豊富な直線束のソースを表示

{{要改訳}}
[[代数幾何学]]では、'''非常に豊富な[[直線束]]'''(very ample line bundle)は、基礎となる[[代数多様体]]や[[多様体]] M から[[射影空間]]への[[埋め込み (数学)|埋め込み]]を行う設定に充分な[[層 (数学)#定義|大域的切断]]があるバンドルのことを言う。'''豊富な直線束'''(ample line bundle)はバンドルのある正のべきが非常に豊富となるときを言う。'''大域的に生成された層'''(globally generated sheaves)とは、射影空間への[[射 (圏論)|射]]を定義することに充分な切断を持つ層のことを言う。
<!---In [[algebraic geometry]], a '''very ample [[line bundle]]''' is one with enough [[global section]]s to set up an [[embedding]] of its base [[algebraic variety|variety]] or [[manifold (mathematics)|manifold]] <math>M</math> into [[projective space]]. An  '''ample line bundle''' is one such that some positive power is very ample. '''Globally generated sheaves''' are those with enough sections to define a [[morphism]] to projective space.-->

==導入部==

===直線束や超平面因子の逆像===
射 <math>f\ :\ X \to Y</math> が与えられると、Y 上の任意の[[ベクトルバンドル]] <math>\mathcal F</math> もしくは、もっと一般的に <math>\mathcal O_Y</math> 加群、つまり[[連接層]]の中の任意の層は、X へ{{仮リンク|引き戻し (数学)|en|pullback|label=引き戻す}}ことができる（{{仮リンク|逆像函手|en|Inverse image functor}}(Inverse image functor)を参照）。この構成は[[直線束]]であることの条件を、さらに一般的に言うと、ランクの条件を保存する。

この記事で用いられる記法は、射影空間への射の場合の構成に関係している。
:<math>f : X \to \mathbb P^N,  </math> and <math>\mathcal F = \mathcal O(1) \in \mathrm{Pic}(\mathbb P^N)</math>,
{{仮リンク|超平面因子|en|hyperplane divisor}}に対応する直線束は、その[[切断 (ファイバーバンドル)|切断]]は 1-同次[[正則函数 (スキーム論)|正則函数]](regular function)である。射影空間の代数幾何学の因子とツイスト層([[:en:Algebraic geometry of projective spaces#Divisors and twisting sheaves]])を参照。
<!---===Inverse image of line bundle and hyperplane divisors===
Given a morphism <math>f\ :\ X \to Y</math>, any [[vector bundle]] <math>\mathcal F</math> on ''Y'', or more generally any sheaf in <math>\mathcal O_Y</math> modules, ''e.g.'' a [[coherent sheaf]], can be [[pullback|pulled back]] to ''X'', (see [[Inverse image functor]]). This construction preserves the condition of being a [[line bundle]], and more generally the rank.

The notions described in this article are related to this construction in the case of morphisms to projective spaces 
:<math>f : X \to \mathbb P^N,  </math> and <math>\mathcal F = \mathcal O(1) \in \mathrm{Pic}(\mathbb P^N)</math>,
the line bundle corresponding to the [[hyperplane divisor]], whose [[section (fiber bundle)|section]]s are the 1-homogeneous regular functions. See [[Algebraic geometry of projective spaces#Divisors and twisting sheaves]].-->

