2015), 多変数複素関数論を学ぶ, [[日本評論社]].</ref><ref>[[一松信]], 多変数解析函数論. [[培風館]].</ref>、べき級数展開などの解析的な性質が成立している。一方で[[等角写像|共形性]]などの一変数正則関数が持つ[[幾何学]]的な性質は拡張されず、[[リーマンの写像定理]]<ref name="AF"/>が示すような複素平面の領域に関する共形関係性などの複素一変数の理論では成立する重要な性質が複素二変数以上の理論ではもはや成立しない。

== 脚注 ==
{{Reflist|30em}}

== 参考文献 ==
{{div col|rules=yes}}
* Ablowitz, M. J., & Fokas, A. S. (2003). Complex variables: introduction and applications. [[:en:Cambridge University Press]].
* Remmert, R., Theory of complex functions. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Remmert, R., Classical topics in complex function theory. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Lang, S., Complex analysis. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Conway, J. B., Functions of one complex variable I-II. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Saks, S., & Zygmund, A. (1952). Analytic functions.
* Whittaker, E. T., & Watson, G. N., A course of modern analysis. [[:en:Cambridge University Press]].
* 吉川實夫：函數論、富山房(1913年）
* 竹内端三：「函數論 上巻」、裳華房（1926年4月7日、1966年11月、2015年6月PDF版）．
* 竹内端三：「函數論 下巻」、裳華房（1926年6月5日、1967年10月、2015年6月POD版）．
* 藤原松三郎：複素函數論、岩波書店（岩波講座數學）；6分冊（配本第6回～第11回；全て1933年)
* 掛谷宗一：一般函數論、岩波書店（1930年7月30日）
* 吉田洋一：「函数論」、岩波書店(岩波全書88）(1938年9月20日）
* [https://linesegment.web.fc2.com/books/mathematics/fukusohensukansuron/ 『複素變數凾數論』辻 正次 著、共立出版（1946）の現代仮名遣い版]
* 小松勇作：「一般函数論」：角川書店（1952年5月).
* 辻正次：「函数論〈上巻〉」、朝倉書店(数學全書)、(1952年5月10日);復刊版(2005年4月)。
* 辻正次：「函数論〈下巻〉」、朝倉書店(数學全書)、(1952年5月10日);復刊版(2005年4月)。
* H.カルタン：「複素函数論」，岩波書店、（1965年1月23日）
* 吉田洋一：「函数論」第2版（岩波全書141）、岩波書店、ISBN 978-4-00-021107-9 (1965年3月31日).
* 辻正次：「複素函数論」、槇書店（1968年11月10日）
* 犬井鉄郎、石津武彦：「複素函数論」、東京大学出版会、ISBN 4-13-064008-9 (1966年5月30日).
* 栗林暲和：「複素関数論」、教育出版（シリーズ新しい応用の数学3）(1973年11月10日).
* {{Cite book|和書|title=複素解析|author=L.V. アールフォルス|authorlink=ラース・ヴァレリアン・アールフォルス|translator=笠原乾吉|publisher=現代数学社|year=1982|isbn=4-7687-0118-3|ref=harv}}
* 田村二郎：「解析関数（新版）」、裳華房、ISBN 4-7853-1307-2 (新版1983年11月15日).
* [[小平邦彦]]：「複素解析」、[[岩波書店]]、ISBN 978-4-00-007815-3（1991年6月).
* 高橋礼司：「[新版]複素解析」、東京大学出版会、ISBN 4-13-062106-8 (1990年1月10日).
* 野口潤次郎：「複素解析概論」、裳華房、ISBN 978-4-7853-1314-2 (1993年5月10日).
* 藤原毅夫：「複素解析の技法」、共立出版 (工学数学講座6)、ISBN 4-320-01605-X (1999年9月25日).
* 森正武、杉原正顕：「複素関数論」、岩波書店、ISBN 4-00-005950-5 (2003年5月22日)．
* [[神保道夫]]:「複素関数入門」、[[岩波書店]]（現代数学への入門）、ISBN 4-00-006874-1 (2003年12月12日).
* 新井朝雄：「複素解析とその応用」、共立出版、ISBN 4-320-01830-3 (2006年12月25日).
* Elias M. Stein、Rami Shakarchi：「複素解析」（プリンストン解析学講義Ⅱ）、日本評論社、ISBN 978-4-535-60892-4 (2009年6月30日).
* 柴雅和：「複素関数論」、朝倉書店、ISBN 978-4-254-11759-2 (2013年9月25日).
* 藤原毅夫：「東京大学工学教程 基礎系 数学 複素関数論 I」、丸善出版、ISBN 978-4-621-08716-9 (2013年10月10日).
* 藤原毅夫：「東京大学工学教程 基礎系 数学 複素関数論 II」、丸善出版、ISBN 978-4-621-08903-3 (2014年12月20日).
* 堀川穎二：「複素関数論の要諦[新装版]」、[[日本評論社]]、ISBN 978-4535785977（2015年8月25日）.
* 相川弘明：「複素関数入門」、共立出版、ISBN 978-4-320-11186-8 (2016年4月25日)．
* 畑政義：「数理科学のための複素関数論」、サイエンス社、ISBN 978-4-7819-1419-0 (2018年2月10日).
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=== 数値解析と複素解析の関係を解説する文献 ===
{{div col|rules=yes}}
* {{cite book|和書|author=森正武 |author-link=森正武 |title=数値解析と複素関数論 |publisher=筑摩書房 |year=1975 |series=数理科学シリーズ |NCID=BN00646591 |id={{NDLJP|12607870}} |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000001124428}}
* {{Cite journal|和書|author=森正武 |date=1972-05 |url=https://hdl.handle.net/2433/106735 |title=数値解析と超函数論 (超函数論と偏微分方程式の理論) |journal=数理解析研究所講究録 |ISSN=1880-2818 |publisher=京都大学数理解析研究所 |volume=145 |pages=1-11 |hdl=2433/106735 |CRID=1050282810628520576}}
* [[:en:Peter Henrici (mathematician)|Peter Henrici]], ''Applied and Computational Complex Analysis'', Volume 1-3, Wiley Classics Library.
* Bobenko, A. I. (2011). ''Computational approach to Riemann surfaces'' (Lecture Notes in Mathematics 2013). [[:en:Springer Science & Business Media]].
* {{Cite journal|author=TAKAHASI, H. |year=2005 |title=Complex function theory and numerical analysis |journal=Publ. RIMS Kyoto Univ. |ISSN=00345318 |publisher=京都大学 |volume=41 |pages=979-988 |naid=110002328933 |CRID=1570854177153757184}}
*[http://www.maths.usyd.edu.au/u/olver/teaching/NCA/ Numerical Complex Analysis by Sheehan Olver]
{{div col end}}

