解析的トーションのソースを表示

{{要改訳}}

'''ライデマイスタートーション'''（{{lang-en-short|Reidemeister torsion}}）または'''Rトーション'''、'''ライデマイスター・フランツトーション'''とは、{{仮リンク|クルト・ライデマイスター|en|Kurt Reidemeister}}が{{仮リンク|三次元多様体|en|3-manifold}}に対して導入した[[多様体]]の[[位相不変量]]である {{harv|Reidemeister|1935}}。さらに、{{仮リンク|ヴォルフガング・フランツ|de|Wolfgang Franz (Mathematiker)}}と[[ジョルジュ・ド・ラーム]]によってより高次元の場合へと一般化された ({{harvnb|Franz|1935}}, {{harvnb|de Rham|1936}})。

ライデマイスタートーションに対し、その解析的類似として{{仮リンク|ダニエル・バリル・レイ|de|Daniel Burrill Ray}}と[[イサドール・シンガー]]が導入したのが'''解析的トーション'''（{{lang-en-short|analytic torsion}}）または'''レイ・シンガートーション'''であり、こちらは[[リーマン多様体]]の位相不変量である ({{harvs|txt=yes|nb=yes|last1=Ray|last2=Singer|year1=1971|year2=1973a|year3=1973b}})。レイとシンガーは「コンパクトなリーマン多様体において、ライデマイスタートーションと解析的トーションは一致する」と予想した。この予想は{{仮リンク|ジェフ・チーガー|en|Jeff Cheeger}}と{{仮リンク|ヴェルナー・ミュラー|en|Werner Müller (mathematician)}}により証明された ({{harvs|txt=yes|nb=yes|last=Cheeger|year1=1977|year2=1979}}, {{harvnb|Müller|1978}})。

[[代数的位相幾何学]]において、[[ホモトピー同値]]であり[[位相同型]]でない空間を識別できる不変量として最初に与えられたのがライデマイスタートーションであり、これは[[レンズ空間]]の分類にも用いられる。それゆえ、これを以って[[幾何学的トポロジー]]という分野が誕生したと見ることができる。

このほかライデマイスタートーションは{{仮リンク|ホワイトヘッドトーション|en|Whitehead torsion}}と密接な関係を持ち ({{harvnb|Milnor|1966}})、また[[数論トポロジー|数論的位相幾何学]]においては大きな動機付けの一つとなっている {{harv|Mazur|}}。トーションに関する近年の研究は書籍 {{harvtxt|Turaev|2002}}, {{harvs|txt=yes|last=Nicolaescu|year1=2002|year2=2003}} を参照。

== 解析的トーションの定義 ==
''M'' をリーマン多様体、''E'' を ''M'' 上の[[ベクトルバンドル]]とすると、''E'' に値を持つ ''i'' -形式に作用する[[ラプラス作用素]]が存在する。''i'' -形式上のラプラス作用素の固有値を &lambda;<sub>''j''</sub> とすると、大きな ''s'' に対してゼータ函数 &zeta;<sub>''i''</sub> が次のように定義される。

:<math>\zeta_i(s) = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j^{-s}</math>

このゼータ函数は[[解析接続]]により、全複素平面へ拡張される。ゼータ正規化された''i'' -形式上に作用するのラプラス作用素の[[行列式]]は次の式となる。

:<math>\Delta_i=\exp(-\zeta^\prime_i(0))</math>

これは形式的には、''i'' -形式上に作用するのラプラス作用素の正の値の固有値の積である。'''解析的トーション''' ''T''(''M'',''E'') は次のように定義される。

:<math>T(M,E) = \exp\left(\sum_i (-1)^ii \zeta^\prime_i(0)/2\right) = \prod_i\Delta_i^{-(-1)^ii/2}.</math>
<!--==Definition of analytic torsion==
If ''M'' is a Riemannian manifold and ''E'' a vector bundle over ''M'', then there is a [[Laplacian operator]] acting on the ''i''-forms with values in ''E''. If the [[eigenvalue]]s on ''i''-forms are λ<sub>''j''</sub> then the zeta function ζ<sub>''i''</sub> is defined to be

