資本資産価格モデルのソースを表示

{{Redirect|CAPM|Certified Associate in Project Management|プロジェクトマネジメント協会}}
'''資本資産価格モデル'''（しほんしさんかかくモデル、{{lang-en-short|Capital Asset Pricing Model, '''CAPM'''}}、シーエーピーエム、キャップエム）とは、[[金融資産]]の期待収益率のクロスセクション構造を記述するモデル。[[1960年代]]に[[ウィリアム・フォーサイス・シャープ|ウィリアム・シャープ]]<ref>{{Harvnb|Sharpe|(1964)|ref=Sharpe1964}}</ref>、{{仮リンク|John Lintner|en|John Lintner}}<ref>{{Harvnb|Lintner|(1965)|ref=Lintner1965}}</ref>、{{仮リンク|Jan Mossin|en|Jan Mossin}}<ref>{{Harvnb|Mossin|(1966)|ref=Mossin1966}}</ref>により独立に発表された<ref group="注釈">{{仮リンク|Jack Treynor|en|Jack Treynor}}はこの3名より先行して独立にCAPMの導出に至っていたことが知られている({{Harvnb|Treynor|(1961)|ref=Treynor1961}}, {{Harvnb|Treynor|(1962)|ref=Treynor1962}})。しかしTreynor の研究成果は学術誌で出版されなかったので、CAPMの導出についてはこの3名の業績が上げられる場合が多い。</ref>。CAPMの下では金融資産の期待収益率の共変動<ref group="注釈">異なる金融資産のリターンの変動が同一の傾向を示すこと。</ref>が[[現代ポートフォリオ理論|市場ポートフォリオ]]([[時価総額加重平均型株価指数]])の期待収益率の変動で説明される。後述のようにCAPMに代替する資産価格モデルも多数登場しているが、[[金融経済学]]において最も基本的な資産価格モデルの一つであり、CAPMによって定式化された概念は学術研究のみならず金融実務や個人投資の手法等にも広く浸透している。特にウィリアム・シャープはCAPMの導出も含めた資産価格理論研究への貢献により[[1990年]]の[[ノーベル経済学賞]]を受賞している。

== 概要 ==
CAPMによれば、金融市場における任意の金融資産 <math>i</math> の期待収益率(期待リターン) <math>E[R_{i}]</math> は次の式を満たす<ref>{{Harvnb|池田|(2000)|ref=池田2000}}, 81p</ref>。

:<math>E[R_{i}] - r_\mathrm{f} = \beta_{i\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big)</math>

ここで
* <math>E[R_{i}]</math> は[[リスク資産]]の期待収益率
* <math>r_\mathrm{f}</math> は[[無リスク資産]]の利子率
* <math>E[R_{\mathrm{m}}] </math> は[[現代ポートフォリオ理論#市場ポートフォリオと資本市場線|市場ポートフォリオ]]と呼ばれる金融市場に存在する全てのリスクのある金融資産の時価総額加重平均ポートフォリオの期待収益率
* 市場ポートフォリオの期待収益率と無リスク資産の利子率の差 <math>E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}</math> は''マーケットリスクプレミアム''と呼ばれる。
* <math>\beta_{i\mathrm{m}}</math> はマーケットリスクプレミアムに対する資産 <math>i</math> の[[リスクプレミアム]]の感応度であり、<math>\beta_{i\mathrm{m}} = \mathrm{Cov}(R_i,R_\mathrm{m}) / \mathrm{Var}(R_\mathrm{m})</math> を満たす。ただし、<math>\mathrm{Cov}(R_i,R_\mathrm{m})</math> は資産 <math>i</math> の収益率 <math>R_{i}</math> と市場ポートフォリオの収益率 <math>R_\mathrm{m}</math> の[[共分散]]で、<math>\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})</math> は市場ポートフォリオの収益率の[[分散 (確率論)|分散]]である。この <math>\beta_{i\mathrm{m}}</math> のことを資産 <math>i</math> の''ベータ''({{lang-en-short|beta}})と呼ぶ。

この式の導出については、[[#CAPMの導出|CAPMの導出]](後述)を参照。CAPMの下では全ての金融資産のリスクプレミアムが共通ファクターである市場ポートフォリオのリスクプレミアムと、それに対する各資産固有の感応度であるベータの積で表されることから、金融資産の期待収益率のクロスセクション構造が完全に決定されている。CAPMにより理論上のリスクプレミアムが評価できることから、金融資産の(CAPM上での)適正価格を導くことができ、適正な資産価格の一つの基準として利用することが出来る。

