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{{古典力学}}
'''解析力学'''（かいせきりきがく、{{lang-en-short|analytical mechanics}}）とは、一般座標系に対して成り立つ運動方程式を導出して展開される力学体系を言う。その運動方程式は[[ラグランジアン]]や[[ハミルトニアン]]と呼ばれる座標変換に対して不変な量に[[変分法]]と[[最小作用の原理]]等を適用することで導出される<ref group="注">解析力学の体系は基本的には[[ラグランジュ力学]]と[[ハミルトン力学]]により構成される。大貫義郎 「まえがき」『解析力学』 岩波書店、1987年</ref>。

解析力学で用いられる座標変換不変量はふつう相対運動に対しては不変ではないため、座標変換することで運動エネルギーの測定量が変化してしまうような問題は基本的に扱うことができない。

== 概要 ==
力学の理論は大別して静力学（statics）と動力学（dynamics）からなる。古代より研究されてきた静力学は力の釣り合いの理論であり、力の釣り合いとは、ある力が及ぼす作用に対して別の力が存在し、それらが相殺した結果として生じるものである。静力学の目的は、それら相殺が発生する諸法則を一般的な諸原理に基づいて確立することにあり、それら原理は結局のところ梃子の原理（principle of leverage）、力の合成の原理（principle of composition of forces）、仮想仕事の原理（principle of virtual work）の三つの原理に帰着させることができる<ref>{{harvnb|フィールツ|1977}} 付録 p.112</ref>。
現代的には、仮想仕事の原理は次のように表される<ref group="注">ここで、空間に固定したデカルト座標系で静止する n 個の質点の内 i 番目の座標を <math>(x_i, y_i, z_i)</math>、その質点にかかる力の合力を <math>(X_i, Y_i, Z_i)</math> としている。参考 [[#山内(1959)|山内(1959)]] p.149</ref>。

:<math>\sum^{n}_{i=1} ( X_i \delta x_i + Y_i \delta y_i + Z_i \delta z_i ) = 0</math>

一方で動力学は、[[ガリレオ・ガリレイ]]によって最初の基礎が据えられ<ref>{{harvnb|フィールツ|1977}} 付録 p.134</ref>、その運動法則を導き出す諸定理は[[アイザック・ニュートン]]の『[[自然哲学の数学的諸原理]]』（Philosophia Naturalis Principia Mathematica）によって一応の解明がなされた。このとき、ニュートン及び[[ゴットフリート・ライプニッツ|ライプニッツ]]は微分積分法を同時に開発したため、物体の運動の法則というものを解析的な方程式に帰着させることができるようになった。そのため、ニュートン以後に力学を扱った数学者たちは、ニュートンの諸定理を一般化した上でそれらを微分的表現に翻訳するようになった<ref>{{harvnb|フィールツ|1977}}付録 p.137</ref>。特に、[[レオンハルト・オイラー]]は、運動方程式に初めて解析的な表現を与え、さらに定義と論証の連結によって次々に命題を導出する合理的科学として力学体系を提示しようとした<ref>{{harvnb|広重|1968|p=109}}</ref>。

このような中で、[[ジャン・ル・ロン・ダランベール]]は、1743年に出版した『動力学概論』（Traité de Dynamique）において、動力学の問題を解くか少なくとも方程式に表すため、物体の運動の法則を釣り合いの法則に帰着させる方法を提案した<ref>{{harvnb|フィールツ|1977}}付録 p.149</ref>。これは、つまり動力学を静力学に還元する試みだった（[[ダランベールの原理]]）。ここで、ダランベールの原理は現代的には次のように表される<ref group="注">仮想仕事の原理のときと同様に、空間に固定したデカルト座標系で運動する n 個の質点の内 i 番目の座標を <math>(x_i, y_i, z_i)</math>、その質点にかかる力の合力を <math>(F_{x_i}, F_{y_i}, F_{z_i})</math> とする。さらに i 番目の質点の質量を <math>m_i</math> とする。なお、釣り合いのために加えられる力 <math>- m \mathbf{r}</math> を慣性抵抗（force of inertia）と呼ぶ。 参考 [[#山内(1959)|山内(1959)]] p.158, [[#Lanczos(1970)|Lanczos(1970)]] p.88</ref>。

:<math>\sum^{n}_{i=1} \left\{ 
   \left( F_{x_i} - m_i  \ddot{x_i} \right) \delta x_i 
+ \left( F_{y_i} - m_i  \ddot{y_i} \right) \delta y_i 
+ \left( F_{z_i} - m_i  \ddot{z_i} \right) \delta z_i
\right\} = 0</math>