:<math>\zeta_i(s) = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j^{-s}</math>

for ''s'' large, and this is extended to all complex ''s'' by [[analytic continuation]].
The zeta regularized determinant of the Laplacian acting on ''i''-forms is

:<math>\Delta_i=\exp(-\zeta^\prime_i(0))</math>

which is formally the product of the positive eigenvalues of the laplacian acting on ''i''-forms.
The '''analytic torsion''' ''T''(''M'',''E'') is defined to be

:<math>T(M,E) = \exp\left(\sum_i (-1)^ii \zeta^\prime_i(0)/2\right) = \prod_i\Delta_i^{-(-1)^ii/2}.</math>-->

== ライデマイスタートーションの定義 ==
''X'' を[[基本群]] &pi; := &pi;<sub>1</sub>(''X'' ) と[[被覆空間#普遍被覆|普遍被覆]] <math>{\tilde X}</math> を持つ有限で連結な[[CW複体]]とし、<math>U</math> を有限次元の直交な <math>\pi</math>-表現とする。さらに全ての ''n'' に対し、

:<math>H^\pi_n(X;U) := H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})) = 0</math>

とする。<math>C_*({\tilde X})</math> についての胞体の基底と ''U'' についての直交 '''R''' -基底を固定すると、<math>D_* := U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})</math> は '''R''' -鎖体に有限で自由な基底を持ち[[可縮]]となる。<math>\gamma_*: D_* \to D_{*+1}</math> を D<sub>*</sub> の任意の鎖収縮、つまりすべての ''n'' に対して <math>d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = \mathrm{id}_{D_n}</math> とすると、<math>D_{odd} := \oplus_{n \, odd} \, D_n</math>, <math>D_{even} := \oplus_{n \, even} \, D_n</math> として、同型 <math>(d_* + \gamma_*)_{odd}: D_{odd} \to D_{even}</math> を得る。'''ライデマイスタートーション''' を次のように定義する。

:<math>\rho(X;U) := |\det(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}</math>

ここで ''A'' は与えられた基底に関する <math>(d_* + \gamma_*)_{odd}</math> の行列である。ライデマイスタートーション <math>\rho(X;U)</math> は <math>C_*({\tilde X})</math>の胞体の基底の選択や、''U'' についての直交基底の選択や、鎖体の縮め方 <math>\gamma_*</math> の選択にはよらない。

''M'' をコンパクトで滑らかな多様体で、<math>\rho:\pi(M)\rightarrow GL(E)</math> をユニモジュラー表現とする。''M'' は滑らかな三角分割を持つ。体積 <math>\mu\in\det H_*(M)</math> の任意の選択について、不変量 <math>\tau_M(\rho:\mu)\in\mathbf{R}^+</math> を得るので、この正の実数 <math>\tau_M(\rho:\mu)</math> を &rho; と &mu; についての多様体 ''M'' のライデマイスタートーションと呼ぶことにする。
<!--==Definition of Reidemeister torsion==

Let <math>X</math> be a finite connected [[CW complex|CW-complex]] with [[fundamental group]] <math>\pi := \pi_1(X)</math>
and [[universal cover]] <math>{\tilde X}</math>, and let <math>U</math> be an orthogonal finite-dimensional <math>\pi</math>-representation. Suppose that

:<math>H^\pi_n(X;U) := H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})) = 0</math>

for all n. If we fix a cellular basis for <math>C_*({\tilde X})</math> and an orthogonal <math>\mathbf{R}</math>-basis for <math>U</math>, then <math>D_* := U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})</math> is a contractible finite based free <math>\mathbf{R}</math>-chain complex. Let <math>\gamma_*: D_* \to D_{*+1}</math> be any chain contraction of D<sub>*</sub>, i.e. <math>d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = id_{D_n}</math> for all n. We obtain an isomorphism <math>(d_* + \gamma_*)_{odd}: D_{odd} \to D_{even}</math> with <math>D_{odd} := \oplus_{n \, odd} \, D_n</math>, <math>D_{even} := \oplus_{n \, even} \, D_n</math>. We define the '''Reidemeister torsion'''