=== 流体力学との関係を解説する文献 ===
* {{cite book|和書|author=今井功 |author-link=今井功 (物理学者) |title=複素解析と流体力学 |publisher=日本評論社 |year=1989 |id={{国立国会図書館書誌ID|000001999222}} |ISBN=9784535606012 |url=https://ndlsearch.ndl.go.jp/books/R100000002-I000001999222 |ref=harv}}

== 関連項目 ==
{{ウィキプロジェクトリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics blue-p.svg|34px|Project:数学]]}}
{{ウィキポータルリンク|数学|[[画像:Nuvola apps edu mathematics-p.svg|34px|Portal:数学]]}}
* [[解析接続]]
* [[解析関数]]
* [[有理型関数]]
* [[佐藤超函数]]
* [[等角写像]]
* [[ローラン展開]]
* [[調和微分形式]]

=== 定理 ===
{{See also|Category:複素解析の定理}}
* [[代数学の基本定理]]
* [[一致の定理]]
* [[偏角の原理]]
* [[ルンゲの定理]]
* [[リーマンの写像定理]]
* [[カゾラーティ・ワイエルシュトラスの定理]]

=== 方程式 ===
* [[コーシー・リーマンの方程式]]
* 複素領域の[[常微分方程式]]（[[複素微分方程式]]）
** [[パンルヴェ方程式]]
** [[リッカチの微分方程式]]
** [[ホイン函数#ホインの方程式]]
** [[ガウスの微分方程式]]

=== 関連分野 ===
{{div col|rules=yes}}
* [[漸近展開]]
** [[メリン変換]]
** [[:en:Watson's lemma]]
** [[:en:Laplace's method]]
** [[:en:Stationary phase approximation]]
* [[複素多様体]]
** [[リーマン面]]
** [[リーマン球面]]
** [[複素射影空間]]
* [[複素力学系]]
* [[ネヴァンリンナ理論]]
* [[多変数複素関数]]
{{div col end}}

=== 特殊関数 ===
{{div col|rules=yes}}
* [[ガンマ関数]]
** [[ボーア・モレルップの定理]]
** [[スターリングの公式]]
**{{ill2|qガンマ関数|en|q-gamma function|es|Función q-gamma}}
**{{ill2|楕円ガンマ関数|en|elliptic gamma function|es|Función gamma elíptica}}
* [[超幾何級数]]
** {{ill2|合流型超幾何関数|en|confluent hypergeometric function|fr|Fonction hypergéométrique confluente|zh|合流超几何函数}}
**[[q超幾何級数]]
**{{ill2|楕円超幾何級数|en|elliptic hypergeometric series}}
* [[楕円関数]]
** [[楕円積分]]
** [[算術幾何平均]]
** [[ヤコビの楕円関数]]
** [[ヴァイエルシュトラスの楕円函数]]
* [[直交多項式]]
** [[アスキースキーム]]
** [[ロドリゲスの公式]]
** {{ill2|クリストフェル・ダルブーの公式|en|Christoffel–Darboux formula}}
{{div col end}}

=== 積分 ===
* [[複素積分]]
* [[留数]]
* [[コーシーの積分定理]]
* [[コーシーの積分公式]]

=== 複素解析の研究者 ===
==== 海外 ====
{{div col|rules=yes}}
* {{ill2|エルンスト・リンデレーフ|en|Ernst Leonard Lindelöf|de|Ernst Leonard Lindelöf|es|Ernst Leonard Lindelöf}}
* [[ロルフ・ネヴァンリンナ]]
* [[ラース・ヴァレリアン・アールフォルス]]
*[[エドマンド・テイラー・ホイッテーカー]]（複素解析の教科書：[[:en:A Course of Modern Analysis]]で知られる）
*[[ジョージ・ネビル・ワトソン]]（複素解析の教科書：[[:en:A Course of Modern Analysis]]で知られる）
*[[リチャード・バルガ]]
{{div col end}}

==== 日本 ====
* [[岡潔]]
* [[能代清]]
* [[大沢健夫]]


{{Analysis-footer}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ふくそかいせき}}
[[Category:複素解析|*]]
[[Category:数学に関する記事]]