要素内補間のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年10月}}
[[File:Outline.PNG|thumb|right|300px|3角形のケース： 各節点'''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>2</sub> での値が既知 (10, 20, 30) の場合に、要素内の点 ''p'' での値はいくつになるのだろう？これを求めるのが要素内補間である。]]
'''要素内補間'''（ようそないほかん）とは、[[数値解析]]において[[計算格子|要素]]の各節点の既知量から、要素内の値を[[補間]]して求めることをいう。この要素内補間は、[[内挿]]とも呼ばれることがある。要素内補間は、例えば地図の等高線、[[CAD]]、[[CAE]]、[[CG]]など、要素が使用される図形処理において、要素内の任意の位置の値を計算する際にも使用される。

与えられた節点情報のみ（要素情報は使用しない）から補間する手法もあるが、これらは本説明に含まれない。

要素には、線分（2節点）、3角形（3節点）、4面体（4節点）などがある。

== 線分要素内の補間 ==
[[File:Segment interpolation.PNG|thumb|right|300px|線分要素のケース： ''p''<sub>0</sub>, ''p''<sub>1</sub> の各節点値が既知(10, 20)の場合に、線分内の''p'' の値を求める。]]
=== 全体座標系と局所座標系の関係 ===
線分要素内の点'''''p''''' は、節点'''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub> により
:<math>\boldsymbol{p}=\boldsymbol{p}_0+(\boldsymbol{p}_1-\boldsymbol{p}_0)u</math>
と表せる。ここで局所座標''u'' は 0 < ''u'' < 1 を満たす実数で、
:<math>u=\frac{|p-p_0|}{|p_1-p_0|}</math>
である。直感的には、基点を ''p''<sub>0</sub> として、そこから ''p''<sub>1</sub> までの距離の比率 ''u'' で線分内の座標値 ''p'' を求めたことになる。
*''u'' = 0 の場合には点 ''p'' は ''p''<sub>0</sub> を示し、''u'' = 1 の場合には ''p''<sub>1</sub> を示す。
*前述の表現は、直線のパラメトリックまたは、[[媒介変数]]''u'' による定義と呼ばれることもある。

=== 線形補間 ===
全体座標系と局所座標系の関係と同様に、節点 '''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub> での各値を ''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub> とし[[線形補間]]すると、点 ''p'' での値 ''C'' は
:<math>C=C_0+(C_1-C_0)u</math>
と表せる。

=== 計算例 ===
節点'''''p'''''<sub>0</sub> (5, 5, 0), '''''p'''''<sub>1</sub> (10, 10, 0) で各節点の値がそれぞれ''C''<sub>0</sub> = 10, ''C''<sub>1</sub> = 20 の場合に、線分の[[中点]]'''''p''''' (15/2, 15/2, 0) での値''C'' は、
:<math>u=\frac{|\boldsymbol{p}-\boldsymbol{p}_0|}{|\boldsymbol{p}_1-\boldsymbol{p}_0|}=0.5</math>
より
:<math>C=C_0+(C_1-C_0)u=15</math>
になる。

== 3角形要素内の補間 ==
[[File:Face interpolation.PNG|thumb|right|300px| 面要素のケース： 接点 '''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>3</sub> での値が既知でそれぞれ (10, 20, 30) の場合に、面内の点 '''''p''''' の値を求める。]]
[[File:face_interpolation4.PNG|thumb|right|300px| 局所座標系上での位置座標を求めれば点 '''''p''''' での値が求まる。]]

=== 局所座標系と全体座標系の変換 ===
点 '''''p'''''<sub>0</sub> を原点とする、3角形で構成される局所座標系は、基底ベクトル
:<math>\begin{align}
\boldsymbol{e}_u &= \boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_0 \\
\boldsymbol{e}_v &= \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_0 \\
\end{align}</math>
から得られ、全体座標系への変換行列は、点 '''''p''''' の局所座標系の座標を ''u<sub>p</sub>'', ''v<sub>p</sub>'' 、全体座標系の座標を ''x<sub>p</sub>'', ''y<sub>p</sub>'', ''z<sub>p</sub>'' とすると以下の通りとなる。

:<math> \boldsymbol{p} =  \boldsymbol{p}_0 + u_p\boldsymbol{e}_u + v_p\boldsymbol{e}_v</math>
または成分で表せば、
:<math>
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} \\
y_{eu} & y_{ev} \\
z_{eu} & z_{ev}
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
v_p
\end{array}
\right)
</math>

=== 線形補間 ===
節点'''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>2</sub> での各値を''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>とすると、要素内の点'''''p''''' での値''C'' は
:<math>C=C_0+u_p(C_1-C_0)+v_p(C_2-C_0)</math>
と表せる。ここで''u<sub>p</sub>'', ''v<sub>p</sub>'' は点'''''p''''' の局所座標系での座標である。

