論理積のソースを表示

{{Redirect|∧|類似字形の[[ダイアクリティカルマーク]]|サーカムフレックス|[[校正]]記号|キャレット|ギリシア文字の「ラムダ」|Λ}}
[[数理論理学]]において'''論理積'''（ろんりせき、{{lang-en-short|logical conjunction}}）とは、与えられた複数の[[命題]]のいずれもが例外なく真であることを示す[[論理演算]]である。'''合接'''（ごうせつ）、'''連言'''（れんげん、れんごん）とも呼び、'''AND'''とよく表す。

二つの命題 ''P'', ''Q'' に対する論理積を ''P'' &and; ''Q'' と書き、「''P'' かつ ''Q''」や「''P'' そして ''Q''」などと読む。また ''P'' &and; ''Q'' の形をした命題を'''連言命題'''（{{lang|en|conjunctive proposition}}）、その中に現れる命題 ''P'' や ''Q'' を'''連言肢'''（{{lang|en|conjunct}}）という<ref>{{cite book
|和書
|author1=近藤洋逸
|authorlink1=近藤洋逸
|author2=好並英司
|title=論理学概論
|publisher=岩波書店
|year=1964
|page=47
|id={{NDLDC|2969913|format=NDLJP}}
}}</ref>。

[[画像:Venn-Diagram-AND.png|thumb|[[ベン図]]による<br>論理積<math>P \wedge Q</math> の表現]]

== 例 ==
*「私の身長は 160 cm 以上である」
*「私の体重は 50 kg 以上である」
の二つの命題の論理積は、
*「私の身長は 160 cm 以上であり、'''かつ'''私の体重は 50 kg 以上である」

== 性質 ==
論理積は、[[否定]]と[[論理和]]を用いて表すことができる（[[ド・モルガンの法則]]）。
: ''P'' &and; ''Q'' = &not;(&not;''P'' &or; &not;''Q'')
逆に、否定と論理積を用いて論理和を表すこともできる。
: ''P'' &or; ''Q'' = &not;(&not;''P'' &and; &not;''Q'') 

=== 真理値表 ===
論理積の[[真理値表]]
{| border=1 cellpadding=2 cellspacing=0
! {{Yes-No|}}命題 ''P'' !! {{Yes-No|}}命題 ''Q'' !! {{Yes-No|}}''P'' &#8743; ''Q''
|- align="center"
| {{yes2|真}}|| {{yes2|真}}|| {{yes2|'''真'''}}
|- align="center"
| {{yes2|真}}|| {{no2|偽}}|| {{no2|'''偽'''}}
|- align="center"
| {{no2|偽}}|| {{yes2|真}}|| {{no2|'''偽'''}}
|- align="center"
| {{no2|偽}}|| {{no2|偽}}|| {{no2|'''偽'''}}
|}

== 表記法 ==

=== 論理学 ===
<math>\and</math>を使用して <math>P \land Q</math> と書く。

=== 電子工学 ===
　'''<math>\cdot</math>'''　記号を使用して <math>A \cdot B</math> と書く。[[論理回路]]のページを参照。

=== プログラミング言語 ===
[[C言語]]や[[Perl]]などでは、ビット単位の論理積は<code>&</code>で表され、
:<code>z = x & y;</code>
:<code>$z = $x & $y;</code>

のように使用される。

単なる論理積は<code>&&</code>で表され
:<code>if (x==0 && y==0) ;</code>

のように使用される。

[[VBScript]]では<code>And</code>で表され、
:<code>z = x And y</code>

のように使用される。

[[Lisp]]では
:<code>(and x y)</code>
だが、さらに可変長で
:<code>(and x0 x1 ...)</code>
のように記述できる。

各プログラミング言語における論理積の表記と意味は、[[短絡評価]]とも密接な関係がある。

== 関連項目 ==
*[[論理和]]
*[[ANDゲート]]
*[[否定論理積]] (NAND)
*[[真理値]]
*[[真理値表]]
*[[ブール代数]]
*[[ブール論理]]
*[[ブール関数]]
*[[ベン図]]
*[[連言標準形]]
*[[論理回路]]
*[[加算器]]
*[[マスク (情報工学)]]

== 符号位置 ==
{|class="wikitable" style="text-align:center"
!記号!![[Unicode]]!![[JIS X 0213]]!![[文字参照]]!!名称
{{CharCode|8743|2227|-|論理積|and}}
|}

==注釈==
{{reflist}}

{{論理演算}}
{{Common logical symbols}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ろんりせき}}
[[Category:論理結合子]]
[[Category:命題]]
[[Category:数学に関する記事]]