:<math>\rho(X;U) := |\mathop{det}(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}</math>

where A is the matrix of <math>(d_* + \gamma_*)_{odd}</math> with respect to the given bases. The Reidemeister torsion <math>\rho(X;U)</math> is independent of the choice of the cellular basis for <math>C_*({\tilde X})</math>, the orthogonal basis for <math>U</math> and the chain contraction <math>\gamma_*</math>.

Let <math>M</math> be a compact smooth manifold, and let <math>\rho:\pi(M)\rightarrow GL(E)</math> be a unimodular representation. <math>M</math> has a smooth triangulation. For any choice of a volume <math>\mu\in\mathop{det}H_*(M)</math>, we get an invariant <math>\tau_M(\rho:\mu)\in\mathbf{R}^+</math>. Then we call the positive real number <math>\tau_M(\rho:\mu)</math> the Reidemiester torsion of the manifold <math>M</math> respect to <math>\rho</math> and <math>\mu</math>.-->

== ライデマイスター小史 ==
ライデマイスタートーションは、最初はライデマイスター{{harv|Reidemeister|1935}}により、3-次元[[レンズ空間]]の組み合わせ的論な分類に使われた。高次元への一般化はフランツによりなされた。この分類は、[[同相]]ではないが[[ホモトピー同値]]な 3 次元多様体の例を含んでいる。1935年当時、その分類は[[PL 同相]]の差を除いた分類でしか無かったが、後に {{harv|Brody|1960}} はこの分類が実は、[[同相]]の差を除いた分類となっていることを示した。

J. H. C. ホワイトヘッドは有限複体の間のホモトピーの「トーション」を定義した。これはライデマイスター、フランツ、ドラムの考えたライデマイスタートーションの直接の一般化であるが、より微妙な不変量である。{{仮リンク|ホワイトヘッドトーション|en|Whitehead torsion}} は非自明な基本群を持つ組み合わせ的、もしくは微分可能多様体の研究の重要なツールを提供し、密接に｢単純ホモトピータイプ｣の考えに関連している。{{harv|Milnor|1966}} を参照。

1960年にミルナーは多様体のトーション不変量の双対関係を発見し、結び目の（ツイストした）アレクサンダー多項式が、''S''<sup>3</sup> における結び目補空間のライデマイスタートーションであることを示した{{harv|Milnor|1962}}。各々の ''q'' に対し、[[ポアンカレ双対|ポアンカレの双対性]] <math>P_o</math> は、
:<math>P_o:\det (H_q(M))\stackrel{\sim}{\longrightarrow}(\det (H_{n-q}(M)))^{-1}</math>
を導くので、
:<math>\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t)</math>
を得る。結び目補空間の基本群の表現は、そこで中心的な役割を果たす。これが結び目理論とトーション不変量の関係を与え、また[[数論トポロジー]]への動機ともなった。
<!--==A short history of Reidemeister torsion==

Reidemeister torsion was first used to combinatorially classify 3-dimensional [[lens space]]s in {{harv|Reidemeister|1935}} by Reidemeister, and in higher-dimensional spaces by Franz. The classification includes examples of [[homotopy equivalent]] 3-dimensional manifolds which are not [[homeomorphic]] – at the time (1935) the classification was only up to [[PL homeomorphism]], but later {{harv|Brody|1960}} showed that this was in fact a classification up to [[homeomorphism]].

