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'''要約統計'''（ようやくとうけい、{{Lang-en-short|summary statistic}}）あるいは、'''記述統計'''（{{Lang-en-short|descriptive statistic}}）とは、[[標本 (統計学)|標本]]の分布の特徴を定量的に記述し要約する[[統計学]]上の値であり、[[統計量]]の一種である。'''基本統計'''（{{Lang-en-short|basic statistic}}）または'''代表値'''({{lang-en-short|representative value}})とも呼ばれることもある{{sfn|西岡|loc=p.1}}{{sfn|伏見|loc=第III章 記述統計量 13節  確率分布、統計分布 p.110}}。

== 概要 ==
[[記述統計学]]（{{Lang-en-short|descriptive statistics}}）は、こうした統計量を用いて分析する学問領域である。記述統計学は、データを用いてデータの[[標本 (統計学)|標本]]が表すと考えられる[[母集団]]について知るのではなく、標本を要約することを目的としている点で、[[推計統計学]]（{{Lang-en-short|inferential statistics, or inductive statistics}}）と区別される<ref name=":0">{{Citation|title=Drawing Conclusions From Data: Descriptive Statistics, Inferential Statistics, and Hypothesis Testing|date=2017|url=https://doi.org/10.4135/9781506304144.n6|work=Interpreting and Using Statistics in Psychological Research|pages=145–183|place=2455 Teller Road, Thousand Oaks California 91320|publisher=SAGE Publications, Inc|doi=10.4135/9781506304144.n6|isbn=978-1-5063-0416-8|access-date=2021-06-01}}</ref>。つまり、記述統計は推計統計と異なり、[[確率論]]に基づいて発展したものではなく、[[ノンパラメトリック手法]]であることが多い<ref>{{cite book |last=Dodge |first=Y. |year=2003 |title=The Oxford Dictionary of Statistical Terms |publisher=OUP |isbn=0-19-850994-4 |url-access=registration |url=https://archive.org/details/oxforddictionary0000unse }}</ref>。

データ分析においては、推計統計を用いて主要な結論を出す場合でも、一般的には記述統計も提示される<ref name=":0">{{Citation|title=Drawing Conclusions From Data: Descriptive Statistics, Inferential Statistics, and Hypothesis Testing|date=2017|url=https://doi.org/10.4135/9781506304144.n6|work=Interpreting and Using Statistics in Psychological Research|pages=145–183|place=2455 Teller Road, Thousand Oaks California 91320|publisher=SAGE Publications, Inc|doi=10.4135/9781506304144.n6|isbn=978-1-5063-0416-8|access-date=2021-06-01}}</ref>。たとえば、ヒト被験者について報告する論文では、通常、全体の{{Ill2|標本数の決定|en|Sample size determination|label=標本数}}、重要なサブグループ（たとえば、各治療群や曝露群）の標本数、[[平均]]年齢、各性の被験者の割合、関連する併存症を持つ被験者の割合などの[[人口統計学]]または臨床的特徴を示す表が含まれる。

データセットを記述するために一般的に使用される指標には、{{Ill2|中心傾向|en|Central tendency}}の指標と、変動性または[[統計的ばらつき|ばらつき]]の指標がある。中心傾向の指標には平均値、[[中央値]]、[[最頻値]]があり、変動性の指標には[[標準偏差]]（または[[分散 (確率論)|分散]]）、[[変数 (数学)|変数]]の最小値と最大値、[[尖度]]、[[歪度]]がある<ref name="Inv">Investopedia, [http://www.investopedia.com/terms/d/descriptive_statistics.asp#axzz2DxCoTnMM Descriptive Statistics Terms]</ref>。

== 統計分析での利用 ==
記述統計は、標本や行われた観察についての簡単な要約を提供する．このような要約は、{{Ill2|要約統計|en|Summary statistics|label=要約統計量}}のような定量的なものもあれば、わかりやすいグラフのような視覚的なものもある。また、これらの要約は、より広範な統計解析の一部としてデータを最初に説明する際の基礎を成すこともあれば、特定の調査のためにはそれ自体で十分なこともある。

たとえば、バスケットボールのシュート決定率は、選手やチームの成績を要約する記述統計量である。この数値は、ゴールしたシュート数を放ったシュート数で割ったものである。たとえば、シュート率33%の選手は、3回に1回の割合でシュートを決めている。パーセンテージは、複数の離散事象を要約または説明する。学生の[[成績評価]]も考えてみよう。この単一の数値は、ある学生のコース経験の範囲全体にわたる一般的な成績を記述するものである<ref name="trochim">{{cite web|last=Trochim|first=William M. K.|title=Descriptive statistics|url=http://www.socialresearchmethods.net/kb/statdesc.php|work=Research Methods Knowledge Base|access-date=14 March 2011|year=2006}}</ref>。