== 歴史 ==
CAPMは[[現代ポートフォリオ理論]]の最大の理論的成果と言える。[[1952年]]に[[ハリー・マーコウィッツ]]が考案した'''平均分散分析'''({{lang-en-short|mean-variance analysis}})と呼ばれる[[金融経済学#完全市場|完全市場]]の下での[[ポートフォリオ]]選択理論<ref>{{Harvnb|Markowitz|(1952)|ref=Markowitz1952}}</ref>は[[金融経済学]]や[[数理ファイナンス]]といったファイナンス理論の端緒となる研究であった。1950年代以前のファイナンスと言えば[[銀行]]などの金融仲介機関についての研究が主であった中でのマーコウィッツの研究はあまりに革新的で、彼が[[シカゴ大学]]からの[[経済学]]の[[博士号]]を受け取るのに苦労したという逸話が残されているほどである<ref>{{Harvnb|Handbook of the Economics of Finance 1|(2003)|ref=HandbookoftheEconomicsofFinance1}}, Preface ix.</ref>。その後、平均分散分析と期待効用最大化の関係が[[ジェームス・トービン]]によって検討され<ref>{{Harvnb|Tobin|(1958)|ref=Tobin1958}}</ref><ref>{{Harvnb|池田|(2000)|ref=池田2000}}, 54p</ref>、'''分離定理'''({{lang-en-short|separation theorem}})と呼ばれる、ある特定の平均分散的に効率的なポートフォリオ([[現代ポートフォリオ理論#接点ポートフォリオ|接点ポートフォリオ]])と無リスク資産への投資比率を変化させるだけで[[現代ポートフォリオ理論#効率的フロンティア|効率的フロンティア]]を再現できるという定理が示された。このような中で、マーコウィッツによって創始された平均分散分析に基づき、[[ミクロ経済学]]の[[一般均衡]]としての理論的基礎を持ったモデルとして登場したのがCAPMである。

CAPMは学術的にも実務的にも広く受け入れられ、金融資産、特に[[株式]]の期待収益率のクロスセクション構造を記述するスタンダードモデルの一つとしての地位を獲得した。後述のように代替モデルも多数登場しているが、[[2015年]]現在において未だにCAPMで現れた概念は幅広く用いられている。実際、[[証券会社]]などの情報サービスで各社が推定した株式のベータが参照できる場合が多い。特に[[ハリー・マーコウィッツ]]と[[ウィリアム・フォーサイス・シャープ|ウィリアム・シャープ]]はこれらの資産選択理論についての貢献により[[1990年]]の[[ノーベル経済学賞]]を受賞した。

== 理論 ==
=== CAPMの導出 ===
CAPMの導出について述べる。以下の記述は{{Harvnb|池田|(2000)|ref=池田2000}}と{{Harvnb|Dybvig and Ross|(2003)|ref=Dybvig,Ross2000}}に基づく。まずCAPMが成立する為に必要な仮定として以下の4点があげられる。

# 全ての投資家は平均分散分析によりポートフォリオを選択する。
# 全ての投資家は全ての金融資産の収益率の平均と分散について同一の予想を持つ。
# 金融市場が[[金融経済学#完全市場|完全市場]]である。
# [[無リスク資産]]が存在する。

第一の仮定が成立する為には全ての金融資産の収益率の同時分布が[[正規分布]]であるか、もしくは全ての投資家の[[期待効用]]関数が2次関数の形式を取っているかのいずれか<ref group="注釈">後者のみが成立する時に、全ての金融資産の収益率が二乗可積分であることも当然必要になる。</ref>と全ての投資家がリスク回避的であることが成り立たねばならない。

ここで[[金融市場]]には <math>n</math> 個の[[リスク資産]]と利子率 <math>r_\mathrm{f}</math> の[[無リスク資産]]、そして <math>J</math> 人の投資家が存在するとしよう。任意のリスク資産 <math>i</math> についてその収益率を <math>R_{i}</math> とすると、第 <math>j</math> 投資家の期待効用を最大化する平均分散的に効率的なリスク資産への投資比率ポートフォリオ <math>\phi^{j}_{i},i=1,\dots,n</math> は<ref group="注釈">無リスク資産への投資比率は <math>1-\sum_{i=1}^{n}\phi^{j}_{i}</math> となる。</ref>次の連立方程式の解となる。

