論理和のソースを表示

[[ファイル:Venn-Diagram-OR.png|thumb|{{math|1=''P'' &or; ''Q''}} の[[ベン図]]による表現]]
[[数理論理学]]において'''論理和'''（ろんりわ、{{lang-en-short|logical disjunction}}）とは、与えられた複数の[[命題]]のいずれか少なくとも一つが真であることを示す命題を作る[[論理演算]]である。'''離接'''（りせつ）、'''選言'''（せんげん）とも呼ぶ。

二つの命題 {{math|''P'', ''Q''}} に対する論理和は記号 {{math|&or;}} を用いて {{math|''P'' &or; ''Q''}} と表せる。この記号は[[ラテン語]]で（非排他的）論理和を意味する vel の頭文字に由来する<ref>{{cite book
|和書
|author=山下正男
|authorlink=山下正男
|title=論理学史
|series=[[岩波全書]]
|publisher=[[岩波書店]]
|year=1983
|page=69
}}</ref>。また {{math|''P'' &or; ''Q''}} の形をした命題を'''選言命題'''（{{lang|en|disjunctive proposition}}）、その中に現れる命題 {{mvar|P}} や {{mvar|Q}} を'''選言肢'''（{{lang|en|disjunct}}）という<ref>{{cite book
|和書
|author1=近藤洋逸
|authorlink1=近藤洋逸
|author2=好並英司
|title=論理学概論
|publisher=岩波書店
|year=1964
|page=32
|id={{NDLDC|2969913|format=NDLJP}}
}}</ref>。

== 例 ==
*「私の身長は {{val|160|u=cm}} 以上である」
*「私の体重は {{val|50|u=kg}} 以上である」
の二つの命題の論理和は、
*「私の身長は {{val|160|u=cm}} 以上か、または、私の体重は {{val|50|u=kg}} 以上である」
となる。この論理和が真となるのは
* 「私」の身長は {{val|160|u=cm}} 以上で、体重は {{val|50|u=kg}} 以上
* 「私」の身長は {{val|160|u=cm}} 以上で、体重は {{val|50|u=kg}} より軽い
* 「私」の身長は {{val|160|u=cm}} より低く、体重は {{val|50|u=kg}} 以上
のいずれかである。論理和が偽となるのは以下の場合である。
* 「私」の身長は {{val|160|u=cm}} より低く、体重は {{val|50|u=kg}} より軽い

== 性質 ==
''P'' &or; ''Q'' は[[否定]]と[[論理積]]を用いた &not;(&not;''P'' &and; &not;''Q'') と同じである。従って、論理和は否定と論理積で表せる。
: ''P'' &or; ''Q'' &hArr; &not;(&not;''P'' &and; &not;''Q'')
また、論理積は論理和と否定で表せる。
: ''P'' &and; ''Q'' &hArr; &not;(&not;''P'' &or; &not;''Q'')
この二つを[[ド・モルガンの法則]]という。

=== 真理値表 ===
論理和の[[真理値表]]
{| border=1 cellpadding=2 cellspacing=0
! {{Yes-No|}}命題 ''P'' !! {{Yes-No|}}命題 ''Q'' !! {{Yes-No|}}''P'' &#8744; ''Q''
|- align="center"
| {{yes2|真}}|| {{yes2|真}}|| {{yes2|'''真'''}}
|- align="center"
| {{yes2|真}}|| {{no2|偽}}|| {{yes2|'''真'''}}
|- align="center"
| {{no2|偽}}|| {{yes2|真}}|| {{yes2|'''真'''}}
|- align="center"
| {{no2|偽}}|| {{no2|偽}}|| {{no2|'''偽'''}}
|}

== 一般語との乖離 ==

命題 {{math|1=''P'' &or; ''Q''}} はしばしば「{{mvar|P}} または {{mvar|Q}}」と読まれる。この用語「または」は一般語としての用法より意味が限定的である。

日常会話において「または」と言った場合、例えば {{mvar|P}} と {{mvar|Q}} のいずれか一方のみが成り立つことを意味することがある（[[排他的論理和]]）。具体例として、レストランにおいて「コーヒーまたは紅茶が付きます」と言えばコーヒーと紅茶のどちらか一方のみが付くことを意味し、両方が付くことは含意しない。

排他的論理和と明確に区別するために、通常の論理和を「包含的論理和」（{{en|inclusive OR}}）と呼ぶこともある。

== 表記法 ==
'''論理和(OR)''' は、[[中置記法]]により表記される。
=== 論理学 ===
<math>\lor</math>を使用して <math>P \lor Q</math> と書く。

=== 電子工学 ===
　'''+'''　記号を使用して <math>A + B</math> と書く。
{{seealso|論理回路}}

=== プログラミング言語 ===
[[C言語]]などでは、単なる論理和は<code>||</code>、ビット単位の論理和は<code>|</code>で表され、
:<code>z = x | y;</code>

のように使用される。(注：<code>2|4</code> の値は <code>6</code> である一方、<code>2||4</code> の値は <code>1</code> である。)

[[Perl]]でも、単なる論理和は<code>||</code>、ビット単位の論理和は<code>|</code>で表され、
:<code>$z = $x | $y;</code>

のように使用される。(注: <code>2|4</code> の値は <code>6</code> である一方、 <code>2||4</code> の値は C言語の場合とは異なり <code>2</code> である。)

[[VBScript]]では、「<code>Or</code>」で表され、
:<code>z = x Or y</code>

のように使用される。

各プログラミング言語における論理和の表記と意味は、[[短絡評価]]と密接な関係がある。

==符号位置==
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8744|2228|-|論理和|or}}
|}

==注釈==
{{reflist}}

== 関連項目 ==
*[[論理積]]
*[[ORゲート]]
*[[否定論理和]] (NOR)
*[[真理値]]
*[[真理値表]]
*[[ブール代数]]
*[[ブール論理]]
*[[ブール関数]]
*[[ベン図]]
*[[選言標準形]]
*[[論理回路]]
*[[加算器]]
*[[選言三段論法]]
*[[選言肯定]]
*[[マスク (情報工学)]]

{{論理演算}}
{{Common logical symbols}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ろんりわ}}
[[Category:論理結合子]]
[[Category:数学に関する記事]]