=== 大域切断で生成される層 ===
<!---===Sheaves generated by their global sections ===-->
X を[[概型|スキーム]]、または[[複素多様体]]とし、F を X 上の層とする。すべての F の[[層 (数学)#層の茎|茎]]が a<sub>i</sub> の[[芽 (数学)|芽]]による[[構造層]]の茎の上で[[環上の加群|加群]]として生成されているとき、F を'''大域切断''' <math> a_i \in F(X)</math> '''により（有限に）生成される'''と言う。例えば、F が直線束であったとする、つまり局所自由なランク 1であったとすると、このことは有限個の[[層 (数学)#定義|大域切断]]を持っていることを意味し、X の任意の点 x に対し、x でゼロとならない少なくとも一つの切断が存在することになる。この場合、大域的生成子 a<sub>0</sub>, ..., a<sub>n</sub> を選択することは、次の射を与える。
:<math>f\colon X \rightarrow \mathbb{P}^{n},\ x \mapsto [a_0(x): \dotsb : a_n(x)].</math>
このときに、引き戻し(pullback) f*(O(1)) は F となる（F が X 上の[[有理函数]]の[[定数層]]の部分層のときにこの評価が意味を持つことに注意）。この逆のステートメントもまた正しい。そのような射 f が与えられると、O(1) の引き戻しは（X 上の）大域切断により生成される。
<!---Let ''X'' be a [[scheme (mathematics)|scheme]] or a [[complex manifold]] and ''F'' a sheaf on ''X''. One says that ''F'' is '''generated by (finitely many) global sections''' <math> a_i \in F(X)</math>, if every [[stalks of a sheaf|stalk]] of ''F'' is generated as a [[Module (mathematics)|module]] over the stalk of the [[structure sheaf]] by the [[germ (mathematics)|germ]]s of the ''a<sub>i</sub>''. For example, if ''F'' happens to be a line bundle, i.e. locally free of rank 1, this amounts to having finitely many [[global section]]s, such that for any point ''x'' in ''X'', there is at least one section not vanishing at this point. In this case a choice of such global generators ''a''<sub>0</sub>, ..., ''a''<sub>''n''</sub> gives a morphism
:<math>f\colon X \rightarrow \mathbb{P}^{n},\ x \mapsto [a_0(x): \dotsb : a_n(x)],</math>
such that the pullback ''f''*(''O''(1)) is ''F'' (Note that this evaluation makes sense when ''F'' is a subsheaf of the [[constant sheaf]] of [[rational function]]s on ''X''). The converse statement is also true: given such a morphism ''f'', the pullback of ''O''(1) is generated by its global sections (on ''X'').-->

もう少し一般的な状況下では、'''大域切断ではられる層'''は、[[局所環付き空間]] X の上の[[層 (数学)|層]] F で、構造層 O<sub>X</sub> は単純なタイプの場合である。F を[[アーベル群]]の層とすると、次が成立する。A を大域切断のアーベル群、つまり

:<math>A = \Gamma(F,X)</math>

とすると、任意の X の[[開集合]] U に対し、ρ(A) は O<sub>U</sub>-加群として F(U) をはる。ここに、

:<math>\rho = \rho_{X,U}</math>

は、制限写像である。言い換えると、F のすべての切断は、大域切断により局所的に生成される。

そのような例として、[[代数幾何学]]での R-加群 M で、R が任意の[[可換環]]で、[[環のスペクトル]] Spec(R) がある。他の例としては、[[カルタンの定理 A]]に従うと、[[シュタイン多様体]]上の任意の[[連接層]]は大域切断ではられる。
<!---In more general situation, a '''sheaf spanned by global sections''' is a [[sheaf (mathematics)|sheaf]] ''F'' on a [[locally ringed space]] ''X'', with structure sheaf ''O''<sub>''X''</sub> that is of a rather simple type. Assume ''F'' is a sheaf of [[abelian group]]s. Then it is asserted that if ''A'' is the abelian group of [[global section]]s, i.e.

:''A'' = &Gamma;(''F'',''X'')

then for any [[open set]] ''U'' of ''X'', ρ(''A'') spans ''F''(''U'') as an ''O''<sub>''U''</sub>-module. Here

:&rho; = &rho;<sub>''X'',''U''</sub>

is the restriction map. In words, all sections of ''F'' are locally generated by the global sections.

An example of such a sheaf is that associated in [[algebraic geometry]] to an ''R''-module ''M'', ''R'' being any [[commutative ring]], on the [[spectrum of a ring]] ''Spec''(''R'').
Another example: according to [[Cartan's theorem A]], any [[coherent sheaf]] on a [[Stein manifold]] is spanned by global sections.-->

