質量行列のソースを表示

{{Expand English|Mass matrix|date=2021-8}}
'''質量行列'''（しつりょうぎょうれつ）は [[解析力学]]では、[[対称行列|対称]]  [[行列]] ''M'' であり、ある系の [[一般化座標系]]''q''の時間微分<math>\dot q</math>とその系の[[運動エネルギー]] ''T'' との関係を次式で表す。

: <math>T = \frac{1}{2} \mathbf{\dot q}^\textsf{T} \mathbf{M} \mathbf{\dot q}</math>

ここで、<math>\mathbf{\dot q}^\textsf{T}</math>は、ベクトル<math>\mathbf{\dot q}</math>の [[転置行列|転置]] を表す。<ref name="Riley3">Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN2|978-0-521-86153-3}}</ref>この方程式は、質量<math>m</math>

<math>m</math>と速度''v''を持つ粒子の運動エネルギーの公式に似ている。すなわち

: <math>T = \frac{1}{2} m|\mathbf{v}|^2 = \frac{1}{2} \mathbf{v} \cdot m\mathbf{v}</math>

これは、システムの各粒子の位置を''q''で表すことによって得られる。

一般に、質量行列''M''は状態''q''に依存し、したがって時間とともに変化する。

[[ラグランジュ力学]]は、[[常微分方程式]](実際には連立微分方程式のシステム)を生成する。これは、システム内のすべての粒子の位置を完全に定義する一般化座標の任意のベクトルによってシステムの進展を記述する。上記の運動エネルギー式は、すべての粒子の全運動エネルギーを表す方程式の1つの項である。

== 例 ==

=== 二体一次元システム ===
[[ファイル:Mass_matrix_masses_in_1d.svg|サムネイル| 1つの空間次元における質量のシステム。]]

: <math>q = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix}^\textsf{T}</math> 。

: <math>T = \sum_{i=1}^{2} \frac{1}{2} m_i \dot {x_i}^2</math>

: <math>T = \frac{1}{2} \dot q^\textsf{T} M \dot q</math>

: <math>M = \begin{bmatrix} m_1 & 0 \\ 0 & m_2 \end{bmatrix}</math>

=== N体システム ===

: <math>M = \operatorname{diag}\left[ m_1 I_{n_1},\, m_2 I_{n_2},\, \ldots,\, m_N I_{n_N} \right]</math>

<sub>''niが''</sub><sub>''I×N''</sub> '''<sub>I</sub>'' ''n''は[[単位行列]]、または：

: <math>M = \begin{bmatrix}
 m_1 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & \cdots & m_1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 0 & \cdots & 0 & m_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots &\vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & m_2 & \cdots & 0 & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & m_N & \cdots & 0 \\
 \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots & \ddots & \vdots \\
 0 & \cdots & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cdots & 0 & \cdots & m_N\\
\end{bmatrix}</math>

=== 回転ダンベル ===
[[ファイル:Mass_matrix_rotating_dumbbell.svg|サムネイル|回転するダンベル。]]

: <math>q = \begin{bmatrix} x & y & \alpha \end{bmatrix}</math>

: <math>\begin{align}
  x_1 &= (x, y) + R(\cos\alpha, \sin\alpha) & v_1 &= \left(\dot x, \dot y\right) + R\dot \alpha(-\sin\alpha, \cos\alpha) \\
  x_2 &= (x, y) - R(\cos\alpha, \sin\alpha) & v_2 &= \left(\dot x, \dot y\right) - R\dot \alpha(-\sin\alpha, \cos\alpha)
\end{align}</math>

: <math>2T = m\dot x^2 + m\dot y^2 + mR^2\dot\alpha^2 - 2Rd\sin(\alpha) \dot x \dot\alpha + 2Rd\cos(\alpha) \dot y \dot\alpha</math>

<math>m = m_1 + m_2</math>と<math>d = m_1 - m_2</math> 。この式は、次のように行列形式で記述でき

: <math>T = \frac{1}{2} \dot q^\textsf{T} M \dot q</math>

: <math>M = \begin{bmatrix}
       m &      0 & -Rd\sin\alpha \\
       0 &      m & Rd\cos\alpha \\
 -Rd\sin\alpha & Rd\cos\alpha & R^2 m
\end{bmatrix}</math>

== 連続体力学 ==

== 関連項目 ==

* [[慣性モーメント]]
* [[エネルギー・運動量テンソル|ストレスエネルギーテンソル]]
*

== 参考文献 ==
<references>
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<ref name="Riley">
 Mathematical methods for physics and engineering, K.F. Riley, M.P. Hobson, S.J. Bence, Cambridge University Press, 2010, {{ISBN2|978-0-521-86153-3}}
</ref>
<ref name="Hand">
  Analytical Mechanics, L.N. Hand, J.D. Finch, Cambridge University Press, 2008, {{ISBN2|978 0 521 57572 0}}
</ref>
-->
</references>
[[Category:計算科学]]