数学者、天文学者であった[[ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュ]]は、1788年に出版した『解析力学』（Mécanique Analytique）において、それまでの静力学及び動力学の歴史を総括した上で、静力学全体がただ一つの基本公式に帰着させることができたのと同様に、動力学全体も一つの一般公式に帰着させることが可能であるとして、『諸物体の運動に関わる諸問題を論ずるための、簡単でもあり、一般的でもある、一つの方法』を導入した<ref>{{harvnb|フィールツ|1977}} 付録 p.150,154-156</ref>が、これが解析力学の始まりである。ラグランジュの言わんとしたことは、上記ダランベールの原理の表式はラグランジアン L というものを導入することで次のように書き換えることができるというものであった。

:<math>\sum^{n}_{i=1} \left\{ 
   \left( \frac{\partial L}{\partial x_i} - \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\frac{\partial L}{\partial \dot{x_i}} \right) \delta x_i 
+ \left( \frac{\partial L}{\partial y_i} - \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\frac{\partial L}{\partial \dot{y_i}} \right) \delta y_i 
+ \left( \frac{\partial L}{\partial z_i} - \frac{ \mathrm{d} }{ \mathrm{d} t }\frac{\partial L}{\partial \dot{z_i}} \right) \delta z_i 
\right\} = 0</math>

これはつまり、ラグランジアンから一元的に運動方程式を導出する方法で、'''一部の'''力学の問題について計算を簡単にする方法だった<ref group="注">マッハも次のように述べている。
: "ここに引用された簡単な諸例は、困難な点をもたず、解析力学の操作の意味を説明するのに十分である。解析力学から力学現象の本性についての新しい'''原理的'''解明を期待してはならない。むしろ原理的認識は、本質的には、解析力学の構築が考えられうる以前に完結していなければならない。解析力学は問題のもっとも簡単な実用的な'''克服'''だけを目的としている。この関係を見誤る人には、この場合にも本質的には'''経済的'''意味をもつラグランジュの偉大な業績は理解されずに終わるであろう。"
:[[#マッハ(1933)|マッハ(1933)]] 下巻 p.260から。
</ref>。

[[幾何光学]]における[[変分原理]]である[[フェルマーの原理]]からの[[類推]]で、[[古典力学]]において[[最小作用の原理]]（モーペルテューイの原理）が発見された。これにより、力学系の問題は、'''[[作用積分]]'''とよばれる量を最小にするような[[軌道 (力学)|軌道]]をもとめる数学の問題になった。

こうして[[座標]]が[[一般化座標|一般座標]]に拡張され、[[ラグランジュ力学|ラグランジュ方程式]]が導き出された<ref group="注">ラグランジュ形式は[[微分幾何学]]とも相性がよく、[[相対性理論]]の分野では必須である。
</ref>。
さらに、ラグランジアンから'''一般運動量'''を定義し、座標と[[運動量]]の[[ルジャンドル変換]]によって、[[ハミルトン力学]]が導かれた<ref group="注">ハミルトン形式はその後の[[量子力学]]とくに[[行列力学]]へと続く。</ref><ref group="注">ラグランジュ方程式は[[微分方程式]]を与えるのに対して、ハミルトンの[[正準方程式]]は[[積分]]を与える。さらにこれから、[[ハミルトン・ヤコビの偏微分方程式]]が得られる。
</ref>。
== 方程式の一般座標化と共変性 ==
直角座標系 <math>x,y</math> において、質点の質量を <math>m</math>、ポテンシャル関数を <math>V(x,y)</math> とすると、運動方程式は、
:<math>m \ddot{x} = - \frac{\partial V}{\partial x},</math> <math>m \ddot{y} = - \frac{\partial V}{\partial y}</math>
と書くことができる。これはニュートンの運動方程式をそのまま表しているため見やすく、また座標系を回転してもその式の形状を変えないという性質（共変性；covariant）を持つが、直角座標系が常に便利というわけではない。例えば中心力場における運動の解析では極座標系の方が適しており、また場合によっては運動座標系で考えなくてはならないときもある。このような新しい座標変数は総称として'''一般化座標'''（generalized coordinates）と呼ぶ<ref>{{harvnb|並木|1991|p=64}}</ref><ref>{{Cite book|和書|title=解析力学|url=https://www.worldcat.org/oclc/1226412674|date=|location=Tōkyō-to Chiyoda-ku|isbn=978-4-00-710221-9|oclc=1226412674|first=昭一郎|last=小出|last2=|year=2017|publisher=岩波書店}}</ref>。