=== 非常に豊富な直線束 ===
基礎となる[[概型|スキーム]] S の上にスキーム X が与えられる、もしくは複素多様体が与えられると、直線束（言い換えると、[[可逆層]]、つまりランク 1 の局所自由層） L は、埋め込み i : X → '''P'''<sup>n</sup><sub>S</sub> が存在し、ある n に対し S 上の n-次元射影空間 '''P'''<sup>n</sup><sub>S</sub> 上の{{仮リンク|セールのねじり層|label=標準ツイスト層|en|Serre twist sheaf}}(standard twisting sheaf) O(1) の{{仮リンク|逆像函手|label=引き戻し|en|inverse image functor}}(pullback)が L と同型
:<math> i^{*}(\mathcal{O}(1)) \cong L</math>
になる場合に、'''非常に豊富'''であるという。
<!---=== Very ample line bundles ===
Given a [[scheme (mathematics)|scheme]] ''X'' over a base scheme ''S'' or a complex manifold, a line bundle (or in other words an [[invertible sheaf]], that is, a locally free sheaf of rank one) ''L'' on ''X'' is said to be '''very ample''', if there is an embedding ''i : X → '''''P'''<sup>''n''</sup><sub>''S''</sub>, the ''n''-dimensional projective space over ''S'' for some ''n'', such that the [[inverse image functor|pullback]] of the [[Serre twist sheaf|standard twisting sheaf]] ''O''(1) on '''P'''<sup>''n''</sup><sub>''S''</sub> is isomorphic to ''L'':
:''i''<sup>*</sup>(O(1)) ≅ ''L''.-->

従って、この考えは前の考えの特別な場合であり、すなわち、大域的に生成されていてある大域的生成子により与えられてた射(morphism)が埋め込みになっているときに、非常に豊富という。

X 上に非常に豊富な層 L と[[連接層]] F が与えられると、[[ジャン＝ピエール・セール|セール]]の定理は、（連接層）F ⊗ L<sup>⊗n</sup> は充分大きな n に対して有限な大域的切断により生成される。翻って、このことは、大域的切断と高次（ザリスキー）[[層コホモロジー]]群 
:<math>H^i(X, F)</math>
は有限生成であることを意味する。このことは射影的な状況のきわ立った様子である。例えば、体 k 上のアフィン n-空間 A<sup>n</sup><sub>k</sub> に対し、[[構造層]] O の大域的切断は n 変数の多項式であるので、有限生成な k-ベクトル空間にはならない。一方、'''P'''<sup>n</sup><sub>k</sub> にかんしては、大域的な切断はまさに定数函数であり、1-次元の k-ベクトル空間を形成する。
<!---Hence this notion is a special case of the previous one, namely a line bundle is very ample if it is globally generated and the morphism given by some global generators is an embedding.

Given a very ample sheaf ''L'' on ''X'' and a [[coherent sheaf]] ''F'', a theorem of [[Jean-Pierre Serre|Serre]] shows that (the coherent sheaf) ''F ⊗ L<sup>⊗n</sup>'' is generated by finitely many global sections for sufficiently large ''n''. This in turn implies that global sections and higher (Zariski) [[Sheaf cohomology|cohomology]] groups 
:''H''<sup>''i''</sup>(''X'', ''F'')
are finitely generated. This is a distinctive feature of the projective situation. For example, for the affine ''n''-space ''A<sup>n</sup><sub>k</sub>'' over a field ''k'', global sections of the [[structure sheaf]] ''O'' are polynomials in ''n'' variables, thus not a finitely generated ''k''-vector space, whereas for '''P'''<sup>''n''</sup><sub>''k''</sub>, global sections are just constant functions, a one-dimensional ''k''-vector space.-->

==定義==
'''豊富な直線束''' L は、非常に豊富な直線束よりも少し弱い条件で、直線束 L が'''豊富'''とは、任意の X 上の連接層 F に対し、ある整数 n(F) が存在し、F ⊗ L<sup>⊗n</sup> がその大域切断で生成される場合を言う。

おそらく少し直感的に、同じ直線束 <math>\mathcal L</math> の豊富さの定義は、ある正の数のテンソルべきを持っていて、それが非常に豊富となる時を言う。言い換えると、<math>n \gg 0 </math> に対し、{{仮リンク|射影埋め込み|en|projective embedding|redirect=1<!-- リダイレクト先の「[[:en:Projective variety]]」は、[[:ja:射影多様体]] とリンク -->}} <math>j: X \to \mathbb P^N</math> が存在し、<math>\mathcal L^{\otimes n} = j^* (\mathcal O(1))</math> となる、つまり、n > n(F) に対し、<math>\mathcal L^{\otimes n}</math> の大域切断のゼロ因子が超平面切断となることを言う。
<!---The notion of '''ample line bundles''' ''L'' is slightly weaker than very ample line bundles: a line bundle ''L'' is ample if for any coherent sheaf ''F'' on ''X'', there exists an integer ''n(F)'', such that ''F'' ⊗ ''L''<sup>⊗''n''</sup> is generated by its global sections for ''n > n(F)''.