:<math> E[R_{i}] - r_\mathrm{f} = \lambda^{j}\Big(\mathrm{Cov}(R_{1},R_{i})\phi^{j}_{1} + \cdots + \mathrm{Cov}(R_{n},R_{i})\phi^{j}_{n}\Big) = \lambda^{j}\sum_{k=1}^n\mathrm{Cov}(R_{k},R_{i})\phi^{j}_{k},\quad i=1,\dots,n</math>

ここで <math>\lambda^{j}</math> は0ではない各投資家に固有の係数である。リスク資産 <math>i</math> の時価総額を <math>V_{i}</math> とし、投資家 <math>j</math> の初期資産を <math>W^j</math> とすれば、需給一致の条件から

:<math> V_{i} = \sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{i},\quad i=1,\dots,n</math>

となる。よって金融市場の全てのリスク資産の時価総額加重平均ポートフォリオは

:<math> \phi^\mathrm{m}_{i} = \frac{V_{i}}{\sum_{l=1}^{n}V_{l}} = \frac{\sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{i}}{\sum_{l=1}^{n}\sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{l}},\quad i=1,\dots,n </math>

と表せる<ref group="注釈">分母がゼロとなる可能性もあるが、そのような可能性は考えないことにする。</ref>。よって任意の <math>i=1,\dots,n</math> について

:<math> \sum_{k=1}^n\mathrm{Cov}(R_{k},R_{i})\phi^\mathrm{m}_{k} = \frac{\sum_{j=1}^{J}W^{j}\sum_{k=1}^n\mathrm{Cov}(R_{k},R_{i})\phi^{j}_{k}}{\sum_{l=1}^{n}\sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{l}} = \frac{\sum_{j=1}^{J}W^{j}/\lambda^{j}}{\sum_{l=1}^{n}\sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{l}}\Big(E[R_{i}] - r_\mathrm{f}\Big) </math>

となる。つまり任意の <math>i</math> について

:<math> E[R_{i}] - r_\mathrm{f} = \lambda^\mathrm{m}\sum_{k=1}^n\mathrm{Cov}(R_{k},R_{i})\phi^\mathrm{m}_{k} = \lambda^\mathrm{m}\mathrm{Cov}(R_\mathrm{m},R_{i}) </math>

が成り立つ。ただし

:<math>\lambda^\mathrm{m} = \frac{\sum_{l=1}^{n}\sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{l}}{\sum_{j=1}^{J}W^{j}/\lambda^{j}} </math>

である。ここでマーケットリスクプレミアムは

:<math>E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f} = \sum_{i=1}^{n}\Big(E[R_{i}] - r_\mathrm{f}\Big)\phi^\mathrm{m}_{i} = \lambda^\mathrm{m}\sum_{i=1}^{n}\mathrm{Cov}(R_\mathrm{m},R_{i})\phi^\mathrm{m}_{i} = \lambda^\mathrm{m}\mathrm{Var}(R_\mathrm{m}) </math>

となる。よって

:<math>\lambda^\mathrm{m} = \frac{E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})}</math>

となる。したがって任意の <math>i</math> について

:<math> E[R_{i}] - r_\mathrm{f} = \frac{\mathrm{Cov}(R_{i},R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big) = \beta_{i\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big) </math>

が成立する。この式はまさしくCAPMである。

=== 市場ポートフォリオと接点ポートフォリオ ===
CAPMが成立するならば、市場ポートフォリオと[[現代ポートフォリオ理論#接点ポートフォリオ|接点ポートフォリオ]]は一致する。接点ポートフォリオを <math>\phi^\mathrm{T}_{i},i=1,\dots,n</math> とすると、[[ジェームズ・トービン]]の分離定理より任意の投資家 <math>j</math> の期待効用を最大化するリスク資産へのポートフォリオ <math>\phi^{j}_{i},i=1,\dots,n</math> はある実数 <math>\gamma^{j}</math> を用いて

