誤差関数のソースを表示

{{Confused|損失関数}}
[[ファイル:Error Function.svg|thumb|right|400px|誤差関数のグラフ]][[ファイル:Error Function Complementary.svg|thumb|right|400px|相補誤差関数のグラフ]]
'''誤差関数'''（ごさかんすう、{{lang-en-short|error function}}）は、[[数学]]における[[シグモイド関数|シグモイド]]形状の[[特殊関数]]（非[[初等関数]]）の一種で、[[確率論]]、[[統計学]]、[[物質科学]]、[[偏微分方程式]]などで使われる。'''ガウスの誤差関数'''とも。[[定義]]は以下の通り。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}\left(x\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_0^x e^{-t^2}\,dt</math>}}

'''相補誤差関数''' ({{lang-en-short|complementary error function}}) は ''erfc'' と[[表現|表記]]され、'''誤差関数'''を使って以下のように[[定義]]される。

{{Indent|<math>\begin{align}
             \operatorname{erfc}(x) & = 1-\operatorname{erf}(x) \\
                                    & = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_x^{\infty} e^{-t^2}\,dt = e^{-x^2} \operatorname{erfcx}(x)
       \end{align} </math>}}

'''スケーリング相補誤差関数'''({{lang-en-short|scaled complementary error function}})<ref name=Cody93>W. J. Cody, "Algorithm 715: SPECFUN—A portable FORTRAN package of special function routines and test drivers," ''ACM Trans. Math. Soft.'' '''19''', pp. 22–32 (1993).</ref> ''erfcx''も[[定義]]される
([[浮動小数点|アンダーフロー]]<ref name=Cody93/><ref name=Zaghloul07>M. R. Zaghloul, "On the calculation of the Voigt line profile: a single proper integral with a damped sine integrand," ''Monthly Notices of the Royal Astronomical Society'' '''375'', pp. 1043–1048 (2007).</ref>を避けるために、 erfc の代わりに用いる)。

'''複素誤差関数''' ({{lang-en-short|complex error function}}) は<math>w\left(x\right)</math>と[[表現|表記]]され、やはり'''誤差関数'''を使って次のように[[定義]]される（'''Faddeeva関数'''とも呼ぶ）。

{{Indent|<math>w\left(x\right) = e^{-x^2}{\mathrm{erfc}}(-ix)\,\!</math>}}

== 特性 ==
[[ファイル:ComplexEx2.jpg|200px|right|thumb|図2. 被積分関数 exp(−''z''<sup>2</sup>) を複素''z''-平面でプロットした図]]
[[ファイル:ComplexErf.jpg|200px|right|thumb|図3. erf(''z'') を複素''z''-平面でプロットした図]]
'''誤差関数'''は[[偶関数と奇関数|奇関数]]である。

任意の[[複素数]]<math>z</math>について、

{{Indent|<math>\operatorname{erf} (-z) = -\operatorname{erf} (z)</math>}}

また、次が成り立つ。

{{Indent|<math>\operatorname{erf} (z^{*}) = \operatorname{erf}(z)^{*}  </math>}}

ここで<math>z^{*}</math>は<math>z</math>の[[複素共役]]である。

被積分関数<math>f=\exp\left(-z^{2}\right)</math>と<math>f=\operatorname{erf}\left(-z\right)</math>を複素<math>z\operatorname{-}</math>平面にプロットしたものを図2と図3に示す。

虚部<math>f=\operatorname{Im}\left(f\right)=0</math>となる点を結んだ線を太い緑色の線で表している。<math>f=\operatorname{Im}\left(f\right)</math>が[[負の整数]]となる[[点 (数学)|点]]を結んだ[[線]]を太い赤色の線で[[表現|表し]]、[[正の整数]]となる点を結んだ線を太い青色の線で表している。

<math>f=\operatorname{Im}\left(f\right)</math>が[[整数]]と整数の中間の一定[[値]]になる点を結んだ線を細い緑色の線で表し、実部<math>f=\operatorname{Re}\left(f\right)=0</math>が一定値になる点を結んだ線は、[[正の数と負の数|正]]の場合は青い細い線、[[正の数と負の数|負]]の場合は赤い細い線で表している。

