計算可能解析学のソースを表示

{{No footnotes|date=2019年12月}}
[[数学]]ならびに[[計算機科学]]において、'''計算可能解析学'''（けいさんかのうかいせきがく、{{lang-en|computable analysis}}）とは、[[計算可能性理論]]の観点から[[解析学]]を研究する分野である。これは[[計算可能性理論|計算可能]]な仕方で展開可能な[[実解析学]]や[[関数解析学]]の部分と関わる。この分野は[[構成的解析学]]や[[数値解析]]と密接に関係する。

==基本的な構成==

===計算可能実数===
{{main|計算可能数}}
[[計算可能数]]は[[実数]]であって、有限かつ停止する[[アルゴリズム]]によって、どんな望みの精度でも計算できるようなものである。これらはまた'''再帰的数'''（帰納的数、recursive number）あるいは'''計算可能実数'''（computable reals）としても知られる。

===計算可能実関数===
{{main|計算可能実関数}}
[[関数 (数学)|関数]] <math>f \colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> が'''列計算可能'''（sequentially computable）とは、任意の計算可能実数の計算可能[[列 (数学)|数列]] <math>\{x_i\}_{i=1}^\infty</math> に対し、列 <math>\{f(x_i) \}_{i=1}^\infty</math> が再び[[計算可能]]となることである。

== 基本的な結果 ==
[[計算可能実数]]の全体は[[実閉体]]を成す（Weihrauch 2000, p. 180）。計算可能実数上の[[等号]]は計算不可能であるが、相等しくない計算可能実数に対する[[大小関係]]は計算可能である。

[[計算可能実関数]]は計算可能実数を計算可能実数に写す。計算可能実関数の[[合成関数]]は再び計算可能となる。任意の計算可能実関数は[[連続関数|連続]]である（Weihrauch 2000, p. 6）。

[[リーマン積分]]は計算可能な作用素である：換言すれば、任意の計算可能関数について、その積分を数値的に評価するアルゴリズムがある、

[[一様ノルム]]を取る演算もまた計算可能である。これがリーマン積分の計算可能性を導く。

実数値関数の微分作用素は計算'''不可能'''であるが、[[複素関数]]に対するそれは計算'''可能'''である。後者の結果は[[コーシーの積分公式]]および積分の計算可能性から従う。前者の否定的結果は（実数値関数上の）微分が[[不連続線型写像|不連続]]であるという事実による。これは、[[実解析]]と[[複素解析]]の間の隔たりを示している。また、しばしば[[コーシーの積分公式|前述の積分公式]]や[[自動微分]]によってバイパスされる、[[数値微分]]の困難さも示している。

== 参考文献 ==
{{参照方法|date=2019年12月|section=1}}
* Oliver Aberth (1980), ''Computable analysis'', [[McGraw-Hill]], {{ISBN2|0-0700-0079-4}}.
* [[Marian Pour-El]] and Ian Richards, ''Computability in Analysis and Physics'', [[Springer-Verlag]], 1989.
* Stephen G. Simpson (1999), ''Subsystems of second-order arithmetic''.
* Klaus Weihrauch (2000), ''Computable analysis'', Springer, {{ISBN2|3-540-66817-9}}.

== 関連項目 ==
* [[スペッカー列]]

== 外部リンク ==
* [http://cca-net.de/ Computability and Complexity in Analysis Network]

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{{デフォルトソート:けいさんかのうかいせきかく}}
[[Category:計算可能解析学|*]]
[[Category:解析学]]
[[Category:計算可能性理論]]
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