:<math> \phi^{j}_{i} = \gamma^{j}\phi^\mathrm{T}_{i},i=1,\dots,n </math>

と表せる。よってリスク資産 <math>i</math> の時価総額を <math>V_{i}</math> とし、投資家 <math>j</math> の初期資産を <math>W^{j}</math> とすれば需給一致の条件から任意の <math>i</math> について

:<math> V_{i} = \sum_{j=1}^{J}W^{j}\phi^{j}_{i} = \sum_{j=1}^{J}W^{j}\gamma^{j}\phi^\mathrm{T}_{i} = \delta\phi^\mathrm{T}_{i},\quad \delta = \sum_{j=1}^{J}W^{j}\gamma^{j} </math>

と表せる<ref group="注釈"><math>\delta=0</math> となることも考えられるが、そのようなことはないと仮定する。</ref>。したがってリスク資産の時価総額加重平均ポートフォリオ <math>\phi^\mathrm{m}_{i},i=1,\dots,n</math> は、<math> \sum_{i=1}^{n}\phi^\mathrm{T}_{i} = 1 </math> に注意すれば、

:<math>\phi^\mathrm{m}_{i} = \frac{V_{i}}{\sum_{l=1}^{n}V_{l}} = \frac{\delta\phi^\mathrm{T}_{i}}{\sum_{l=1}^{n}\delta\phi^\mathrm{T}_{l}} = \phi^\mathrm{T}_{i}</math>

となり、確かに接点ポートフォリオと一致する。

=== 線形性 ===
CAPMのベータには一種の[[線形性]]がある。金融資産 <math>i=1,\dots,n</math> について、資金を <math>\phi_{i},i=1,\dots,n</math> の比率で投資するポートフォリオを考える<ref group="注釈"><math>\phi_{i}</math> の総和は1とする。</ref>。するとこのポートフォリオの収益率 <math>R_{p}</math> は金融資産 <math>i</math> の収益率を <math>R_{i}</math> とすれば、以下の式で表される。

:<math> R_{p} = \sum_{i=1}^{n}R_{i}\phi_{i} </math>

この時、CAPMが成立しているならば、このポートフォリオの期待収益率 <math>E[R_{p}]</math> について次のような変形が可能である。
:<math> E[R_{p}] = \sum_{i=1}^{n}E[R_{i}]\phi_{i} = \sum_{i=1}^{n}\Big(r_\mathrm{f} + \beta_{i\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big)\Big)\phi_{i} = r_\mathrm{f} + \beta_{p\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big) </math>

ただし、

:<math> \beta_{p\mathrm{m}} = \sum_{i=1}^{n}\beta_{i\mathrm{m}}\phi_{i} = \sum_{i=1}^{n}\frac{\mathrm{Cov}(R_i,R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})}\phi_{i} = \frac{\mathrm{Cov}(\sum_{i=1}^{n}R_i\phi_{i},R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})} = \frac{\mathrm{Cov}(R_{p},R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})} </math>

である。よってまとめると

:<math> E[R_{p}] - r_\mathrm{f} = \beta_{p\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big),\quad \beta_{p\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{Cov}(R_{p},R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})} = \sum_{i=1}^{n}\beta_{i\mathrm{m}}\phi_{i}</math>

が成り立つ。この結果は以下で述べる極めて実用的なインプリケーションを持つ。CAPMの線形性を用いれば、個別株式のベータやポートフォリオの投資比率を特定することなく、ポートフォリオ全体のパフォーマンス(ポートフォリオの[[リスクプレミアム]])を測定することが出来る。よって[[投資信託]]などのファンドが報告している収益率実績などからそのファンド(のポートフォリオ)のベータを推定することが可能になる。つまりファンドがCAPMから逸脱した収益を上げているかどうかを限られたデータから調べることが可能になる。この観点に基づき{{仮リンク|マイケル・ジェンセン|en|Michael Jensen}}が[[ジェンセンのアルファ]]と呼ばれる指標を用いて株式の投資信託のパフォーマンスを統計的に検証した論文を[[1968年]]に発表している<ref name=Jensen1968>{{Harvnb|Jensen|(1968)|ref=Jensen1968}}</ref>。

=== シャープ・レシオ ===
CAPMの下で[[ウィリアム・フォーサイス・シャープ|ウィリアム・シャープ]]が提案した投資の効率性を測る指標である[[シャープ・レシオ]]<ref>{{Harvnb|Sharpe|(1966)|ref=Sharpe1966}}</ref>について以下で述べるような関係が成立する。金融資産 <math>i</math> の収益率を <math>R_{i}</math> とすれば、そのシャープ・レシオ <math>S_{i}</math> は