記述統計と要約統計の使用には幅広い歴史があり、実際、人口や経済データの単純な集計は、[[統計学]]というトピックが最初に登場した手法であった。最近では、[[探索的データ解析]]という見出しの下に要約手法のコレクションが作成されている。そのような手法の例として、[[箱ひげ図]]がある。ビジネスの世界では、記述統計は多くの種類のデータに対する有用な要約を提供する。たとえば、投資家やブローカーは、将来のより良い投資決定を行うために、投資に関する実証的分析および解析的分析を行うことによって、リターン動向の歴史的根拠を活用することができる。

=== 単変量解析 ===
{{Ill2|単変量解析|en|Univariate analysis}}では、中心傾向（平均値、[[中央値]]、[[最頻値]]）と分散（データセットの{{Ill2|範囲 (統計学)|en|Range (statistics)|label=範囲}}と四分位数、[[分散 (確率論)|分散]]や[[標準偏差]]などの広がりの尺度）を含む、単一変数の分布を記述する。分布の形状は、[[歪度]]や[[尖度]]などの指標によって記述することもできる。変数の分布の特性は、[[ヒストグラム]]や[[幹葉表示]]など、グラフまたは表形式で表すこともできる。

[[正規分布]]の場合は、[[平均]]と、[[分散 (確率論)|分散]]または[[標準偏差]]で分布を記述できる。正規分布からのずれを知るためには、尖度や歪度などの高次[[モーメント (数学)|モーメント]]から求められる統計量を用いる。

正規分布から著しく外れた場合には、より頑健な[[中央値]]、四分位点、最大値・最小値や[[最頻値]]が用いられる。「頑健」とは分布の非対称性や[[外れ値]]などの影響を受けにくいことを意味する統計用語である。例えば、労働者一人あたりの年収を例に採れば、最も収入が少なくても0未満にはならないのに対し、収入が多いほうでは数十億円という年収を稼ぐ少数者があり得る。この場合の分布は、少数者が上側にいることによって、上側に極端に尾を引いた非対称な分布となる。平均値はこれらの極端な高値の影響を受け、分布の代表値として適切でないものとなってしまう。中央値や最頻値では、いかに飛び抜けた値であっても1例としてしか扱われないので、より大多数の実感に近い値を示すことができる。

=== 二変量解析および多変量解析 ===
標本が複数の変数で構成されている場合、記述統計を使用して、変数のペア間の関係を記述することができる。この場合、記述統計には次にあげるようなものがある。

* クロス集計表と[[分割表]]
* [[散布図]]によるグラフィカル表現
* [[相関]]の定量的尺度
* [[条件付き確率分布]]の記述

単変量解析と二変量解析を区別する主な理由は、二変量解析が単なる記述的な解析にとどまらず、異なる二つの変数間の関係を記述することである<ref>{{cite book |first=Earl R. |last=Babbie |title=The Practice of Social Research |url=https://archive.org/details/isbn_9780495598428 |url-access=registration |edition=12th |publisher=Wadsworth |year=2009 |isbn=978-0-495-59841-1 |pages=[https://archive.org/details/isbn_9780495598428/page/436 436–440] }}</ref>。依存性の定量的尺度には、相関（両方の変数が連続型の場合はピアソンのr、一方または両方が連続型でない場合は[[スピアマンの順位相関係数|スピアマンのrho]]など）と[[共分散]]（尺度変数が対応していることを反映する{{訳語疑問点|date=2022年4月}}）がある。回帰分析では、[[傾き (数学)|傾き]]も変数間の関連性を反映する。標準化されていない勾配は、[[予言#科学における予言|予測変数]]の1単位の変化に対する目的変数の単位変化を示す。標準化されている勾配は、この変化を標準化された単位（[[標準得点]]）で示す。大きく歪んだデータは、対数をとって変換されることがよくある。対数を用いると、グラフはより対称的になり、[[正規分布]]に近くなるので、直感的に解釈しやすくなる<ref>{{cite book |first=Todd G. |last=Nick |chapter=Descriptive Statistics |title=Topics in Biostatistics |series=[[:en:Methods in Molecular Biology|Methods in Molecular Biology]] |volume=404 |location=New York |publisher=Springer |year=2007 |pages=33–52 |isbn=978-1-58829-531-6 |doi=10.1007/978-1-59745-530-5_3 |pmid=18450044 }}</ref>{{rp|47}}。

==モーメントから求められる要約統計量==
{{main|平均|分散 (確率論)|標準偏差|歪度|尖度}}
''N'' 個のデータ <math>x_1,\ x_2,\ \dots,\ x_N</math> に対する統計量を考える。まず、平均値 <math>\mu</math> と、平均値まわりの ''m'' 次中央モーメント<ref>用語「''m'' 次中央モーメント」は、竹内啓（編集委員代表）『統計学辞典』東洋経済新報社, 1989 による。</ref> <math>\mu_m</math> を
::<math>\mu = \frac{1}{\,N\,} \sum_{i = 1}^N x_i</math>

::<math>\mu_m = \frac{1}{\,N\,} \sum_{i = 1}^N (x_i - \mu)^m \quad\ (m = 2, 3, \cdots)</math>
で定義する。