実軸では、<math>z\to\infty</math>で<math>f=\operatorname{erf}\left(z\right)</math>は[[単位元]](1)に漸近し、<math>z\to-\infty</math>で単位元(-1)に漸近する。虚軸では、<math>\pm{\rm{i}}\infty</math> となる。

=== テイラー級数 ===
'''誤差関数'''は[[整関数]]である。（無限大以外で）[[特異点]]を持たず、[[テイラー展開]]は常に[[収束]]する。

[[定義]]にある[[積分]]は[[初等関数]]を使った閉形式では評価できないが、被[[積分]][[関数_(数学)|関数]]<math>\exp(-z^{2})</math> を対応する[[テイラー級数]]に展開して、[[項]][[単位]]で積分すると、'''誤差関数'''のテイラー級数が以下のように得られる。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\frac{(-1)^n z^{2n+1}}{n! (2n+1)} =\frac{2}{\sqrt{\pi}} \left(z-\frac{z^3}{3}+\frac{z^5}{10}-\frac{z^7}{42}+\frac{z^9}{216}-\ \cdots\right)</math>}}

これは全ての[[複素数]]<math>z</math>について成り立つ。<ref>[[項]]の[[分母]]は[[オンライン整数列大辞典|OEIS]]にある {{OEIS2C|A007680}}の数列である。</ref>

これを[[反復]]的に[[計算]]するには、以下のように定式化するのが扱い易い。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin\left(z \prod_{k=1}^n{\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}}\right) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \sum_{n=0}^\infin \frac{z}{2n+1} \prod_{k=1}^{n} \frac{-z^2}{k}</math>}}

<math>\frac{-(2k-1) z^2}{k (2k+1)}</math>は<math>k</math>番目の項から<math>k+1</math>番目の[[項]]を得る[[係数]]を[[表現|表し]]ている。

<math>f=\operatorname{erf}\left(z\right)</math>や<math>f=\operatorname{erfc}\left(z\right)</math>と<math>f=\exp\left(-z^{2}\right)</math>を[[比較]]するには、次の[[級数]]が利用できる。

{{Indent|<math>e^{z^2} \operatorname{erf}(z)= \frac{2}{\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infin \frac{2^nz^{2n+1}}{(2n+1)!!} = \sum_{n=0}^\infin \frac{z^{2n+1}}{\Gamma(n+\frac{3}{2})} </math>}}

<math>\infty</math>において'''誤差関数'''は正確に1になる（[[ガウス積分]]を参照）。

'''誤差関数'''の[[微分法|導関数]]は[[定義]]から即座に求められる。

{{Indent|<math>\frac{\rm d}{{\rm d}z}\,\mathrm{erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\,e^{-z^2}</math>}}
'''誤差関数'''の[[不定積分]]は次のようになる。

{{Indent|<math>z\,\operatorname{erf}(z) + \frac{e^{-z^2}}{\sqrt{\pi}}</math>}}

=== 逆関数 ===
'''逆誤差関数'''は次のような[[級数]]となる。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}^{-1}\left(z\right)=\sum_{k=0}^\infin\frac{c_k}{2k+1}\left(\frac{\sqrt{\pi}}{2}z\right)^{2k+1} \,\!</math>}}

ここで、<math>c_{0}=1</math>であり、

{{Indent|<math>c_k=\sum_{m=0}^{k-1}\frac{c_m c_{k-1-m}}{(m+1)(2m+1)} = \left\{1,1,\frac{7}{6},\frac{127}{90},\ldots\right\}</math>}}

となる。従って、次のような級数の展開が得られる（[[分子]]と[[分母]]に共通して出現する[[係数]]は省いてある）。<ref>[http://functions.wolfram.com/GammaBetaErf/InverseErf/06/01/ InverseErf] functions.wolfram.com</ref><ref>約分後の分子/分母の係数は[[オンライン整数列大辞典|OEIS]]の A092676/A132467 と同じで、約分していない分子は A002067 となる。</ref>