:<math> S_{i} = \frac{E[R_{i}] - r_\mathrm{f}}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{i})}} </math>

で定義される。この時、資産 <math>i</math> の収益率と市場ポートフォリオの収益率 <math>R_\mathrm{m}</math> の[[相関係数]] <math>\rho_{i\mathrm{m}}</math> は次で定義される。

:<math> \rho_{i\mathrm{m}} = \frac{\mathrm{Cov}(R_{i},R_{\mathrm{m}})}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{i})\mathrm{Var}(R_{\mathrm{m}})}} </math>

よってCAPMが成立しているならば、資産 <math>i</math> のシャープ・レシオについて以下の等式が成立する。

:<math> S_{i} = \frac{E[R_{i}] - r_\mathrm{f}}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{i})}} = \frac{\beta_{i\mathrm{m}}}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{i})}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big) = \frac{\mathrm{Cov}(R_i,R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})\sqrt{\mathrm{Var}(R_{i})}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}\Big) = \rho_{i\mathrm{m}}\frac{E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{f}}{\sqrt{\mathrm{Var}(R_{\mathrm{m}})}} = \rho_{i\mathrm{m}}S_{\mathrm{m}}</math>

ここで、<math>S_{\mathrm{m}}</math> は市場ポートフォリオのシャープ・レシオである。相関係数 <math>\rho_{i\mathrm{m}}</math> は-1から1までの値しか取らないので、市場ポートフォリオのシャープ・レシオ(つまり市場ポートフォリオのリスクプレミアム)が正ならば個別資産のシャープ・レシオは必ず市場ポートフォリオのシャープ・レシオを下回ることが言える。[[リスクプレミアム]]の項で説明されているように、リスクプレミアムは通常、正であるので次の不等式が成り立つ。

:<math> S_{i} \leq S_{\mathrm{m}} </math>

CAPMの線形性と合わせて考えると、CAPMの下ではどのようなポートフォリオを考えたとしても、市場ポートフォリオよりシャープ・レシオの観点で効率的なポートフォリオは組成できないことが言える。市場ポートフォリオは時価総額加重平均ポートフォリオなので、[[S&P500]]などの[[時価総額加重平均型株価指数]]と同一視できる。よってインデックス運用と呼ばれる市場インデックス連動型の運用方針が用いられる理論的背景として、このようなシャープ・レシオによる説明が可能である。

=== システマティック・リスクと個別リスク ===
金融資産 <math>i</math> の収益率を <math>R_{i}</math> として次の変数 <math>\epsilon_{i}</math> を定義する。

:<math> \epsilon_{i} = R_{i} - \Big(r_\mathrm{f} + \beta_{i\mathrm{m}}\Big(R_\mathrm{m} - r_\mathrm{f}\Big)\Big) </math>

この時、<math>\epsilon_{i}</math> と <math>R_\mathrm{m}</math> の共分散は0である。実際、

:<math> \mathrm{Cov}(\epsilon_{i},R_\mathrm{m}) = \mathrm{Cov}(R_{i},R_\mathrm{m}) - \beta_{i\mathrm{m}}\mathrm{Var}(R_\mathrm{m}) = \mathrm{Cov}(R_{i},R_\mathrm{m}) - \frac{\mathrm{Cov}(R_i,R_\mathrm{m})}{\mathrm{Var}(R_\mathrm{m})}\mathrm{Var}(R_\mathrm{m}) = 0 </math>

となる。よって <math>R_{i}</math> の分散は

:<math> \mathrm{Var}(R_{i}) = \beta_{i\mathrm{m}}^2\mathrm{Var}(R_\mathrm{m}) + \mathrm{Var}(\epsilon_{i}) </math>

と二つの要因に分割できる。右辺第1項を'''システマティック・リスク'''({{lang-en-short|systematic risk}})と呼び、第2項を'''個別リスク'''({{lang-en-short|idiosyncratic risk}})と言う。CAPMの線形性からこの関係はポートフォリオの収益率の分散にも成り立つ。ポートフォリオが市場ポートフォリオに近づけば個別リスクは小さくなるので、分散投資の重要性についての言及はこの結果を前提としている場合が多い。