An equivalent, maybe more intuitive, definition of the ampleness of the line bundle <math>\mathcal L</math> is its having a positive tensorial power that is very ample. In other words, for <math>n \gg 0 </math> there exists a [[projective embedding]] <math>j: X \to \mathbb P^N</math> such that <math>\mathcal L^{\otimes n} = j^* (\mathcal O(1))</math>, that is the zero divisors of global sections of  <math>\mathcal L^{\otimes n}</math>
are hyperplane sections.-->

この定義は、基礎となる'''因子'''([[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]) <math>D</math> に対して意味を持ち、豊富な <math>D</math> は、<math>nD</math> が'''充分に大きな'''{{仮リンク|因子の一次系|label=一次系|en|linear system of divisors}}(linear system)'''の中で動く'''。そのような因子は、ある意味'''充分正'''であるようなすべての因子の中の[[錐 (位相幾何学)|錐]](cone)を形成する。射影空間との関係は、非常に豊富な <math>L</math> に対する <math>D</math> が、<math>M</math> に埋め込まれた{{仮リンク|超平面切断|en|hyperplane section}}（ある[[超平面]]との交叉）に対応する。

2つの定義の間の同値性は、[[ジャン＝ピエール・セール]]の代数的連接層([[:en:Faisceaux algébriques cohérents]])により確立している。
<!---This definition makes sense for the underlying ''divisors'' ([[Cartier divisor]]s) <math>D</math>; an ample <math>D</math> is one where <math>nD</math> ''moves in a large enough [[linear system of divisors|linear system]]''. Such divisors form a [[cone (topology)|cone]] in all divisors of those that are, in some sense, ''positive enough''. The relationship with projective space is that the <math>D</math> for a very ample <math>L</math> corresponds to the [[hyperplane section]]s (intersection with some [[hyperplane]]) of the embedded <math>M</math>.

The equivalence between the two definitions is credited to [[Jean-Pierre Serre]] in [[Faisceaux algébriques cohérents]].-->

==直線束の豊富性の判定条件==
<!---==Criteria for ampleness of line bundles==-->

===交叉理論===
{{see|[[交叉理論#代数幾何学における交叉理論|代数幾何学における交叉理論]]}}

[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]] D が豊富な直線束に対応していることを実際に決定するために、いくつかの幾何学的な条件がある。

曲線に対しては、因子 D が非常に豊富であることと、A と B が点である場合でも 
l(D) = 2 + l(D &minus; A &minus; B) であることとは同値である。[[リーマン・ロッホの定理]]により、少なくとも次数が 2''g''&nbsp;+&nbsp;1 であるこの条件を持たす全ての因子は、非常に豊富である。このことは因子が豊富であることと次数が正であることとは同値であることを意味する。次数が 2''g''&nbsp;&minus;&nbsp;2 である[[標準因子]]が非常に豊富であることと、曲線が[[超楕円曲線]]ではないこととは同値である。

'''中井・モアシェゾンの判定条件'''(Nakai–Moishezon criterion)({{harvnb|Nakai|1963}}, {{harvnb|Moishezon|1964}})は、[[代数的閉体]]上の固有スキーム X 上のカルティエ因子 D が豊富であることと、X の任意の整閉な{{仮リンク|部分スキーム|en|subscheme}} Y に対して、D<sup>dim(Y)</sup>.Y > 0 であることとは同値であることを言っている。この特別な場合である曲線の場合は、因子が豊富であることと次数が正であることは同値であり、また、ある滑らかな射影的[[代数曲面]] S に対して、中井・モアシェゾンの判定条件は、D が豊富であることと、[[交叉理論#自己交叉|自己交叉数]](self-intersection number) D.D が（ゼロでない）正であることとは同値であることを言っている。従って、任意の S 上の[[既約成分|既約]]曲線 C に対して、D.C > 0 を得る。
<!---===Intersection theory===
{{see|intersection theory#Intersection theory in algebraic geometry}}

To decide in practice when a [[Cartier divisor]] ''D'' corresponds to an ample line bundle, there are some geometric criteria.

