解析半群のソースを表示

[[数学]]、特に[[関数解析学]]の分野における'''解析半群'''（かいせきはんぐん、{{Lang-en-short|analytic semigroup}}）とは、[[強連続半群]]の一種である。解析半群は、[[偏微分方程式]]の解において用いられる。[[強連続半群]]と比較して解析半群は、初期値問題の解のより良い[[滑らかな関数|正則性]]や、[[C0半群|無限小生成作用素]]の摂動に関するより良い結果や、その[[半群]]と、無限小生成作用素の[[スペクトル (関数解析学)|スペクトル]]との関係などを与える。

==定義==
Γ(''t'')&nbsp;=&nbsp;exp(''At'') を、無限小生成作用素 ''A'' を備えた、[[バナッハ空間]] (''X'',&nbsp;||·||) 上の強連続一パラメータ半群とする。Γ は次を満たすとき、'''解析半群'''と呼ばれる:
* ある 0&nbsp;&lt;&nbsp;''θ''&nbsp;&lt;&nbsp;''π''&nbsp;⁄&nbsp;2 に対して、[[連続線型作用素]] exp(''At'')&nbsp;:&nbsp;''X''&nbsp;→&nbsp;''X'' は ''t''&nbsp;∈&nbsp;Δ<sub>''θ''</sub> へと拡張される。ここで

::<math>\Delta_{\theta} = \{ 0 \} \cup \{ t \in \mathbb{C} : | \mathrm{arg}(t) | < \theta \} </math>

:である。また、''s'',&nbsp;''t''&nbsp;&isin;&nbsp;&Delta;<sub>''&theta;''</sub> に対して、通常の半群の条件 exp(''A''0)&nbsp;=&nbsp;id および exp(''A''(''t''&nbsp;+&nbsp;''s''))&nbsp;=&nbsp;exp(''At'')exp(''As'')　が成立し、各 ''x''&nbsp;&isin;&nbsp;''X'' に対して、exp(''At'')''x'' は ''t'' の[[連続関数]]である。

* すべての ''t''&nbsp;∈&nbsp;Δ<sub>''θ''</sub>&nbsp;\&nbsp;{0} に対して、exp(''At'') は{{仮リンク|一様位相|label=一様作用素位相|en|uniform topology}}の意味において、''t'' について[[解析関数|解析的]]である。

==特徴==
解析半群の無限小生成作用素は、次に述べる特徴を持つ:

バナッハ空間 ''X'' 上で[[稠密に定義された作用素|稠密に定義された]][[閉作用素|閉]][[線型作用素]] ''A'' が解析半群の生成素であるための必要十分条件は、半平面 Re(''λ'')&nbsp;&gt;&nbsp;''ω'' が ''A'' の[[レゾルベント集合]]に含まれ、

:<math>\| R_{\lambda} (A) \| \leq \frac{C}{| \lambda - \omega |}</math>

が Re(''λ'')&nbsp;&gt;&nbsp;''ω'' に対して成立する定数 ''C'' が存在するような、ある ''ω''&nbsp;∈&nbsp;'''R''' が存在することである。このとき、そのようなレゾルベント集合は実際には、ある ''δ''&nbsp;&gt;&nbsp;0 に対して、扇状の領域

:<math>\left\{ \lambda \in \mathbf{C} : | \mathrm{arg} (\lambda - \omega) | < \frac{\pi}{2} + \delta \right\}</math>

を含んでいる。そして、上と同様の不等式がこの領域において成立する。このとき、半群は

:<math>\exp (At) = \frac1{2 \pi i} \int_{\gamma} e^{\lambda t} ( \lambda \mathrm{id} - A )^{-1} \, \mathrm{d} \lambda,</math>

と表される。ここで ''γ'' は、扇状の領域

:<math>\big\{ \lambda \in \mathbf{C} : | \mathrm{arg} (\lambda - \omega) | \leq \theta \big\},</math>

に含まれるような、''e''<sup>&minus;''iθ''</sup>∞ から ''e''<sup>+''iθ''</sup>∞ への任意の曲線である。ただし ''π''&nbsp;⁄&nbsp;2&nbsp;&lt;&nbsp;''θ''&nbsp;&lt;&nbsp;''π''&nbsp;⁄&nbsp;2&nbsp;+&nbsp;''δ'' とする。

==参考文献==
* {{cite book
| last = Renardy
| first = Michael
| coauthors = Rogers, Robert C.
| title = An introduction to partial differential equations
| series = Texts in Applied Mathematics 13
| edition = Second edition
| publisher = Springer-Verlag
| location = New York
| year = 2004
| pages = xiv+434
| isbn = 0-387-00444-0
| mr = 2028503
}}

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