調和数のソースを表示

{{Otheruses|オアの調和数|[[調和級数]]の部分和|調和数 (発散列)}}
'''調和数'''（ちょうわすう、{{lang-en-short|harmonic divisor number}}）とは、[[自然数]]のうち、全ての正の[[約数]]の[[調和平均]]が[[整数]]値になる数のことである。最小は {{math|[[1]]}} で、その次は {{math|[[6]]}} である。実際、{{math|6}} の正の約数4個の調和平均は
<math>\frac{4}{\frac{1}{1} +\frac{1}{2} +\frac{1}{3} +\frac{1}{6}} =2</math> で整数値となるので {{math|6}} は調和数である。

自然数{{mvar|n}}の調和数の判定は、 {{mvar|n}}×({{mvar|n}}の約数の個数)/({{mvar|n}}の約数の総和) が割り切れるかどうかで判定でき、[[約数関数]]が利用される。

調和数が無数に存在するかどうかは分かっていない。また、{{math|1}} 以外の[[奇数]]の調和数は発見されておらず、存在するかどうかも分かっていない。

[[完全数]]は偶数のみが確認されており<ref>[[完全数#奇数の完全数]]</ref>、偶数の完全数{{mvar|m}}は、その定義から、{{mvar|m}}の約数の総和が2{{mvar|m}}であり、かつ、{{mvar|m}}の約数の個数が偶数である<ref>[[完全数#偶数の完全数の性質]]</ref>ので、調和数である。

調和数の列は
{{math|[[1]], '''[[6]]''', '''[[28]]''', [[140]], [[270]], '''[[496]]''', [[672]], 1638, 2970, 6200, '''[[8128]]''', 8190, …}}（{{OEIS|id=A001599}}）である。

この調和数の列に対して、各調和数の正の約数の調和平均の列は
{{math|1, 2, 3, 5, 6, 5, 8, 9, 11, 10, 7, 15, …}}（{{OEIS|A001600}}）
である。

== その他調和数に関連すること ==
{{mvar|n}} までの自然数の逆数和、つまり調和級数の部分和は[[調和数 (発散列)|調和数]]と呼ばれる。この調和数は {{math|''n'' ≥ 2}} では整数値にならないことが知られている。区別のため完全数が含まれるほう（本項目）の調和数を[[w:Ore's harmonic number|オアの調和数]]と呼ぶこともある。[[w:Øystein Ore|オア]]は[[1948年]]に調和数の概念を考案した[[数学者]]の名前である。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
{{Reflist}}

== 関連項目 ==
* [[完全数]]
* [[調和級数]]
*[[調和平均]]
*[[約数関数]]

{{Divisor classes}}
{{DEFAULTSORT:ちようわすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[Category:数学に関する記事]]