=== 資本市場線 ===
[[File:Capital market line of CAPM.svg|400px|thumb|CAPMにおける資本市場線]]
[[現代ポートフォリオ理論#リスク・リターン平面|リスク・リターン平面]]において、無リスク資産の位置する点と市場ポートフォリオの位置する点を結んだ直線を'''資本市場線'''({{lang-en-short|capital market line}})と呼ぶ。CAPMが成立しているならば、全ての投資家の選ぶポートフォリオは必ず資本市場線上にある。

右の図は資本市場線を表したもので、黒い線が資本市場線であり、青い線が[[リスク資産]]のみからなる[[現代ポートフォリオ理論#効率的フロンティア|効率的フロンティア]]である。図における <math>r_\mathrm{f}</math> が[[無リスク資産]]の金利を表し、market portfolio が市場ポートフォリオの位置を表している。つまりmarket portfolio の点におけるX座標が市場ポートフォリオの収益率の標準偏差で、Y座標が市場ポートフォリオの期待収益率となっている。

もし投資家の選んだポートフォリオが資本市場線上において市場ポートフォリオの点より左側にあれば、その投資家は無リスク資産と市場ポートフォリオを共に正の割合で保持していることになる。図におけるlending portfolio の点がそのようなポートフォリオになる。逆に資本市場線上において投資家の選んだポートフォリオが市場ポートフォリオの点より右側にあれば、無リスク資産を空売り、つまり借り入れを行って自己の所有資産以上の金額の市場ポートフォリオを購入していることになる。よってその場合は投資に[[レバレッジ]]がかかっていることになる。図におけるleveraged portfolio の点がそのようなポートフォリオになる。

さらに資本市場線の[[傾き (数学)|傾き]]は市場ポートフォリオの[[シャープ・レシオ]]となっている。

=== 証券市場線 ===
[[File:Security market line of CAPM.svg|400px|thumb|CAPMにおける証券市場線]]
X軸にCAPMのベータ、Y軸に期待収益率を取った[[直交座標系#平面上の直交座標系|座標平面]]をベータ・リターン平面という。ベータ・リターン平面において、[[切片 (数学)|切片]]を無リスク資産の金利とし、ベータが1で期待収益率が市場ポートフォリオの期待収益率である点を通る直線を'''証券市場線'''({{lang-en-short|security market line}})と言う。CAPMが成立しているならば、あらゆる金融資産とあらゆるポートフォリオはベータ・リターン平面上で必ず証券市場線上に位置する。

右の図は証券市場線を図示したものである。図においてa portfolio outperforming the marketと記されている点はCAPMにおける理論値より高い期待収益率となったポートフォリオのベータ・リターン平面上での点で、a portfolio underperforming the marketと記されている点はCAPMにおける理論値より低い収益率となったポートフォリオのベータ・リターン平面上の点である。各ポートフォリオの位置する点を通り、切片を無リスク資産の金利とする直線(青い点線)の傾きはそれぞれのポートフォリオの[[トレイナーの測度]]と一致する。また各ポートフォリオの位置する点から証券市場線への差(赤い点線)はそれぞれのポートフォリオの[[ジェンセンのアルファ]]と一致する。

証券市場線に位置する点のトレイナーの測度はマーケットリスクプレミアムであり、ジェンセンのアルファは0であることから、これら2つの指標が理論値から異なるということはCAPMからの逸脱を表していると言える。また個別の金融資産で考えた場合、ベータ・リターン平面において証券市場線より上に位置する資産はCAPMにおける理論値より割安に値付けられていて、証券市場線より下に位置する資産は割高に値付けられていることも言える。

== ゼロベータCAPM ==
[[File:Zero beta portfolio of CAPM.svg|400px|thumb|CAPMにおけるゼロベータポートフォリオ。図中のmarket portfolioが市場ポートフォリオ、zero-beta portfolioがゼロベータポートフォリオのリスク・リターン平面上での座標である。minimum variance flontier of risky assetsはリスク資産のみからなる最小分散フロンティアである。]]
CAPMには無リスク資産の存在が仮定されている。しかし[[1972年]]に[[フィッシャー・ブラック]]は無リスク資産の存在を仮定しないCAPMとして'''ゼロベータCAPM'''({{lang-en-short|zero-beta CAPM}})を導出した論文を発表した<ref name=Black1972>{{Harvnb|Black|(1972)|ref=Black1972}}</ref>。ゼロベータCAPMの下で金融市場における任意の金融資産 <math>i</math> の期待収益率 <math>E[R_{i}]</math> は次の式を満たす<ref>{{Harvnb|池田|(2000)|ref=池田2000}}, 64p</ref>。