J. H. C. Whitehead defined the "torsion" of a homotopy equivalence between finite complexes. This is a direct generalization of the Reidemeister, Franz, and de Rham concept; but is a more delicate invariant. [[Whitehead torsion]] provides a key tool for the study of combinatorial or differentiable manifolds with nontrivial fundamental group and is closely related to the concept of "simple homotopy type." see {{harv|Milnor|1966}}

In 1960 Milnor discovered the duality relation of torsion invariants of manifolds and show that the (twisted) Alexander polynomial of knots is the Reidemister torsion of its knot complement in ''S''<sup>3</sup>. {{harv|Milnor|1962}} For each ''q'' the [[Poincaré duality]] <math>P_o</math> induces
:<math>P_o:\operatorname{det}(H_q(M))\stackrel{\sim}{\longrightarrow}(\operatorname{det}(H_{n-q}(M)))^{-1}</math>
and then we obtain
:<math>\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t).</math>
The representation of the fundamental group of knot complement plays a central role in them. It gives the relation between knot theory and torsion invariants.-->

== チーガー-ミューラーの定理 ==
(''M'' , ''g'' ) を向きづけ可能な ''n'' 次元リーマン多様体とし、<math>\rho:\pi(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)</math> を ''N'' 次元実ベクトル空間上への ''M'' の基本群の表現とすると、''E<sub>q</sub>'' の平坦性のために、ド・ラーム複体

:<math>\Lambda^0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}\Lambda^1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\Lambda^n</math>

と、形式的な随伴作用素 ''d<sub>p</sub>'' および &delta;<sub>''p''</sub> を定義できる。さらに通常のように''p'' -形式上のラプラシアン

:<math>\Delta_p=\delta_p d_p+d_{p-1}\delta_{p-1}.</math>

を得る。&part;''M'' = 0 を仮定すると、ラプラシアンは対称的で半正値な楕円作用素で、点スペクトル
:<math>0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots\rightarrow\infty</math>

を持つ。上の定義と同様に、&Lambda;<sup>''q''</sup> (''E'' ) 上のラプラシアン &Delta;<sub>''q''</sub> に付随するゼータ函数を

:<math>\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\mathop{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \mathrm{Re}(s)>\frac{n}{2}</math>
と定義することができる。ここに ''P'' はラプラシアン &Delta;<sub>''q''</sub> の、''L''<sup>2</sup> &Lambda;(''E'' ) の核空間 <math>\mathcal{H}^q(E)</math> の上への写像である。

1967年、セーレイは <math>\zeta_q(s;\rho)</math> が ''s'' = 0 で正則な <math>s\in\mathbf{C}</math> の有理型函数に拡張することができることを証明した{{harv|Seeley|1967}}。

直交表現の場合は、解析トーション <math>T_M(\rho;E)</math> を
:<math>T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-l)^qq\frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr).</math>
により定義できる。

1971に、D.B. レイとI.M. シンガーは、任意のユニタリ表現 &rho; に対し <math>T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)</math> であろうことを予想した{{harvs|txt=yes|last1=Ray|last2=Singer|year1=1971}}。 J. Cheeger {{harvs|txt=yes|last=Cheeger|year1=1977|year2=1979}} と W. Muller {{harvtxt|Müller|1978}} は、このレイ-シンガーの予想を独立に証明した。彼らのアイデアはトーションの対数を考え、そのトレースを取るというものである。最初に奇数次元の多様体に対して証明し、それから技術的に困難がある偶数に対して証明した。

後年、[[アティヤ＝シンガーの指数定理|アティヤ・パトーディ・シンガーの指数定理]]とともに、2つのトーションが同値であるというチーガー-ミューラーの定理は、[[チャーン・サイモンズ理論|チャーン-サイモンズ摂動論]]の基礎をなしている。このもう一つの側面として、1978年に出されたA. シュワルツの論文が重要である。
<!--==Cheeger–Müller theorem==