*''u<sub>p</sub>'' = 0, ''v<sub>p</sub>'' = 0 の場合には、''C'' = ''C''<sub>0</sub> （'''''p'''''<sub>0</sub> の値）を示す。
*''u<sub>p</sub>'' = 1, ''v<sub>p</sub>'' = 0 の場合には、''C'' = ''C''<sub>1</sub> （'''''p'''''<sub>1</sub> の値）を示す。
*''u<sub>p</sub>'' = 0, ''v<sub>p</sub>'' = 1 の場合には、''C'' = ''C''<sub>2</sub> （'''''p'''''<sub>2</sub> の値）を示す。
*''u<sub>p</sub>'', ''v<sub>p</sub>'' &ge; 0 かつ ''u<sub>p</sub>'' + ''v<sub>p</sub>'' &le; 1 の場合には、点'''''p''''' は要素の内部に存在する。
<!--*<math>u<0.0</math>または <math>v<0.0</math>または <math>u+v>1.0</math> の場合には、座標pは要素の外部に存在する。-->

===計算例===
[[File:face_interpolation6.PNG|thumb|right|300px|重心位置と '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>2</sub> の中点位置（赤色は既知量）]]
節点座標が'''''p'''''<sub>0</sub> (0, 0, 0), '''''p'''''<sub>1</sub> (5, 0, 0), '''''p'''''<sub>2</sub> (5, 5, 0) とし、各節点の既知量は、それぞれ''C''<sub>0</sub> = 10, ''C''<sub>1</sub> = 20,''C''<sub>2</sub> = 30とすると、

#重心位置での値
#:重心位置'''''p'''''<sub>G</sub> の座標は (10/3, 5/3, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、(''u''<sub>G</sub>, ''v''<sub>G</sub> ) = (1/3, 1/3) となる。これを補間式にあてはめると ''C'' <sub>G</sub> = 20 となる。重心位置のため、[[平均]]値 (''C''<sub>0</sub> + ''C''<sub>1</sub> + ''C''<sub>2</sub> ) / 3と同じである。
#'''''p'''''<sub>1</sub> と'''''p'''''<sub>2</sub> の中点位置座標での値
#:'''''p'''''<sub>1</sub> と'''''p'''''<sub>2</sub> の中点位置'''''p'''''<sub>12</sub> の全体座標系での座標は (5, 5/2, 0) で、全体座標系から局所座標系での座標 (''u''<sub>12</sub>, ''v''<sub>12</sub> ) を求めると、(1/2, 1/2) となる。これを補間式にあてはめると ''C''<sub>12</sub> = 25 となる。

== 4面体要素内の補間 ==
[[File:Element interpolation.PNG|thumb|right|300px|4面体要素のケース： 節点'''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>3</sub>, '''''p'''''<sub>4</sub> での値が既知 (10, 20, 30, 40) の場合に、要素内の点'''''p''''' の値を求める。]]
=== 局所座標系と全体座標系の変換 ===
4面体で構成される局所座標系は、基底ベクトル ('''''e'''<sub>u</sub>'', '''''e'''<sub>v</sub>'', '''''e'''<sub>w</sub>'' ) から得られ、全体座標系への変換行列は、局所座標系の座標を''u<sub>p</sub>'', ''v<sub>p</sub>'', ''w<sub>p</sub>'' と置くと以下の通りとなる。

:<math> \boldsymbol{p} = \boldsymbol{p}_0 + u_p\boldsymbol{e}_u + v_p\boldsymbol{e}_v + w_p\boldsymbol{e}_w </math>
または成分で表せば、
:<math>
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
+
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} & x_{ew} \\
y_{eu} & y_{ev} & y_{ew} \\
z_{eu} & z_{ev} & z_{ew}
\end{array}
\right)

\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
v_p \\
w_p
\end{array}
\right)
</math>

ただし
:<math>\begin{align}
&\boldsymbol{e}_u = \boldsymbol{p}_1 - \boldsymbol{p}_0 \\
&\boldsymbol{e}_v = \boldsymbol{p}_2 - \boldsymbol{p}_0 \\
&\boldsymbol{e}_w = \boldsymbol{p}_3 - \boldsymbol{p}_0
\end{align}</math>
である。

全体座標系から局所座標系への変換は、局所座標系から全体座標系への変換行列の[[逆行列]]を求めることで得られる。
:<math>
\left(
\begin{array}{c}
u_p \\
v_p \\
w_p
\end{array}
\right)
=
\left(
\begin{array}{ccc}
x_{eu} & x_{ev} & x_{ew} \\
y_{eu} & y_{ev} & y_{ew} \\
z_{eu} & z_{ev} & z_{ew} 
\end{array}
\right) ^{-1}

\left(
\left(
\begin{array}{c}
x_p \\
y_p \\
z_p \\
\end{array}
\right)
-
\left(
\begin{array}{c}
x_{p0} \\
y_{p0} \\
z_{p0}
\end{array}
\right)
\right)
</math>
<!--逆行列の具体的表示は記事が冗長になるので削除。
尚、<math>3 \times 3</math>の行列を'''A'''と置くと、逆行列は、以下の式により得られる.