{{Indent|<math>\operatorname{erf}^{-1}(z)=\frac{1}{2}\sqrt{\pi}\left (z+\frac{\pi}{12}z^3+\frac{7\pi^2}{480}z^5+\frac{127\pi^3}{40320}z^7+\frac{4369\pi^4}{5806080}z^9+\frac{34807\pi^5}{182476800}z^{11}+\cdots\right ) \,\!</math>}}

なお、'''誤差関数'''の[[正の数と負の数|正]]と負の[[無限|無限大]]での[[値]]はそれぞれ正と負の<math>1</math>となる。

== 応用 ==
一連の何らかの[[測定]][[値]]が[[正規分布]]になっていて、[[標準偏差]]が <math>\sigma</math>、[[期待値]]が<math>0</math>の場合、1つの測定値の誤差が<math>-a</math>と<math>a</math>の間になる[[確率]]は<math>\operatorname{erf}\,\left(\,\frac{a}{\sigma \sqrt{2}}\,\right)</math>である。これは、例えば、[[デジタル]][[通信]][[システム]]での[[符号誤り率]]の特定などに使える。

'''誤差関数'''と'''相補誤差関数'''は例えば、[[境界条件]]を[[ヘヴィサイドの階段関数]]で与えたときの[[熱方程式]]の[[解]]に出現する。

<math>\operatorname{erf} x + \operatorname{erfc} x \equiv 1</math> で、<math>x</math>の増加に伴って<math>\operatorname{erf} x</math>、<math>\operatorname{erfc} x</math>はそれぞれ急速に1, 0 に近づくため、[[クーロン力|クーロン力<math>1/r</math>]]などの長距離相互作用を短距離成分[[クーロン力|<math>\operatorname{erfc} r/r</math>]]と長距離成分[[クーロン力|<math>\operatorname{erf} r/r</math>]]に分けるのに用いられる（[[エバルトの方法]]）。

=== 漸近展開 ===
'''相補誤差関数'''（および'''誤差関数'''）の大きな<math>x</math>についての[[漸近展開]]は次のようになる。

{{Indent|<math>\mathrm{erfc}\left(x\right) = \frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\left [1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n \frac{1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)}{(2x^2)^n}\right ]=\frac{e^{-x^2}}{x\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n)!}{n!(2x)^{2n}}\,</math>}}

この[[級数]]は[[有限な]]<math>x</math>については発散する。しかし、最初の方の幾つかの[[項]]だけで<math>\operatorname{erfc}\left(x\right)</math>のよい[[近似]]が得られ、[[テイラー展開]]よりも[[収束]]が早い。

=== 初等関数による近似 ===
次のような[[近似]]がある。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}^2\left(x\right)\approx 1-\exp\left(-x^2\frac{4/\pi+ax^2}{1+ax^2}\right)</math>}}

ここで、

{{Indent|<math>a=-\frac{8\left(\pi-3\right)}{3\pi\left(\pi-4\right)}</math>}}

<!--
The range of approximation and the precision are not reported; the fitting may take place in vicinity of the real axis. !-->
このような近似（[[曲線あてはめ]]）は、実軸付近の誤差関数の値について、少なくとも十進で1桁の精度はある。


== 関連する関数 ==
'''誤差関数'''は[[正規分布]]の[[累積分布関数|累積分布関数(CDF)]]<math>\Phi</math>と基本的には同じであり、単にスケールと解釈が異なるだけである。実際、標準正規分布について次の関係が成り立つ。

{{Indent|<math>\Phi\left(x\right) = \frac{1}{2}\left[1+\mbox{erf}\left(\frac{x}{\sqrt{2}}\right)\right]=\frac{1}{2}\,\mbox{erfc}\left(-\frac{x}{\sqrt{2}}\right)</math>}}

また、<math>\operatorname{erf}</math>および<math>\operatorname{erfc}</math>について変形すると次のようになる。

{{Indent|<math>\begin{align}
\mathrm{erf}\left(x\right)  &= 2 \Phi \left ( x \sqrt{2} \right ) - 1 \\
\mathrm{erfc}\left(x\right) &= 2 \left[ 1 - \Phi \left ( x \sqrt{2} \right )\right]
\end{align}</math>}}

