調和数 (発散列)のソースを表示

{{Otheruses||オアの調和数|調和数|各項の逆数が等差数列であるような数列|調和数列}}
[[Image:HarmonicNumbers.svg|right|thumb| ''n'' = &#x230A;''x''&#x230B; に対する調和数 ''H''<sub>''n'',1</sub> のグラフ（赤）。これは &gamma; + ln(''x'')（青）に漸近収斂する。]]
[[数学]]において、''n''-番目の'''調和数'''（ちょうわすう、{{lang-en-short|''harmonic number''}}）は 1 から ''n'' までの[[自然数]]の[[乗法逆元|逆数和]]
:<math>H_n= 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>

である。これは、1 から ''n'' までの自然数の[[調和平均]]の逆数の ''n''-倍に等しい。

調和数は遥か昔から研究され、[[数論]]の各分野において重要である。調和数の極限は、[[調和級数]]と呼ばれ（しばしば調和数も含めて一口に調和級数と呼ぶこともある）、[[リーマンゼータ函数]]と近しい関係にあり、また種々の[[特殊函数]]のさまざまな表示に現れる。

十分大きな数の標本について、その出現頻度が[[ジップの法則]]に従って分布するとき、全体の中で ''n''-番目の頻度で現れる標本の総頻度は ''n''-番目の調和数である。このことは[[ロングテール]]および{{仮リンク|ネットワーク値|en|Andrew_Odlyzko#Network_value|lable=ネットワーク値理論}}の帰結の一種を導く。

== 調和数の計算法 ==

調和数の積分表示

: <math> H_n = \int_0^1 \frac{1 - x^n}{1 - x}\,dx</math>
は[[レオンハルト・オイラー|オイラー]]による。この等式は簡単な代数的等式
:<math>\frac{1-x^n}{1-x}=1+x+\ldots +x^{n-1}</math>
を使えば明らかである。また、積分の変数を単純に ''x'' = 1 &minus; ''u'' と変換すれば、''H''<sub>''n''</sub> のきれいな組合せ論的展開
: <math> \begin{align} H_n 
 & = \int_{0}^{1} \frac{1-(1-u)^n}{u}du = \int_{0}^{1} \left[\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\binom{n}{k} u^{k-1}\right]du\\
 & =\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\binom{n}{k} \int_{0}^{1} u^{k-1}du = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom{n}{k}
\end{align}</math> 
が得られる。同じ表現は、第三{{仮リンク|レトケシュ恒等式|en|Retkes identities}}で ''x''<sub>1</sub> = 1, ..., ''x''<sub>''n''</sub> = 1 とおき、 
: <math>\Pi_k(1,\ldots,n)=(-1)^{n-k}(k-1)!(n-k)!</math>
なる事実を用いることでも得られる。すなわち
:<math>H_n=H_{n,1}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k}=(-1)^{n-1}n!\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2\Pi_k(1,\ldots,n)}=\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k}\binom nk</math>

が成り立つ。また、レトケシュ恒等式を ''x''<sub>1</sub> = 1<sup>2</sup>, ..., ''x''<sub>''n''</sub> = ''n''<sup>2</sup> に対して用いれば、この場合 
: <math>\Pi_k(1^2,2^2,\ldots,n^2)=(-1)^{n-k}\frac{(n-k)!(n+k)!}{2k^2}</math>
となるので、[[バーゼル問題|&zeta;(2)]] の第 ''n''-部分和についての類似の公式
: <math>H_{n,2}=\sum_{k=1}^n\frac{1}{k^2}=2\sum_{k=1}^n(-1)^{k-1}\frac{1}{k^2}\frac{\binom nk}{\binom {n+k} k}</math>

を得る。''H''<sub>''n''</sub> の増大度は ''n'' の[[自然対数]] ln(''n'') と同程度の速さである。このことは、''H''<sub>''n''</sub> を積分

: <math>\int_1^n {dx \over x}\quad(= \ln(n))</math>

で近似することによって確認できる。数列 (''H''<sub>''n''</sub> - ln(''n'')) は単調に減少して、

: <math> \lim_{n \to \infty} H_n - \ln(n) = \gamma</math>

なる定数（この定数 &gamma; は[[オイラー・マスケローニ定数]]と呼ばれ、その値は 0.5772156649... である）を[[数列の極限|極限]]にもち、これに対応する[[漸近展開]]は