For curves, a divisor ''D'' is very ample if and only if
''l''(''D'') = 2 + ''l''(''D'' &minus; ''A'' &minus; ''B'') whenever ''A'' and ''B'' are points. By the [[Riemann–Roch theorem]] every divisor of degree
at least 2''g''&nbsp;+&nbsp;1 satisfies this condition so is very ample. This implies that a divisor is ample if and only if it has positive degree. The [[canonical divisor]] of degree 2''g''&nbsp;&minus;&nbsp;2 is very ample if and only if the curve is not
a [[hyperelliptic curve]].

The '''Nakai–Moishezon criterion''' ({{harvnb|Nakai|1963}}, {{harvnb|Moishezon|1964}}) states that a Cartier divisor ''D'' on a proper scheme ''X'' over an [[algebraically closed field]] is ample if and only if ''D''<sup>dim(''Y'')</sup>.''Y'' > 0 for every closed integral [[subscheme]] ''Y'' of ''X''. In the special case of curves this says that a divisor is ample if and only if it has positive degree, and for a smooth projective [[algebraic surface]] ''S'', the Nakai–Moishezon criterion states that ''D'' is ample if and only if its [[self-intersection number]] ''D''.''D'' is strictly positive, and for any [[Irreducible component|irreducible]] curve ''C'' on ''S'' we have ''D''.''C'' > 0.-->

'''クライマンの判定条件'''(Kleiman condition)は、任意の[[射影スキーム]] X に対し、X 上の因子 D が豊富であることと、NE(''X'')の[[閉包]]、つまり、X の{{仮リンク|曲線の錐|en|cone of curves}}(cone of curves)の中で D.C > 0 が任意のゼロでない元 C に対して成り立つことと同値であると言っている。言い換えると、因子が豊富であることと、{{仮リンク|ネフ因子|en|nef divisor}}(nef divisor)によって生成される実円錐の内部にあることとは同値である。

{{harvtxt|Nagata|1959}}はすべての曲線との交叉数が正であるが豊富ではない曲面上の因子を構成した。このことは、条件 D.D&nbsp;>&nbsp;0 が中井・モアシェゾンの判定条件から省略できなく、クライマンの条件の NE(''X'') というよりも NE(''X'') の閉包を使う必要があることを意味している。

{{harvtxt|Seshadri|1972|loc=Remark 7.1, p. 549}} は、完備代数的スキームの上の直線束 L が豊富であることと、ある正の数 ε が存在し、X の中のすべての整な曲線 C に対して 
deg(L|<sub>C</sub>) ≥ εm(C) となることと同値であることを示した。ここに m(C) は C の点での多重度の最大値である。
<!---The '''Kleiman condition''' states that for any [[projective variety|projective]] scheme ''X'', a divisor ''D'' on ''X'' is ample if and only if ''D''.''C'' > 0 for any nonzero element ''C'' in the [[closure (topology)|closure]] of NE(''X''), the [[cone of curves]] of ''X''. In other words a divisor is ample if and only if it is in the interior of the real cone generated by [[nef divisor]]s.

{{harvtxt|Nagata|1959}} constructed divisors on surfaces that have positive intersection with every curve, but are not ample.
This shows that the condition ''D''.''D''&nbsp;>&nbsp;0 cannot be omitted in the Nakai–Moishezon criterion, and it is necessary to use the closure of NE(''X'') rather than NE(''X'') in the Kleiman condition.