=== 平均 ===
原点まわりの1次モーメント <math>\mu</math>。和を個数で割ったもの。
: <math>\mu = \frac{1}{\,N\,} \sum_{i = 1}^N x_i</math>

=== 分散、標準偏差===
2次中央モーメントから求められる統計量。分布の広がりを表す。
: 分散：　　 <math>\sigma^2 = \mu_2</math>
: 標準偏差： <math>\sigma = \sqrt{\mu_2}</math>

=== 歪度 ===
3次中央モーメントから求められる統計量。分布の左右非対称の度合いを表す。
: <math>\gamma_1 = \mu_3 / \sigma^3</math>

=== 尖度 ===
4次中央モーメントから求められる統計量。分布の峰の鋭さ（裾野の広さ）を表す。
: <math>\gamma_2 = \mu_4 / \sigma^4 - 3</math>
ただし、3 を引かない定義もある。

== 順序から求められる要約統計量 ==
{{main|中央値|分位数}}
以下、昇順に[[ソート]]された ''N'' 個のデータ <math>x_1 \le x_2 \le \dots \le x_N</math> に対する統計量（[[順序統計量]]）を考える。

=== 中央値===
メジアン、メディアン ({{lang-en-short|median}}) ともいう。データの大きさに関してちょうど中央に当たるデータ x (<sub>''N'' + 1) / 2</sub> 。ただし、整数でない添数に対する中央値は[[線形補間]]によって定義する（つまり ''N'' が偶数のときは ''x''<sub>''N'' / 2</sub> と ''x''<sub>''N'' / 2 + 1</sub> の平均とする）。

=== 刈込平均（{{仮リンク|トリム平均|en|trimmed mean}}）===
最大値、最小値を除外した平均。除外する数を増やして行くと、最後は中央値になる。そのため、中央値は刈込平均の一つである<ref>西岡康夫,数学チュートリアル やさしく語る 確率統計,オーム社, p.5, p.52013, ISBN  9784274214073</ref>。

=== 四分位点===
集団を値の大きさで4等分するとき、その境界となる値。x (<sub>''N'' + 3) / 4</sub> を第1四分位点、''x (''<sub>3''N'' + 1) / 4</sub> を第3四分位点という。''x''<sub>(2''N'' + 2) / 4</sub> 、つまり第2四分位点は中央値である。

===最小値・最大値===
集団に含まれる最も小さい値 ''x''<sub>1</sub> と、最も大きい値 ''x''<sub>''N''</sub> 。

これらの統計量を視覚化するために、[[箱ひげ図]]を用いる。

==== 中点値 ====
最大値と最小値を足して2で割ったものを中点値({{lang-en-short|mid-range}})とよび、代表値として用いることがある{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=2.16 中点値}}。

==== 範囲 ====
最大値と最小値の差を範囲({{lang-en-short|range}})とよび、代表値として用いることがある{{sfn|JIS Z 8101-1 : 1999|loc=2.17 範囲}}。記号はRを用いる。

== 度数から求められる要約統計量 ==
=== 最頻値 ===
[[最頻値]]は、モード ({{lang-en-short|mode}})または 並み数 ともいい、データのうち、[[度数分布]]において最も高い度数を示す値、つまり最も多く現れているデータの値である。

== 脚注 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* {{Cite book|和書|author=西岡康夫|year=2013|title=数学チュートリアル やさしく語る 確率統計|publisher=[[オーム社]]|isbn=9784274214073|ref={{sfnref|西岡}}}}
* {{Cite book|和書|author=日本数学会|authorlink=日本数学会|year=2007|title=数学辞典|publisher=[[岩波書店]]|isbn=9784000803090}}
* {{Citation |year=1999 | title=JIS Z 8101-1:1999 統計 − 用語と記号 − 第1部:確率及び一般統計用語 | publisher=[[日本規格協会]] | publisherlink=kikakurui.com | url=http://kikakurui.com/z8/Z8101-1-1999-01.html | ref={{sfnref|JIS Z 8101-1 : 1999}}}}
* {{Cite book|和書|author=伏見康治|authorlink=伏見康治|year=1942|title=確率論及統計論|publisher=[[河出書房]]|isbn=9784874720127|url=http://ebsa.ism.ac.jp/ebooks/ebook/204| ref={{sfnref|伏見}}}}
* {{Cite book|和書|author=竹内啓（編集委員代表）|year=1989|title=統計学辞典|publisher=東洋経済新報社|isbn=9784492010389}}

== 関連項目 ==
*[[統計量]]
*[[推計統計学]]
*[[順序統計量]]
*[[検定統計量]]

== 外部リンク ==
* {{Cite web|和書|url=https://www.ism.ac.jp/~ayaka/2017_gairon_1.pdf |title=記述統計と確率変数・確率分布 |access-date=2022-04-29 |publisher=統計数理研究所 |author=坂田綾香 |format=PDF}}

{{Statistics|descriptive}}
{{Portal bar|数学}}

{{Authority control}}

[[Category:統計量|*]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:記述統計学]]
[[Category:推計統計学]]
{{DEFAULTSORT:ようやくとうけいりよう}}