一般座標系を用いる場合、直角座標系のニュートンの運動方程式から一般座標系の運動方程式への変換などが要求されることになる。しかし、'''ニュートンの運動方程式はこのような一般座標系への変換に対しては一般に共変的ではない'''ため、式の形が変わってしまう。

例として、ポテンシャル <math>V(r)</math> で表される中心力場における質量 m の質点の運動を考える。運動は初期位置と初期運動量が決定する平面上で行われることになる。その平面上の直角座標系を <math>x, y</math>、極座標を <math>r( = \sqrt{x^2 + y^2})</math>、<math>\theta(=\arctan(\frac{y}{x}))</math> とする。このとき、極座標系の運動方程式は、<math>l = mr^2\dot{\theta}</math> とすると
:<math>m\ddot{r} = - \frac{\partial}{ \partial r } \left( V + \frac{ l^2 }{ 2mr^2 } \right) </math>、
:<math>\dot{l} = 0</math>
となる。これは直角座標系におけるニュートンの運動方程式の形とは形式的に全く異なる（共変性を持たない）。

このニュートンの運動方程式の一般座標変換に対して共変性を持たないという欠点が解析力学の出発点である。つまり解析力学は一般座標について式の形を変えない運動方程式の表現をもたらすことになるが、その要求を満たすものの一つが[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]である。

=== オイラー＝ラグランジュ方程式の共変性 ===
簡単のために、前節に引き続き2次元平面上で考える。適当な一般化座標を {{Math|''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>}} として、直角座標 {{Math|''x'', ''y''}} を一般化座標で

<math>\begin{align}
x&=x(q_1,q_2)\\
y&=y(q_1,q_2)
\end{align}</math>

とおく (ここでは時間 {{Mvar|t}} に陽には依存しないものとする)。両辺を時間 {{Mvar|t}} で微分すると次の式を得る：

<math>\dot{x}=\frac{\partial x}{\partial q_1}\dot{q}_1+\frac{\partial x}{\partial q_2}\dot{q}_2,</math> <math>\dot{y}=\frac{\partial y}{\partial q_1}\dot{q}_1+\frac{\partial y}{\partial q_2}\dot{q}_2</math>

従って {{Math|{{dot|''x''}}, {{dot|''y''}}}} に対して {{Math|{{dot|''q''}}<sub>1</sub>, {{dot|''q''}}<sub>2</sub>}} は線形であり、次の式が成り立つ：

<math>\frac{\partial \dot{x}}{ \partial \dot{q}_i} =\frac{\partial x}{\partial q_i}, \;\;
\frac{\partial \dot{y}}{ \partial \dot{q}_i} =\frac{\partial y}{\partial q_i}
\;\;\;(i = 1,2)</math>

ラグランジアン {{Mvar|L}} に対して、直角座標 {{Math|''x'', ''y''}} での[[オイラー＝ラグランジュ方程式]]は

<math>\begin{align}
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right)-\frac{\partial L}{\partial x}&=0\\
\frac{d}{dt}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right)-\frac{\partial L}{\partial y}&=0
\end{align}</math>

であるが、このとき {{Math|1=''i'' = 1, 2}} のそれぞれについて

<math>\begin{align}
\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial \dot{q}_i}\right)
&=\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\frac{\partial\dot{x}}{\partial\dot{q}_i}
    +\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\frac{\partial\dot{y}}{\partial\dot{q}_i}\right)\\
&=\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\frac{\partial x}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\frac{\partial y}{\partial q_i}\right)\\
&=\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\right)\frac{\partial x}{\partial q_i}
    +\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\right)\frac{\partial y}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial\dot{x}}\frac{\partial\dot{x}}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial\dot{y}}\frac{\partial\dot{y}}{\partial q_i}\\
\frac{\partial L}{\partial q_i}
&=\frac{\partial L}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_i}
    +\frac{\partial L}{\partial \dot{x}}\frac{\partial \dot{x}}{\partial q_i}
\end{align}</math>

<math>\therefore\mathop{\frac{d}{dt}}\left(\frac{\partial L}{\partial\dot{q}_i}\right)-\frac{\partial L}{\partial q_i}=0</math>