{{harvtxt|Seshadri|1972|loc=Remark 7.1, p. 549}} showed that a line bundle ''L'' on a complete algebraic scheme is ample if and only if there is some positive ε such that 
deg(''L''|<sub>''C''</sub>) ≥ ε''m''(''C'') for all integral curves ''C'' in ''X'', where ''m''(''C'') is the
maximum of the multiplicities at the points of ''C''.-->

===層コホモロジー===

[[アンリ・カルタン|カルタン]]-[[ジャン＝ピエール・セール|セール]]-[[アレクサンドル・グロタンディーク|グロタンディーク]]の定理は、多様体 <math>X</math> 上の直線束 <math>\mathcal L</math> に対し、次の条件は同値であることを言っている。
* <math>\mathcal L</math> が豊富であること
* 充分大きな m に対し、<math>\mathcal L^{\otimes m}</math> は非常に豊富であること
* X 上の任意の連接層 <math>\mathcal F</math> に対し、層 <math>\mathcal F \otimes \mathcal L^{\otimes m}</math> は、充分大きな m に対し大域切断により生成される。

<math>X</math> があるネター環の上に固有であれば、次も同値である。
* X 上の任意の連接層 <math>\mathcal F</math> 対し、充分大きな m では[[層コホモロジー|高次コホモロジー]] <math>H^i(X, \mathcal F \otimes \mathcal L^{\otimes m}), \ i \geq 1</math> はゼロとなる。
<!---===Sheaves cohomology===

The theorem of [[Henri Cartan|Cartan]]-[[Jean-Pierre Serre|Serre]]-[[Grothendieck]] states that for a line bundle <math>\mathcal L</math> on a variety <math>X</math>, the following conditions are equivalent:
* <math>\mathcal L</math> is ample
* for ''m'' big enough, <math>\mathcal L^{\otimes m}</math> is very ample
* for any coherent sheaf <math>\mathcal F</math> on ''X'', the sheaf <math>\mathcal F \otimes \mathcal L^{\otimes m}</math> is generated by global sections, for ''m'' big enough

If <math>X</math> is proper over some noetherian ring, this is also equivalent to:
* for any coherent sheaf <math>\mathcal F</math> on ''X'', the [[sheaf cohomology|higher cohomology groups]] <math>H^i(X, \mathcal F \otimes \mathcal L^{\otimes m}), \ i \geq 1</math> vanish for ''m'' big enough.-->

==一般化==

=== 高次ランクのベクトルバンドル ===
多様体上の[[局所自由層]]（[[ベクトルバンドル]]）<math>F</math> が'''豊富'''とは、<math>\mathbb{P}(F)</math> 上の[[可逆層]] <math>\mathcal{O}(1)</math> が豊富である時を言う。

豊富なベクトルバンドルは、豊富な直線束の多くの性質を引き継いで持っている。
<!---==Generalizations==

=== Vector bundles of higher rank ===
A [[locally free sheaf]] ([[vector bundle]]) <math>F</math> on a variety is called '''ample''' if the [[invertible sheaf]] <math>\mathcal{O}(1)</math> on <math>\mathbb{P}(F)</math> is ample {{harvtxt|Hartshorne|1966}}.

Ample vector bundles inherit many of the properties of ample line bundles.-->

===大きな直線束===
{{main| 飯高次元}}
双有理幾何学において重要な一般化には、'''大きな直線束'''であるということがある。X 上の直線束 <math>\mathcal L</math> が大きいとは、次の同値な条件のうちのひとつを満たすときを言う。
*<math>\mathcal L</math> は豊富な直線束と有効な直線束のテンソル積
*有限生成な[[次数付き環]] <math>\bigoplus_{k=0}^\infty \Gamma (X, \mathcal L ^{\otimes k})</math> の[[ヒルベルト多項式]]は、X の次元の次数を持っている。
*{{仮リンク|因子の一次系|label=因子の全体の系|en|linear system of divisors}} <math>X \to \mathbb P \Gamma (X, \mathcal L^{\otimes k})</math> の有理写像は、大きな <math>k \gg 0</math> に対し、その像に[[双有理]]同値である。この考え方の面白いところは、有理変換に関して安定性を持っていることである。
<!---===Big line bundles===
{{main| Iitaka dimension}}
An important generalization, notably in [[birational geometry]], is that of a '''big line bundle'''. A line bundle <math>\mathcal L</math> on ''X'' is said to be big if the equivalent following conditions are satisfied:
*<math>\mathcal L</math> is the tensor product of an ample line bundle and an effective line bundle
*the [[Hilbert polynomial]] of the finitely generated [[graded ring]] <math>\bigoplus_{k=0}^\infty \Gamma (X, \mathcal L ^{\otimes k})</math> has degree the dimension of ''X''
*the rational mapping of the [[linear system of divisors|total system of divisors]] <math>X \to \mathbb P \Gamma (X, \mathcal L^{\otimes k})</math> is [[birational]] on its image for <math>k \gg 0</math>.
The interest of this notion is its stability with respect to rational transformations.-->