従って、'''誤差関数'''は、[[正規分布]]におけるテール[[確率]]である[[Q関数]]とも密接に関連する。Q関数は'''誤差関数'''を使って次のように[[表現 (数学)|表現]]できる。
{{Indent|<math>
Q\left(x\right) =\frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \Bigl( \frac{x}{\sqrt{2}} \Bigr)
</math>}}

<math>\Phi\,</math>の[[逆写像|逆関数]]は[[分位関数|標準分位関数]]または[[プロビット関数]]として知られており、'''逆誤差関数'''を使って次のように表現できる。
{{Indent|<math>
\operatorname{probit}(p) = \Phi^{-1}(p) = \sqrt{2}\,\operatorname{erf}^{-1}(2p-1) = -\sqrt{2}\,\operatorname{erfc}^{-1}(2p)
</math>}}

[[確率論]]や[[統計学]]では標準正規分布の累積分布関数の方がよく使われ、'''誤差関数'''は他の数学の分野で使われる傾向がある。

'''誤差関数'''は[[ミッタク＝レフラー関数]]の特殊ケースであり、[[合流型超幾何微分方程式]]としても以下のように表現できる。

{{Indent|<math>\mathrm{erf}\left(x\right)=
\frac{2x}{\sqrt{\pi}}\,_1F_1\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2},-x^2\right)</math>}}

[[フレネル積分]]を使った単純な表現法もある。[[不完全ガンマ関数|正規化ガンマ関数]]<math>P</math>と[[不完全ガンマ関数]]を使うと、次のように表せる。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}\left(x\right)=\operatorname{sgn}\left(x\right) P\left(\frac{1}{2}, x^2\right)={\operatorname{sgn}\left(x\right) \over \sqrt{\pi}}\gamma\left(\frac{1}{2}, x^2\right)</math>}}

<math>\operatorname{sgn}\left(x\right) \ </math> は[[符号関数]]である。

=== 一般化された誤差関数 ===

[[ファイル:Error Function Generalised.svg|right|thumb|300px|一般化された'''誤差関数'''<math>E_{n}\left(x\right)</math>のグラフ:<br />
灰色: <math>E_{1}\left(x\right)=\frac{\left(1-\exp^{-x}\right)}{\sqrt{\pi}}</math><br />
赤: <math>E_{2}\left(x\right)=\operatorname{erf}\left(x\right)</math><br />
緑: <math>E_{3}\left(x\right)</math><br />
青: <math>E_{4}\left(x\right)</math><br />
金: <math>E_{5}\left(x\right)</math>]]

[[書籍]]によっては、より一般化した[[関数_(数学)|関数]]を論じている場合もある。

{{Indent|<math>E_n\left(x\right) = \frac{n!}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^n}\,\mathrm dt
=\frac{n!}{\sqrt{\pi}}\sum_{p=0}^\infin(-1)^p\frac{x^{np+1}}{(np+1)p!}\,</math>}}

例えば、
*<math>E_{0}\left(x\right)</math>は[[原点]]を通る[[直線]]<math>E_{0}\left(x\right)=\frac{x}{e\sqrt{\pi}}</math> となる。
*<math>E_{2}\left(x\right)</math>は'''誤差関数'''<math>\operatorname{erf}\left(x\right)</math>である。

<math>n!</math>で[[除法|割る]]と、[[奇数]]の<math>n</math>についての<math>E_{n}</math>は互いに似たようなものになる（完全に一致する事は無い）。
同様に、[[偶数]]の<math>n</math>についての<math>E_{n}</math>も<math>n!</math>で割ると互いに似たものになる（完全に一致する事は無い）。
<math>n>0</math>での全ての一般化された'''誤差関数'''の<math>x</math>が[[正の数と負の数|正]]のときの[[グラフ (関数)|グラフ]]は互いに似ている。

これらの一般化された'''誤差関数'''も ''x''&nbsp;>&nbsp;0 の場合に[[ガンマ関数]]と[[不完全ガンマ関数]]を使って次のように[[表現|表せ]]る。