Let <math>(M,g)</math> be an orientable compact Riemann manifold of dimension n and <math>\rho:\pi(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)</math> a representation of the fundamental group of <math>M</math> on a real vector space of dimension N. Then we can define the De Rham complex
:<math>\Lambda^0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}\Lambda^1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\Lambda^n</math>
and the formal adjoint <math>d_p</math> and <math>\delta_p</math> due to the flatness of <math>E_q</math>. And we also obtain the Laplacian on p-form as usual
:<math>\Delta_p=\delta_p d_p+d_{p-1}\delta_{p-1}.</math>

We assume <math>\partial M=0</math>, then the Laplacian is a symmetric positive simipositive elliptic operator with pure point spectrum
:<math>0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots\rightarrow\infty.</math>
As same as the above definition we can define the zeta function associated with the Laplacian <math>\Delta_q</math> on <math>\Lambda^q(E)</math> by
:<math>\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\mathop{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \mathop{Re}(s)>\frac{n}{2}</math>
where <math>P</math> is the projection of <math>L^2 \Lambda(E)</math> onto the kernel space <math>\mathcal{H}^q(E)</math> of the Laplacian <math>\Delta_q</math>.

In 1967 Seeley proved that <math>\zeta_q(s;\rho)</math> extends to a meromorphic function of <math>s\in\mathbf{C}</math> which is holomorphic at <math>s=0</math>. {{harv|Seeley|1967}}

As in the case of an orthogonal representation, we define the analytic torsion <math>T_M(\rho;E)</math> by
:<math>T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-l)^qq\frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr).</math>

In 1971 D.B. Ray and I.M. Singer conjectured that <math>T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)</math> for any unitary representation <math>\rho</math>.{{harvs|txt=yes|last1=Ray|last2=Singer|year1=1971}} Independently, J. Cheeger {{harvs|txt=yes|last=Cheeger|year1=1977|year2=1979}} and W. Muller {{harvtxt|Müller|1978}} proved the Ray–Singer conjecture. Their idea is considering the logarithm of torsions and their traces. Firstly for odd dimensional manifolds they had proved the equality of two torsions and then for even dimensional, which have some technical difficulties.

In later years, along with [[Atiyah–Singer index theorem|Atiyah–Patodi–Singer theorem]], the Cheeger–Müller theorem, i.e. the equivalence of two torsions, forms the basis of [[Chern–Simons theory|Chern–Simons perturbation theory]].-->