:<math> E[R_{i}] - r_\mathrm{z} = \beta_{i\mathrm{m}}\Big(E[R_\mathrm{m}] - r_\mathrm{z}\Big) </math>

ここで <math>r_\mathrm{z}</math> はゼロベータポートフォリオと呼ばれるポートフォリオの期待収益率で、その他の変数は前述のCAPMの式と同じものである。ゼロベータポートフォリオは以下のようにして作成される。まず市場ポートフォリオはリスク・リターン平面上において(リスク資産のみからなる)[[現代ポートフォリオ理論#効率的フロンティア|効率的フロンティア]]上にある。そこで市場ポートフォリオの点において効率的フロンティアの接線を引き、Y軸(リターン方向の軸)との交点を取る。その交点から水平線を引き、リスク資産の最小分散フロンティアとの交点を取る。するとこの水平線と最小分散フロンティアの交点上にあるポートフォリオがゼロベータポートフォリオとなる。

ゼロベータCAPMが生まれた背景として[[フィッシャー・ブラック]]、{{仮リンク|マイケル・ジェンセン|en|Michael Jensen}}、[[マイロン・ショールズ]]による研究<ref>{{Harvnb|Black, Jensen and Scholes|(1972)|ref=Black,Jensen,Scholes1973}}</ref>がある。[[フィッシャー・ブラック]]がゼロベータCAPMを導出した論文中に述べられていることだが、彼ら3人の実証研究においてCAPMが一部成立しない結果が得られた。ベータが高い株式で組まれたポートフォリオの期待収益率は理論的な値より低くなり、逆にベータが低い株式で組まれたポートフォリオの期待収益率は理論的な値より高くなったのである。そこでベータがゼロとなるポートフォリオ(上のゼロベータポートフォリオ)を考え、市場ポートフォリオとゼロベータポートフォリオのリスクプレミアムによる2ファクターモデルを用いて推定を行った所、結果が改善する傾向が見られた。このような実証的結果の一つの説明として、無リスク資産を用いた資金の貸し借りが不可能なのではないか、という推論に至ったことによる<ref name=Black1972 />。

== CAPMへの批判と新たな資産価格モデルの発展 ==
実証研究においてCAPMは[[1970年代]]前半まではその成立について肯定的な結果が得られていた<ref name=Jensen1968 /><ref name=FamaMacBeth1973>{{Harvnb|Fama and MacBeth|(1973)|ref=Fama,MacBeth1973}}</ref>。しかし[[1970年代]]後半からCAPMに対する様々な批判や問題点が提起された。それはCAPMの理論的な問題点に関する{{仮リンク|Stephen Ross|en|Stephen Ross (economist)}}の指摘<ref name=Ross1976>{{Harvnb|Ross|(1976)|ref=Ross1976}}</ref>や、CAPMについての実証研究が持つ問題点に対する{{仮リンク|Richard Roll|en|Richard Roll}}の指摘<ref name=Roll1977>{{Harvnb|Roll|(1977)|ref=Roll1977}}</ref>、そしてCAPMでは説明できない[[市場アノマリー|アノマリー]]の発見などである。

{{仮リンク|Stephen Ross|en|Stephen Ross (economist)}}はCAPMが成立するための仮定が非常に限定的であるとして、新しい資産価格モデルとして[[裁定価格理論]]を提案した。CAPMが成立するためには完全市場の仮定の他に、投資家の[[選好]]が平均分散分析と整合的である必要がある。つまり市場に参加している全ての投資家は平均分散分析によりポートフォリオを選択しなくてはならない。しかし、これが成立するための理論的な仮定は、全ての金融資産の収益率の同時分布が[[正規分布]]であるか、もしくは全ての投資家の[[期待効用]]関数が2次関数の形式を取ることである。それは非現実的であるので、それらの仮定に依拠しない資産価格理論として裁定価格理論を提案したのである<ref name=Ross1976 />。

