計量テンソルのソースを表示

[[リーマン幾何学]]において'''計量テンソル'''（けいりょうテンソル、{{lang-en-short|metric tensor}}）とは、空間の局所ごとの構造を表す[[階数]]（{{en|rank}}）2の[[テンソル]]である。[[距離]]と[[角度]]の定義を与える。[[多様体]]が与えられたとき、多様体の接空間で、滑らかに変化する非負の計量テンソルが得られるときにその多様体を[[リーマン多様体]]と呼ぶ。そのため、計量テンソルは、'''リーマン計量'''（{{en|Riemannian metric}}）とも呼ばれる。

ひとたびある座標系 {{math|''x''<sup>''i''</sup>}} が選ばれると、計量テンソルは[[行列]]で表される。通常、文字 {{math|''G''}} があてがわれ、各成分は {{math| ''g''<sub>''ij''</sub>}} とされる。Gは、ユークリッド空間のように平らな領域では単位行列となる。

以下では、添え字の和に関して[[アインシュタインの縮約記法]]に従う。

時刻{{math|''t''<sub>''1''</sub>}} から {{math|''t''<sub>''2''</sub>}} までの曲線の長さは、{{math|''t''}} をパラメータとして、
:<math>L = \int_{t_1}^{t_2} \sqrt{ g_{ij}{dx^i\over dt}{dx^j\over dt}}dt \ </math>
と定義される。

この定義からわかる通り、 {{math| ''g''<sub>''ij''</sub>}} は、２点間の距離に対する各軸成分の寄与を表す係数である。

このとき2つの接ベクトル（{{en|tangent vector}}）<math>U=u^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> と <math>V=v^i{\partial\over \partial x^i} \ </math> のなす角度 {{math|&theta;}} は、
:<math>
\cos \theta = \frac{g_{ij}u^iv^j}
{\sqrt{ \left| g_{ij}u^iu^j \right| \left| g_{ij}v^iv^j \right|}}
 \ </math>
で与えられる。
<!--
The induced metric tensor for a smooth [[embedding]] of a [[manifold]] into [[Euclidean space]] can be computed by the formula

{{Indent|<math>G = J^T J \ </math>}}

where <math>J  \ </math> denotes the [[Jacobian]] of the embedding and <math>J^T  \ </math> its [[transpose]].
-->

== 例 ==
=== ユークリッド空間 ===
2次元の[[ユークリッド計量]]（平らな空間、直交直線座標系）では、その全域において、計量テンソルが[[クロネッカーのデルタ|クロネッカーデルタ]]または[[単位行列]]となる。すなわち
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dx^1)^2 + (dx^2)^2 </math>
で与えられ、曲線の長さは良く知られた
:<math>L = \int_a^b \sqrt{ (dx^1)^2 + (dx^2)^2}   \ </math>
で与えられる。逆に計量テンソルが単位行列になるのは直交直線座標系のときに限る<ref>{{cite|和書 |author=高橋康 |author2=柏太郎 |title=量子場を学ぶための場の解析力学入門 増補版 |edition=2 |publisher=講談社サイエンティフィク |year=2005 |isbn=4-06-153252-9 |page=10}}</ref>。

座標系を替えたユークリッド計量の例をいくつか示す。

;[[極座標]]（{{en|Polar coordinates}}）: <math>(x^1, x^2)=(r, \theta) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & (x^1)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 </math>
{{要説明|date=2021年10月|title=いつの間にか3次元の話に}}
;[[円筒座標]]（{{en|Cylindrical coordinates}}）: <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + (dz)^2  </math>
;[[球座標]]（{{en|Spherical coordinates}}）: <math>(x^1, x^2, x^3)=(r, \theta, \phi) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & (x^1)^2 & 0 \\ 0 & 0 & (x^1\sin x^2)^2\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=(dr)^2 + r^2(d\theta)^2 + r^2\sin^2\theta (d\phi)^2  </math>

=== 時空・ローレンツ多様体 ===
{{節スタブ|date=2021年10月}}
* 平らな [[ミンコフスキー空間]]（{{en|Minkowski space}}）
: <math>(x^0, x^1, x^2, x^3)=(t, x, y, z) \ </math>
:<math>g = \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1\end{bmatrix},\quad ds^2_{}=-(dt)^2 +(dx)^2 +(dy)^2+(dz)^2</math>

* [[シュワルツシルト計量]]

=== 非ユークリッド空間 ===
　•[[ポワンカレの円板モデル|ポアンカレ円板]]

<math>ds^2=(4/(1-(x^2+y^2))^2)(dx^2+dy^2)</math>

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book |和書| author=石原繁 | title=テンソル －科学技術のために－ | publisher=裳華房 | year=1991 | ref=harv }}

{{Tensors}}
{{DEFAULTSORT:けいりようてんそる}}
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[[category:相対性理論]]
[[Category:テンソル]]
[[Category:数学に関する記事]]
[[Category:時空]]