:<math>H_n = \ln{n} + \gamma + \frac{1}{2}n^{-1} - \frac{1}{12}n^{-2} + \frac{1}{120}n^{-4} + \mathcal{O}(n^{-6})</math>

で与えられる。

== 分数パラメータに対する特殊値 ==
調和数 ''H''<sub>''n''</sub> のパラメータ ''n'' を積分
:<math>H_\alpha = \int_0^1\frac{1-x^\alpha}{1-x}dx</math>
によって拡張すれば、0 と 1 の間の分数値をもつパラメータ &alpha; に対する解析的な特殊値を定めることができる。あるいはさらに[[漸化式]]
: <math> H_\alpha = H_{\alpha-1}+\frac{1}{\alpha}</math>
によって拡張することもでき、結局は任意の ''x'' &gt; 0 に対して（''x'' が整数のときもそうでないときも）
: <math> H_{x} =  x \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k(x+k)}</math>
が成立する。いくつかの特殊値について計算すれば、以下のようになる。
: <math>\begin{align} 
 H_{3/4} & = \frac{4}{3}-3\ln{2}+\frac{\pi}{2},\\
 H_{2/3} & = \frac{3}{2}(1-\ln{3})+\frac{\pi}{6}\sqrt{3},\\
 H_{1/2} & = 2 -2\ln{2},\\
 H_{1/3} & = 3-\frac{\pi}{2\sqrt{3}} -\frac{3}{2}\ln{3},\\ 
 H_{1/4} & = 4-\frac{\pi}{2} - 3\ln{2},\\
 H_{1/6} & = 6-\frac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\frac{3}{2}\ln(3),\\
 H_{1/8} & = 8-\frac{\pi}{2} - 4\ln{2} - \frac{1}{\sqrt{2}}\{\pi + \ln(2 + \sqrt{2}) - \ln(2 - \sqrt{2})\},\\
 H_{1/12} & = 12-3\!\left(\ln{2}+\frac{\ln{3}}{2}\right)-\pi\!\left(1+\frac{\sqrt{3}}{2}\right) + 2\sqrt{3}\ln{\sqrt{2-\sqrt{3}}}
\end{align}</math>

== 調和数の母函数 ==
調和数の列の[[母函数]]は
:<math>\sum_{n=1}^\infty z^n H_n = 
\frac {-\ln(1-z)}{1-z}</math>

で与えられる（ln(''z'') は[[自然対数]]）。また、冪指数型母函数は

:<math>\sum_{n=1}^\infty \frac {z^n}{n!} H_n =
 -e^z \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k} \frac {(-z)^k}{k!} = 
e^z \mbox {Ein}(z)</math>

となる。ここで Ein(''z'') は整[[指数積分]]で、 

:<math>\text{Ein}(z) = \text{E}_1(z) + \gamma + \ln z = 
\Gamma (0,z) + \gamma + \ln z</math>

が成り立つものである（ただし、&Gamma;(0, ''z'') は[[不完全ガンマ函数]]）。

== 応用 ==

調和数は、[[ディガンマ関数]]に対する

: <math> \psi(n) = H_{n-1} - \gamma</math>

のような、いくつかの特殊函数に関する計算公式に現れる。このような関係式は、しばしば調和数のパラメータ ''n'' を整数以外に拡張するための定義式としても利用される。先の節で述べたような極限によって、調和数から定数 &gamma; を定義することがよく行われるが、
: <math> \gamma = \lim_{n \to \infty}{\left(H_n - \ln\left(n+{1 \over 2}\right)\right)} </math>
としたほうが収斂が早い。

2002年に[[ジェフリー・ラガリアス]]は、[[リーマン予想]]が「不等式 
:<math> \sigma(n) \le H_n + \ln(H_n)e^{H_n}</math>
が任意の自然数 ''n'' に対して成立し、かつ ''n'' &gt; 1 のときは真の（等号無しの）不等式として成立する」という主張に等価であることを示した。ここで &sigma;(''n'') は ''n'' の[[約数函数|約数和]]である。

== 一般化 == 

=== 一般化調和数 ===
''n''-番目の ''m''-次'''一般化調和数''' {{lang|en|(''generalized harmonic number'')}} は
:<math>H_{n,m}=\sum_{k=1}^n \frac{1}{k^m}</math>

