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'''複素解析空間'''（ふくそかいせきくうかん、{{Lang-en-short|complex analytic space}}）とは、同型を除いて一意的な"解析空間の構造"と呼ばれる構造が定義された[[ハウスドルフ空間]]を言う。曖昧さがあったそれまでの[[リーマン面]]の概念を整理するために[[アンリ・カルタン]]によって導入された<ref>[[#H.Cartan(1961)|H.Cartan(1961)]] 序文</ref>。

== 定義 ==
X をハウスドルフ空間とし、X の開被覆を (U<sub>i</sub>)<sub>i &isin; I</sub> とする。さらに、各 U<sub>i</sub> 上の点に対し、複素平面 C の開集合 A<sub>i</sub> (&sub; C) 上の点を対応させる位相同型な複素数値関数 z<sub>i</sub> : U<sub>i</sub> → A<sub>i</sub> が与えられているとする。次の連接条件を満たすとき、X に解析空間の構造が定義されると言う<ref>[[#H.Cartan(1961)|H.Cartan(1961)]] p.196</ref>。

（連接条件）
:i,j &isin; I, U<sub>i</sub> &cap; U<sub>j</sub> ≠ &phi; であるとき、C の開集合z<sub>j</sub>(U<sub>i</sub> &cap; U<sub>j</sub>) で正則かつ導関数が ≠ 0 であるような f<sub>ij</sub> によって、U<sub>i</sub> &cap; U<sub>j</sub> 上 z<sub>i</sub> = f<sub>ij</sub>(z<sub>j</sub>) が成り立つ<ref>これは一つの局所座標 z<sub>j</sub> から他の局所座標 z<sub>i</sub>への変換が正則変換 f<sub>ij</sub> によってなされることを意味する。</ref>。
ここで、ハウスドルフ空間 X とその上で定義された同型な解析空間の構造の類との組を'''解析空間'''（analytic space）と呼ぶ<ref>[[#H.Cartan(1961)|H.Cartan(1961)]] pp.196-198</ref>。

=== 層を用いた定義 ===
<math>\mathbb{C}</math> に値を持つ位相空間上の定数[[層 (数学)|層]]を<math>\underline{\mathbb{C}}</math> で表す。'''<math>\mathbb{C}</math>-空間'''は、構造層が <math>\underline{\mathbb{C}}</math> の上の[[体上の多元環|代数]] (algebra) である[[局所環付き空間]]である。

複素アフィン空間 <math>\mathbb{C}^n</math> の開集合 <math>U</math> を選び、<math>U</math> 上の有限個の正則函数 <math>f_1,\dots,f_k</math> を固定し、<math>X=V(f_1,\dots,f_k)</math> をこれらの正則函数の共通の零点集合とする、つまり、<math>X=\{x\mid f_1(x)=\cdots=f_k(x)=0\}</math> とする。<math>X</math> 上の環の層を <math>\mathcal{O}_X</math> を <math>\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_k)</math> の <math>X</math> への制限とする、ただし <math>\mathcal{O}_U</math> は <math>U</math> 上の正則函数の層である。すると局所環付き <math>\mathbb{C}</math>-空間 <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> は'''局所モデル空間'''となる。

'''複素解析空間''' (complex analytic space) は、有限個の正則函数の零点集合の開部分集合である局所モデル空間に局所同相な局所環付き <math>\mathbb{C}</math>-空間 <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> である。

複素解析空間の射は、局所環付き空間の射として定義される。射は正則函数とも呼ばれる。
<!--==Definition==
Denote the constant [[sheaf (mathematics)|sheaf]] on a topological space with value <math>\mathbb{C}</math> by <math>\underline{\mathbb{C}}</math>. A '''<math>\mathbb{C}</math>-space''' is a [[locally ringed space]] <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> whose structure sheaf is an [[algebra over a field|algebra]] over <math>\underline{\mathbb{C}}</math>.

Choose an open subset <math>U</math> of some complex affine space <math>\mathbb{C}^n</math>, and fix finitely many holomorphic functions <math>f_1,\dots,f_k</math> in <math>U</math>. Let <math>X=V(f_1,\dots,f_k)</math> be the common vanishing locus of these holomorphic functions, that is, <math>X=\{x\mid f_1(x)=\cdots=f_k(x)=0\}</math>. Define a sheaf of rings on <math>X</math> by letting <math>\mathcal{O}_X</math> be the restriction to <math>X</math> of <math>\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_k)</math>, where <math>\mathcal{O}_U</math> is the sheaf of holomorphic functions on <math>U</math>. Then the locally ringed <math>\mathbb{C}</math>-space <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> is a '''local model space'''.

A '''complex analytic space''' is a locally ringed <math>\mathbb{C}</math>-space <math>(X, \mathcal{O}_X)</math> which is locally isomorphic to a local model space.

Morphisms of complex analytic spaces are defined to be morphisms of the underlying locally ringed spaces, it is also called holomorphic maps.-->

== 脚注 ==
<references />

== 参考文献 ==
* {{cite book | 和書 | title=複素函数論 | author=H.カルタン | editor=高橋禮司 | year=1965 | publisher=岩波書店 | ref=H.Cartan(1961) }}
*Grauert and Remmert, ''Complex Analytic Spaces''
*Grauert, Peternell, and Remmert, ''Encyclopaedia of Mathematical Sciences 74: Several Complex Variables VII''

== 関連項目 ==
* [[リーマン面]] - [[正則関数]]
* [[解析接続]]

{{Mathanalysis-stub}}
{{DEFAULTSORT:ふくそかいせきくうかん}}
[[Category:多変数複素函数論]]
[[Category:代数幾何学]]
[[Category:数学に関する記事]]