==参照項目==

===一般の代数幾何学での豊富性===
*[[因子 (代数幾何学)#カルティエ因子|カルティエ因子]]
*{{仮リンク|射影空間の代数幾何学|en|Algebraic geometry of projective spaces}}
*[[ファノ多様体]]：反[[標準バンドル|標準直線束]]が豊富な代数多様体

===複素幾何学での豊富性===
*[[正則ベクトルバンドル]]
*直線束が豊富であることと、[[チャーン類]]がケーラー類であることとは同値
*[[小平埋め込み定理]]: コンパクトな複素多様体に対し、豊富性と正値性は一致する。
*[[レフシェッツ超平面定理]]: 複素射影多様体の上の非常に豊富な直線束の研究は強いトポロジカルな情報をもたらす。

==参考文献==

===学習用の参考文献===
* {{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link= Robin Hartshorne | title=[[Algebraic Geometry (book)|Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin, New York | isbn=978-0-387-90244-9 | mr=0463157 | year=1977}}
* {{Citation | last1=Lazarsfeld | first1=Robert | author1-link= Robert Lazarsfeld | title=[[Positivity in Algebraic Geometry (book)|Positivity in Algebraic Geometry]] | publisher=[[Springer-Verlag]] | location=Berlin | year=2004}}
* The slides on ampleness in Vladimir Lazić's [https://www.yumpu.com/en/document/fullscreen/11752434/algebraic-geometry-lecture-7-canonical-bundle-i Lectures on algebraic geometry]

===研究のための参考文献===
*{{Citation | last1=Hartshorne | first1=Robin | author1-link=Robin Hartshorne | title=Ample vector bundles | url=http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1966__29__63_0 | mr=0193092 | year=1966 | journal=[[Publications Mathématiques de l'IHÉS]] | issn=1618-1913 | issue=29 | pages=63–94}}
*{{Citation | doi=10.2307/1970447 | last1=Kleiman | first1=Steven L. | author1-link=Steven Kleiman | title=Toward a numerical theory of ampleness | jstor=1970447 | mr=0206009 | year=1966 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=84 | pages=293–344 | issue=3 | publisher=Annals of Mathematics}}
*{{Citation | last1=Moishezon | first1=B. G. | authorlink1 = Boris Moishezon | title=A projectivity criterion of complete algebraic abstract varieties | mr=0160782 | year=1964 | journal=Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya | issn=0373-2436 | volume=28 | pages=179–224}}
* {{Citation | last1=Nagata | first1=Masayoshi | author1-link= Masayoshi Nagata | title=On the 14th problem of Hilbert | mr=0154867 | year=1959 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | volume=81 | pages=766–772 | doi=10.2307/2372927 | jstor=2372927 | issue=3 | publisher=The Johns Hopkins University Press}}
*{{Citation | doi=10.2307/2373180 | last1=Nakai | first1=Yoshikazu | title=A criterion of an ample sheaf on a projective scheme | jstor=2373180 | mr=0151461 | year=1963 | journal=[[American Journal of Mathematics]] | issn=0002-9327 | volume=85 | pages=14–26 | issue=1 | publisher=The Johns Hopkins University Press}}
*{{Citation | doi=10.2307/1970870 | last1=Seshadri | first1=C. S. | title=Quotient spaces modulo reductive algebraic groups | jstor=1970870 | mr=0309940 | year=1972 | journal=[[Annals of Mathematics|Annals of Mathematics. Second Series]] | issn=0003-486X | volume=95 | pages=511–556 | issue=3 | publisher=Annals of Mathematics}}

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