で与えられる。''n'' を無限大に飛ばした極限が存在するのは ''m'' &gt; 1 の時に限られることに注意。一般化調和数を表す記号としては

:<math>H_{n,m}= H_n^{(m)} = H_m(n).</math>

なども使われることがある。なお、''m'' = 1 の場合が通常の調和数であり、添字 ''m'' を落として

:<math>H_n= \sum_{k=1}^n \frac{1}{k}</math>

と書く。また、''n'' &rarr; &infin; の極限で一般化調和数は[[リーマンゼータ函数]]に収斂する。つまり

:<math>\lim_{n\to \infty} H_{n,m} = \zeta(m)</math>

が成り立つ。一般化調和数は[[ベルヌーイ数]]を調べる際に現れ、また[[スターリング数]]を調べる際にも現れる。一般化調和数の母函数は

:<math>\sum_{n=1}^\infty z^n H_{n,m} = 
\frac {\mbox{Li}_m(z)}{1-z}</math>

である。ここで Li<sub>''m''</sub>(''z'') は[[多重対数函数]]で |''z''| &lt; 1 とする。この式で ''m'' = 1 としたものは、先に述べた調和数列の母函数に一致する。

=== 複素平面への一般化 ===
調和数についてのオイラーの積分公式は次の積分等式
:<math>\int_a^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx = 
- \sum_{k=1}^\infty \frac {1}{k} {s \choose k} (a-1)^k</math>

から従うが、この式は ''s'' を一般の[[複素数]]としても（[[二項係数]]を適切に拡張すれば）成り立つ。''a'' = 0 とすれば、この公式から調和数を補間して複素平面へ拡張した函数の積分表示と級数表示が両方得られる。この積分等式自体は[[ニュートン級数]]（ニュートンの一般[[二項定理]]）

:<math>\sum_{k=0}^\infty {s \choose k} (-x)^k = (1-x)^s</math>

から簡単な操作で得られる。調和数を補間する函数は、実はディガンマ関数 &psi;(''x'') をつかって

:<math>\psi(s+1)+\gamma = \int_0^1 \frac {1-x^s}{1-x} dx</math>

と書ける（&gamma; はオイラー-マスケローニ定数）。この積分の過程を繰り返せば

:<math>H_{s,2}=-\sum_{k=1}^\infty \frac {(-1)^k}{k} {s \choose k} H_k</math>

を得る。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|ワッターソン評価子|en|Watterson estimator}}
* [[Tajima's D]]
* [[クーポン・コレクター問題]]
* {{仮リンク|ジープ問題|en|Jeep problem}}

== 参考文献 ==
* Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn, ''[http://www.math.hmc.edu/~benjamin/papers/harmonic.pdf A Stirling Encounter with Harmonic Numbers]'', (2002) Mathematics Magazine, '''75''' (2) pp 95-103.
* [[ドナルド・クヌース|Donald Knuth]]. ''The Art of Computer Programming'', Volume 1: ''Fundamental Algorithms'', Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89683-4. Section 1.2.7: Harmonic Numbers, pp.75&ndash;79.
* Ed Sandifer,  ''[http://www.maa.org/editorial/euler/How%20Euler%20Did%20It%2002%20Estimating%20the%20Basel%20Problem.pdf How Euler Did It -- Estimating the Basel problem]'' (2003)
* {{mathworld|urlname=HarmonicNumber |title=Harmonic Number}}
* Peter Paule and Carsten Schneider, ''[http://www.risc.uni-linz.ac.at/publications/download/risc_200/HarmonicNumberIds.pdf Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities]'', (2003) Adv. in Appl. Math. 31(2), pp. 359-378. 
* Wenchang CHU, ''[http://www.combinatorics.org/Volume_11/PDF/v11i1n15.pdf A Binomial Coefficient Identity Associated with Beukers' Conjecture on Apery Numbers]'', (2004) ''The Electronic Journal of Combinatorics'', '''11''', #N15.
* Ayhan Dil and Istvan Mezo, ''[http://www.sciencedirect.com/science?_ob=MImg&_imagekey=B6TY8-4TRK0JH-3-1&_cdi=5612&_user=1390915&_orig=search&_coverDate=12%2F15%2F2008&_sk=997939997&view=c&wchp=dGLbVlb-zSkWz&md5=619c8efa1ec64445d566bb11468bd396&ie=/sdarticle.pdf A Symmetric Algorithm for Hyperharmonic and Fibonacci Numbers]'',  (2008) Applied Mathematics and Computation '''206''', 942--951.
* Zoltán Retkes, "An extension of the Hermite&ndash;Hadamard [[Inequality (mathematics)|Inequality]]", ''[[Acta Sci. Math. (Szeged)]]'', 74 (2008), pages 95&ndash;106.

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