他方、{{仮リンク|Richard Roll|en|Richard Roll}}は既存のCAPMについての実証研究が持つ問題点をいくつか提起した。特に有名なものとして、市場ポートフォリオについての批判がある。CAPMは''全ての''金融資産について成立するものなので、市場ポートフォリオも''全ての''金融資産の時価総額加重平均ポートフォリオでなくてはならない。しかし既存の実証研究は株式に対するものが主で、市場ポートフォリオも全ての株式に対する時価総額加重平均ポートフォリオが用いられてきた。その意味で株式しか考慮に入っていない市場ポートフォリオを用いた結果の妥当性を判断するのは難しい。よって市場ポートフォリオは株式以外にも[[債券]]、[[不動産]]、そして[[人的資本]]への投資などを含めた時価総額加重平均ポートフォリオであるべきであるという主張になる<ref name=Roll1977 />。

そしてより深刻な指摘としてCAPMでは説明できないアノマリーの存在がある。このようなアノマリーの例として[[時価総額]]が小さい[[株式]]の方が高い期待リターンを得られるという小型株効果<ref>{{Harvnb|Banz|(1981)|ref=Banz1981}}</ref>や、簿価時価比率([[株価純資産倍率|PBR]]の[[逆数]])が高い割安株の方が高い期待リターンを得られるというバリュー株効果などがある<ref>{{Harvnb|Stattman|(1980)|ref=Stattman1980}}</ref><ref>{{Harvnb|Rosenberg, Reid and Lanstein|(1985)|ref=Rosenberg,Reid,Lanstein1985}}</ref><ref>{{Harvnb|Chan, Hamao and Lakonishok|(1991)|ref=Chan,Hamao,Lakonishok1991}}</ref>。

そこで[[ユージン・ファーマ]]と{{仮リンク|ケネス・フレンチ|en|Kenneth French}}は米国株式市場におけるクロスセクション分析を行い、時価総額、簿価時価比率、[[レバレッジ]]比率、E/P([[株価収益率|PER]]の逆数)の当時認識されていた4つのアノマリー要因は時価総額と簿価時価比率の2つに集約されることを統計的に実証した論文を[[1992年]]に発表した<ref>{{Harvnb|Fama and French|(1992)|ref=Fama,French1992}}</ref>。そしてさらにこの論文中において、時価総額と簿価時価比率でコントロールを行えば、市場ポートフォリオのリスクプレミアムが持つ個別株式のリスクプレミアムへの説明力がほとんど失われることを統計的に実証した。つまりCAPMは、少なくとも米国株式市場においては、成立していないとの結果である。当該論文の発表当時、ユージン・ファーマは[[効率的市場仮説]]の確立などで既に学術的に名声を得ており、さらにCAPMを擁護する論文<ref name=FamaMacBeth1973 />をかつて発表していたことから、この論文は大きなインパクトを持って受け止められた。特に[[フィッシャー・ブラック]]はファーマとフレンチの結果に対して懐疑的な視点を示している<ref>{{Harvnb|Black|(1993)|ref=Black1993}}</ref>。しかし、[[1993年]]にユージン・ファーマとケネス・フレンチが発表した資産価格モデルである[[ファーマ＝フレンチの3ファクターモデル]]<ref>{{Harvnb|Fama and French|(1993)|ref=Fama,French1993}}</ref>はポストCAPMとしての地位を確立し、新たなスタンダードモデルとなった<ref>[http://business.nikkeibp.co.jp/article/opinion/20131017/254717/ 日経ビジネスオンライン]</ref>。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
===注釈===
{{Notelist}}
===出典===
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== 関連項目 ==
* [[現代ポートフォリオ理論]]
* [[リスクプレミアム]]
* [[シャープ・レシオ]]
* [[ジェンセンのアルファ]]
* [[トレイナーの測度]]
* [[加重平均資本コスト]]
* [[異時点間CAPM]]
* [[裁定価格理論]]
* [[消費CAPM]]
* [[ファーマ＝フレンチの3ファクターモデル]]
* [[市場アノマリー]]
* [[金融経済学]]
* [[数理ファイナンス]]
* [[金融工学]]

{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:しほんしさんかかくもてる}}
[[Category:金融経済学]]
[[Category:金融理論]]
[[Category:金融工学]]
[[Category:数理ファイナンス]]
[[Category:金融市場]]
[[Category:ポートフォリオ理論]]