超ケーラー多様体のソースを表示

{{要改訳}}
{{出典の明記|date=2015年9月}}
微分幾何学において、'''超ケーラー多様体'''(hyperkähler manifold)は、次元 4''k''次元のリーマン多様体で、{{仮リンク|完整群|en|holonomy group}}が[[シンプレクティック群|Sp(''k'')]]を含んでいる場合を言う（ここに、Sp(''k'') はシンプレクティック群のコンパクトな形を表していて、<math>k</math>-次元の四元数エルミート空間の四元数線型ユニタリ自己準同型の群と同一視される）。超ケーラー多様体は、[[ケーラー多様体]]の特別なクラスで、ケーラー多様体の[[四元数]]と考えることができる。超ケーラー多様体はみな、[[リッチ平坦]]であり、従って、Sp(''k'') は[[特殊ユニタリ群|SU(2''k'')]]の[[部分群]]であることから容易に分かるように、[[カラビ・ヤウ多様体]]である。

超ケーラー多様体は、[[エウジェニオ・カラビ]]により 1978年に定義された。

==四元数構造==
超ケーラー多様体 ''M'' は、[[計量テンソル|計量]]がケーラーであるということより、複素構造を持つ [[球面|2次元球面]]である（つまり、[[概複素構造|可積分な概複素構造]]を持つ）。

特に、そのような多様体は概四元数多様体であり、3つの異なる複素構造 ''I'', ''J'',  ''K'' が存在し、[[四元数]]の関係式

:<math>I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -1\,</math>

を満たす。実数 <math>a, b, c</math> が

:<math>a^2 + b^2 + c^2 = 1 \, </math>

を満たすとしたときの任意の線型結合

:<math>aI + bJ + cK \, </math>

もまた、''M'' 上の複素構造である。特に、接空間 ''T''<sub>''x''</sub>''M'' は、各々の点 ''x'' で四元数ベクトル空間である。Sp(''k'') は ''I'', ''J'', ''K'' に関して線型である <math>\mathbb{R}^{4k}=\mathbb{H}^k</math> の直交変換群と考えることができる。このことから、多様体のホロノミーは Sp(''k'') に含まれることがわかる。逆に、リーマン多様体 ''M'' のホロノミー群が Sp(''k'') に含まれるならば、複素構造 ''I''<sub>''x''</sub>, ''J<sub>x</sub>'', ''K''<sub>''x''</sub> を ''T''<sub>''x''</sub>''M'' で選び、''T''<sub>''x''</sub>''M'' を四元数ベクトル空間の中へ写像することができる。これらの複素構造の[[平行移動]]は求めている ''M'' 上の四元数多様体構造をもたらす。

==ホロノミックなシンプレクティック形式==
超ケーラー多様体 ''(M,I,J,K)'' は、複素多様体 (''M'',''I'') と考えると、正則なシンプレクティック多様体（正則な非退化 2-形式をもつ）である。コンパクトな多様体の場合には、逆もまた正しいことが、[[シン＝トゥン・ヤウ|ヤウ]]の[[カラビ予想]]の証明の中で示された。コンパクトでケーラーなシンプレクティック多様体 (''M'',''I'') が与えられると、常に整合性を持つ超ケーラー計量を持つ。そのような計量は、与えられたケーラークラスに対し一意である。コンパクトケーラー多様体は[[代数幾何学]]からのテクニックを使い拡張されて研究され、正則シンプレクティック幾何学と呼ばれることもある。{{仮リンク|フョードル・ボゴモロフ|label=ボゴモロフ|en|Fedor Bogomolov}}(Bogomolov)分解定理 (1974) により、コンパクトな正則シンプレクティック多様体 ''M'' のホロノミー群はちょうど Sp(''k'') となることと、''M'' が単連結で、''M'' 上の任意の正則シンプレクティック形式のペアが互いにスカラー倍となることとは同値である。

==例==
複素曲面の[[小平邦彦|小平]]の分解により、任意の[[コンパクト空間|コンパクト]]な 4次元超ケーラー多様体は、[[K3曲面]]か、コンパクトトーラス <math>T^4</math> である。（[[特殊ユニタリ群|SU(2)]] は、[[シンプレクティック群|Sp(1)]] と同型であるので、すべての 4次元の[[カラビ・ヤウ多様体]]は超ケーラー多様体である。）

4次元のコンパクト超ケーラー多様体上の点の[[ヒルベルトスキーム]]は、超ケーラー多様体である。このことは、コンパクトな例に 2つの系列をもたらす。K3曲面上の点のヒルベルトスキームと一般化クンマー多様体である。

'''H''' で[[四元数]]を表し、''G'' を Sp(1) の有限部分群として、'''H'''/''G'' への漸近的な非コンパクトで完備な 4次元超ケーラー多様体は、{{仮リンク|漸近的局所ユークリッド空間|en|asymptotically locally Euclidean}}(asymptotically locally Euclidean)、あるいは ALE空間として知られている。これらの空間と、異る漸近的振舞いによる様々な一般化は[[物理学]]において[[重力インスタントン]]の名称で研究されている。{{仮リンク|ギボンズ・ホーキング仮設|en|Gibbons–Hawking ansatz}}(Gibbons–Hawking ansatz)は、円作用の下に不変な例をもたらす。

多くの非コンパクト超ケーラー多様体の例は、自己双対ヤン・ミルズ方程式の次元簡約から得られるあるゲージ理論の解のもジュライ空間から発生する。インスタントンモジュライ空間、モノポールモジュライ空間、ヒッチンの[[リーマン面]]上の自己双対方程式の解の空間、ナーム方程式の解の空間などがある。他の例として、表現論で非常に重要な{{仮リンク|中島箙多様体|en|Nakajima quiver variety}}(Nakajima quiver varieties)がある。

==関連項目==
*{{仮リンク|四元数ケーラー多様体|en|Quaternionic-Kähler manifold}}(Quaternionic-Kähler manifold)
*{{仮リンク|超複素多様体|en|Hypercomplex manifold}}(Hypercomplex manifold)
*[[カラビ・ヤウ多様体]]

== 脚注 ==
<references/>

==外部リンク==
* Maciej Dunajski and Lionel J. Mason, (2000), "[ftp://ftp.esi.ac.at/pub/Preprints/esi821.pdf Hyper Kahler Hierarchies and their Twistor Theory]"

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