<math>
A=
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\
a_{10} & a_{11} & a_{12} \\
a_{20} & a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right)
</math>

<math>
A^{-1} =\frac{1}
{
\left|
\begin{array}{ccc}
a_{00} & a_{01} & a_{02} \\
a_{10} & a_{11} & a_{12} \\
a_{20} & a_{21} & a_{22} \\
\end{array}
\right|
}

\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} & a_{02}a_{21} - a_{01}a_{22} &a_{01}a_{12} - a_{02}a_{11} \\
a_{12}a_{20} - a_{10}a_{22} & a_{00}a_{22} - a_{02}a_{20} &a_{02}a_{10} - a_{00}a_{12} \\
a_{10}a_{21} - a_{11}a_{20} & a_{01}a_{20} - a_{00}a_{21} &a_{00}a_{11} - a_{01}a_{10} \\
\end{array}
\right)

</math>

<math>
=\frac{1}
{
 a_{00}(a_{11}a_{22}- a_{12}a_{21}) - a_{01}(a_{10}a_{22}- a_{12}a_{20})  + a_{02}(a_{10}a_{21}- a_{11}a_{20})
}
\left(
\begin{array}{ccc}
a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} & a_{02}a_{21} - a_{01}a_{22} &a_{01}a_{12} - a_{02}a_{11} \\
a_{12}a_{20} - a_{10}a_{22} & a_{00}a_{22} - a_{02}a_{20} &a_{02}a_{10} - a_{00}a_{12} \\
a_{10}a_{21} - a_{11}a_{20} & a_{01}a_{20} - a_{00}a_{21} &a_{00}a_{11} - a_{01}a_{10} \\
\end{array}
\right)

</math>
-->
===線形補間===
節点'''''p'''''<sub>0</sub>, '''''p'''''<sub>1</sub>, '''''p'''''<sub>2</sub>, '''''p'''''<sub>3</sub> での各値を''C''<sub>0</sub>, ''C''<sub>1</sub>, ''C''<sub>2</sub>, ''C''<sub>3</sub> とすると、点'''''p''''' の値''C'' は
:<math>C=C_0+u_p(C_1-C_0)+v_p(C_2-C_0)+w_p(C_3-C_0)</math>
と表せる。ここで''u<sub>p</sub>'', ''v<sub>p</sub>'', ''w<sub>p</sub>'' は点'''''p''''' の局所座標系での座標である。

*''u'' = 0, ''v'' = 0, ''w'' = 0 の場合には、''C'' = ''C''<sub>0</sub> （'''''p'''''<sub>0</sub> の値）を示す。
*''u'' = 1, ''v'' = 0, ''w'' = 0 の場合には、''C'' = ''C''<sub>1</sub> （'''''p'''''<sub>1</sub> の値）を示す。
*''u'' = 0, ''v'' = 1, ''w'' = 0 の場合には、''C'' = ''C''<sub>2</sub> （'''''p'''''<sub>2</sub> の値）を示す。
*''u'' = 0, ''v'' = 0, ''w'' = 1 の場合には、''C'' = ''C''<sub>3</sub> （'''''p'''''<sub>3</sub> の値）を示す。
*''u'', ''v'', ''w'' &ge; 0 かつ ''u'' + ''v'' + ''w'' &le; 1 の場合には、点'''''p''''' は要素の内部に存在する。
<!--*<math>u<0.0</math>または <math>v<0.0</math>または<math>w<0.0</math>または <math>u+v>1.0</math> の場合には、座標pは要素の外部に存在する。-->

=== 計算例 ===
節点座標が'''''p'''''<sub>0</sub> (0, 0, 0), '''''p'''''<sub>1</sub> (5, 0, 0), '''''p'''''<sub>2</sub> (5, 5, 0), '''''p'''''<sub>3</sub> (0, 0, 5)、各節点の既知量はそれぞれ''C''<sub>0</sub> = 10, ''C''<sub>1</sub> = 20, ''C''<sub>2</sub> = 30, ''C''<sub>3</sub> = 40 とする。

このとき、重心位置'''''p'''''<sub>G</sub> での座標は、(5/2, 5/4, 5/4) で、全体座標系から局所座標系での座標を求めると、 (''u''<sub>G</sub>, ''v''<sub>G</sub>, ''w''<sub>G</sub> ) = (1/4, 1/4, 1/4)となる。これを補間式にあてはめると''C'' = 25 となる。重心位置のため、平均値 (''C''<sub>0</sub> + ''C''<sub>1</sub> + ''C''<sub>2</sub> + ''C''<sub>3</sub>) / 4 と同じになる。

== 関連項目 ==
*[[CAD]]
*[[CAE]]
*[[CG]]
*[[計算科学]]
*[[シミュレーション]]
*[[数値解析]]

{{DEFAULTSORT:ようそないほかん}}
[[Category:補間]]
[[Category:物理数学]]
[[Category:CAD]]
[[Category:CAE]]
[[Category:コンピュータグラフィックス]]
[[Category:数学に関する記事]]