より、一般化座標 {{Math|''q''<sub>1</sub>, ''q''<sub>2</sub>}} でのオイラー=ラグランジュ方程式も同様に成り立つことが示される。座標変換が微分同相であるならば逆も成り立つため、オイラー=ラグランジュ方程式の共変性が示される。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Notelist2}}
=== 出典 ===
<references />

== 関連項目 ==
{{Wikibooks}}
* [[変分法 (解析力学)]] - [[有限要素法]]
* [[ネーターの定理]]
* [[オイラー＝ラグランジュ方程式]]
* [[正準方程式]]
* [[ポアソン括弧]]
* [[アイコナール方程式]]
* [[リウヴィルの定理 (物理学)]]
* [[一般相対性原理]]

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2022年2月}}
===洋書===
* {{cite book| author=Cornelius Lanczos | title=The variational principles of mechanics | edition=4th | year=1970 | publisher=Dover publications, inc. | ref=Lanczos(1970) }}
* ''Analytical Mechanics'', L.N. Hand, J.D. Finch, [[:en:Cambridge University Press]], 2008, ISBN 978-0-521-57572-0
* ''Classical Mechanics'', T.W.B. Kibble, European Physics Series, McGraw-Hill (UK), 1973, ISBN 0-07-084018-0
* Arnolʹd, VI (1989). ''Mathematical methods of classical mechanics'' (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-96890-2.
* Schaub, H., & Junkins, J. L. (2005). ''Analytical mechanics of space systems''. American Institute of Aeronautics and Astronautics.
* Lurie, A. I. (2013). ''Analytical mechanics''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* Libermann, P., & Marle, C. M. (2012). ''Symplectic geometry and analytical mechanics''. [[:en:Springer Science & Business Media]].
* De León, M., & Rodrigues, P. R. (2011). ''Methods of differential geometry in analytical mechanics''. Elsevier.
* Fasano, A., & Marmi, S. (2006). ''Analytical mechanics: an introduction''. OUP Oxford.
* Johns, O. (2011). ''Analytical mechanics for relativity and quantum mechanics''. OUP Oxford.
===和書===
* 高橋陽一郎：「力学と微分方程式」、岩波書店（現代数学への入門）、ISBN 4-00-006875-X (2004年2月5日).
* 深谷賢治：「解析力学と微分形式」、岩波書店（現代数学への入門）、ISBN 4-00-006884-9 (2004年4月6日).
* {{cite book| 和書 | author=山内 恭彦 | authorlink=山内恭彦| title=一般力学 | edition=増補第三版 | year=1959 | publisher=[[岩波書店]] | ref=山内(1959) }}
* {{cite book| 和書 | author=広重徹 | title=物理学史I | series=新物理学シリーズ | volume=5 | publisher=[[培風館]] | year=1968 | ref=harv }}
* {{cite book| 和書 | author=M. フィールツ | title=力学の発展史 | editor=喜多 秀次,田村 松平(訳) | publisher=みすず書房 | year=1977 | ref=harv }}<small>（付録にラグランジュ（1788）『解析力学』の静力学の部・動力学の部の各部の第１章の訳出がある）</small>
* {{cite book | 和書 | author1=エリ・デ・ランダウ|author2=イェ・エム・リフシッツ | title=力学 | series=ランダウ＝リフシッツ理論物理学教程 | edition=増訂第３版 | year=1977 | publisher=東京図書 | ref=ランダウ＝リフシッツ力学 }}
* {{cite book | 和書 | author=並木美喜雄 | title=解析力学 | series=パリティ物理学コース | publisher=丸善出版 | year=1991 | ref=harv }}
* {{Cite book|和書|title=解析力学|year=1998|publisher=朝倉書店|author=山本義隆|isbn=9784254136715|oclc=287649730}}
* 伊藤秀一：「常微分方程式と解析力学」、共立出版（共立講座21世紀の数学 11）、ISBN 4-320-01563-0 (1998年1月25日).
* 村井信行：『拘束系の力学』、日本評論社、ISBN 978-4-535-78249-5 (1998年6月10日).
* {{cite book|和書| author=エルンスト マッハ | title=マッハ力学史 ー古典力学の発展と批判ー | volume=上・下 | edition=原書第九版 | editor=岩野秀明(訳) | publisher=筑摩書房 | year=2006 | ref=マッハ(1933) }}
* 近藤慶一：「解析力学講義：古典力学を越えて」、共立出版、ISBN 978-4-320-03617-8 (2022年1月15日)．

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