== A. シュワルツの論文 ==

== 参考文献 ==
* {{citation| doi=10.2307/1969884| first=E. J. |last=Brody |title=The topological classification of the lens spaces| jstor=1969884|journal=[[Annals of Mathematics]] | series=2 | volume=71| issue=1 | year=1960 | pages=163–184}}
*{{citation
|journal=PNAS | year= 1977 | issue= 7 | pages=2651–2654
|title=Analytic Torsion and Reidemeister Torsion
|first=Jeff |last=Cheeger |authorlink=Jeff Cheeger
|url=http://www.pnas.org/cgi/content/abstract/74/7/2651|doi=10.1073/pnas.74.7.2651|volume=74|pmid=16592411|pmc=431228
|mr=0451312}}
*{{citation
|last=Cheeger|first= Jeff
|title=Analytic torsion and the heat equation
|journal=Ann. Of Math. (2) |volume=109 |year=1979|issue= 2|pages= 259–322|doi=10.2307/1971113|jstor=1971113|publisher=Annals of Mathematics
|mr=0528965
}}
*{{citation|first=W.|last= Franz|title=Ueber die Torsion einer Ueberdeckung|journal=  J. Reine Angew. Math. |volume= 173  |year=1935|pages= 245–254}}
*{{citation
|last=Milnor|first= J.
|title=A Duality Theorem for Reidemeister Torsion.
|journal=Ann. of Math. |volume=76
|issue=1 |year=1962 |pages=137–138 |doi=10.2307/1970268}}
*{{citation
|last=Milnor|first= J.
|title=Whitehead torsion.
|journal=Bull. Amer. Math. Soc. |volume=72
|issue=3 |year=1966 |pages=358–426
|url=http://www.ams.org/bull/1966-72-03/S0002-9904-1966-11484-2/home.html|doi=10.1090/S0002-9904-1966-11484-2
|mr=0196736}}
*{{SpringerEOM|title=Reidemeister torsion|last=Mishchenko|first=A.S. |urlname=Reidemeister_torsion}}
*{{citation
|last=Müller|first= Werner
|title=Analytic torsion and R-torsion of Riemannian manifolds.
|journal=Adv. In Math.|volume= 28 |year=1978|issue= 3|pages=233–305
|doi=10.1016/0001-8708(78)90116-0
|mr=0498252 }}
*{{citation|first=Liviu I.|last= Nicolaescu|year=2002|url=http://www.nd.edu/~lnicolae/Torsion.pdf|title=Notes on the Reidemeister torsion}} Online book
*{{citation|last=Nicolaescu|first= Liviu I.|title= The Reidemeister torsion of 3-manifolds|series= de Gruyter Studies in Mathematics|volume= 30|publisher=Walter de Gruyter & Co.|publication-place= Berlin|year= 2003|pages= xiv+249 | isbn=3-11-017383-2|mr=1968575}}
*{{citation
|last= Ray|first= D. B.|last2= Singer|first2= I. M.
|title=Analytic torsion for complex manifolds.
|journal=Ann. Of Math. (2) |volume= 98  |year=1973a|pages= 154–177|doi=10.2307/1970909|jstor=1970909|issue=1|publisher=Annals of Mathematics
|mr= 0383463
}}
*{{citation
|last= Ray|first= D. B.|last2= Singer|first2= I. M.
|chapter=Analytic torsion.|title= Partial differential equations |series=Proc. Sympos. Pure Math.|volume= XXIII |pages= 167–181|publisher= Amer. Math. Soc.|publication-place= Providence, R.I.|year=1973b
|mr= 0339293}}
*{{citation
|last= Ray|first= D. B.|last2= Singer|first2= I. M.
|title=''R''-torsion and the Laplacian on Riemannian manifolds.
|journal=Advances in Math.
|volume=7
|issue= 2|pages=145–210|year=1971|doi=10.1016/0001-8708(71)90045-4
|mr= 0295381 }}
*{{citation|first=Kurt |last=Reidemeister|authorlink=Kurt Reidemeister|title=Homotopieringe und Linsenräume|journal=  Abh. Math. Sem. Univ. Hamburg |volume= 11  |year=1935|pages= 102–109|doi=10.1007/BF02940717}}
*{{citation|first=G. |last=de Rham|title=Sur les nouveaux invariants de M. Reidemeister|journal=  Mat. Sb. ,|volume=1 |issue= 5  |year=1936|pages= 737–743}}
*{{citation
|last= Turaev|first= Vladimir|title= Torsions of 3-dimensional manifolds|series=Progress in Mathematics|volume= 208 |publisher=Birkhäuser Verlag|publication-place= Basel|year= 2002|pages= x+196 |ISBN= 3-7643-6911-6
|mr= 1958479}}
*{{citation
| year= |title=REMARKS ON THE ALEXANDER POLYNOMIAL
|first=Barry |last=Mazur |url=http://www.math.harvard.edu/~mazur/papers/alexander_polynomial.pdf }}
*{{Citation | last1=Seeley | first1=R. T. | editor1-last=Calderón | editor1-first=Alberto P. | title=Singular Integrals (Proc. Sympos. Pure Math., Chicago, Ill., 1966) | publisher=Amer. Math. Soc. | location=Providence, R.I. | series=Proceedings of Symposia in Pure Mathematics | isbn=978-0-8218-1410-9 | mr=0237943 | year=1967 | volume=10 | chapter=Complex powers of an elliptic operator | pages=288–307}}

{{デフォルトソート:かいせきてきとおしよん}}
[[Category:3次元多様体]]
[[Category:手術理論]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:多様体論]]
[[Category:微分幾何学]]