{{Indent|<math>E_n\left(x\right) = \frac{\Gamma(n)\left(\Gamma\left(\frac{1}{n}\right)-\Gamma\left(\frac{1}{n},x^n\right)\right)}{\sqrt\pi},
\quad \quad
x>0</math>}}

従って、'''誤差関数'''は不完全ガンマ関数を使って次のように表せる。

{{Indent|<math>\operatorname{erf}\left(x\right) = 1 - \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2},x^2\right)}{\sqrt\pi}</math>}}

=== 相補誤差関数の累次積分 ===
'''相補誤差関数'''の[[逐次積分|累次積分]]は次のように[[定義]]される。

{{Indent|<math>
\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) = \int_z^\infty \mathrm i^{n-1} \operatorname{erfc}\, (\zeta)\;\mathrm d \zeta\,
</math>}}

これらには次のような[[冪級数]]がある。

{{Indent|<math>
\mathrm i^n \operatorname{erfc}\, (z) 
=
 \sum_{j=0}^\infty \frac{(-z)^j}{2^{n-j}j! \Gamma \left( 1 + \frac{n-j}{2}\right)}\,
</math>}}
ここから次のような[[対称性]]が得られる。
{{Indent|<math>
\mathrm i^{2m} \operatorname{erfc} (-z)
= - \mathrm i^{2m} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q}}{2^{2(m-q)-1}(2q)! (m-q)!}
</math>}}

および、

{{Indent|<math>
\mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc} (-z)
= \mathrm i^{2m+1} \operatorname{erfc}\, (z)
+ \sum_{q=0}^m \frac{z^{2q+1}}{2^{2(m-q)-1}(2q+1)! (m-q)!}\,
</math>}}

== 実装 ==
[[C言語]]の場合、[[C99]]で[[ヘッダファイル]]の<code><math.h></code>に<code>double erf(double x)</code>および<code>double erfc(double x)</code>という[[サブルーチン|関数]]が宣言されている。
{<code>erff()</code>, <code>erfcf()</code>}という関数ペアは<code>float</code>型の[[値]]を扱い、{<code>erfl()</code>, <code>erfcl()</code>}という関数ペアは<code>long double</code>型の値を扱う。
[[C++]]でも、[[C++11]]で<code>&lt;cmath&gt;</code>の[[ヘッダファイル]]に<code>erf</code>および<code>erfc</code>が宣言されている。<code>double</code>、<code>float</code>および<code>long double</code>型がオーバーロードされている。

[[複素数]]を扱える誤差関数の実装は少ない。例えば、図2のような[[グラフ (関数)|グラフ]]の描画は、[[Mathematica]]を一般的な性能の[[コンピュータ]]で実行した場合に数分かかる。

[[FORTRAN]]では、例えば、[[GFortran]] が<code>ERF(X)</code>と倍精度の<code>DERF(X)</code>を提供している。

== 数表 ==
''[[SageMath]]に拠る''<ref>[https://sagecell.sagemath.org/?z=eJxLSU1TyDM016jQtFIoSi0pLcpTyNPI06jQSclMzywptjU20YQxDc01ebmio_M0MvWNDDR1QLpSi9IgPDg3GcqPVUjLL1LIVMjMUyhKzEtP1TA31IwFAAFYH84=&lang=sage]</ref>
{| class="wikitable" style="margin-top:1ex;margin-left:2em;margin-bottom:1ex;"
|--class="hintergrundfarbe6"
!x
!erf(x)
!erfc(x)
!x
!erf(x)
!erfc(x)
|-
!0.00
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|-
!0.05
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|}

== 関連項目 ==
* [[ガウス関数]]
* [[正規分布]]
* [[プロビット]]

== 脚注・出典 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==
* Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. ''[[Abramowitz and Stegun|Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.]]'' New York: Dover, 1972. ''[http://www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_297.htm (See Chapter 7)]''
* Ian Gallagher Mathematician (FIU) Miami article 795.S Golden Panther Times July 11, 2008.

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/Erf.html MathWorld - Erf]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:こさかんすう}}
[[Category:曲線あてはめ]]
[[Category:特殊関数]]
[[Category:ガウス関数]]
[[Category:数学に関する記事]]