超双曲型方程式のソースを表示

[[数学]]の[[偏微分方程式]]の分野において、'''超双曲型方程式'''（ちょうそうきょくがたほうていしき、{{Lang-en-short|ultrahyperbolic equation}}）とは、{{math|2''n''}} 個の変数 {{math|''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>, ''y''<sub>1</sub>, ..., ''y''<sub>''n''</sub>}} を持つ未知スカラー函数 {{mvar|u}} に対する、次の形の偏微分方程式を言う：

: <math>\frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2}+\cdots+\frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2}-\frac{\partial^2 u}{\partial y_1^2}-\cdots-\frac{\partial^2 u}{\partial y_n^2}=0.\qquad\qquad(1)</math>

より一般に、''a'' が[[計量符号数|符号数]] {{math|(''n'',''n'')}} を持つ {{math|2''n''}} 変数の任意の[[二次形式]]であるとき、主要部が <math>a_{ij}u_{x_ix_j}</math> である任意のPDEは超双曲型と呼ばれる。そのような任意の方程式は、変数変換によって上述の (1) の形状に書き換えられる<ref name="See Courant and Hilbert">Courant and Hilbert を参照。</ref>。

超双曲型方程式は多くの観点から研究されている。一方それは、古典的な[[波動方程式]]に似たものでもある。このことより、その[[特性曲線法|特性曲線]]に関する多くの結果が得られている。その内の一つは、{{仮リンク|フリッツ・ジョン|en|Fritz John}}による[[ジョンの方程式]]である。

Walter Craig と Steven Weinstein は近年（2008）、非局所的な制限の下で、余次元 1 の超曲面上で与えられる初期値に関する初期値問題は適切であることを示した<ref>{{cite web | url=http://rspa.royalsocietypublishing.org/content/465/2110/3023 | title = On determinism and well-posedness in multiple time dimensions | publisher = Proc. R. Soc. A  vol. 465 no. 2110 3023-3046 (2008) | last1= Craig | first1 = Walter | last2 = Weinstein | first2 = Steven | accessdate = 5 December 2013}}</ref>。

この方程式はまた、{{仮リンク|対称空間|en|symmetric space}}や[[楕円型作用素|楕円型微分作用素]]の観点からも研究されている<ref>例えば Helgasson を参照。</ref>特に、超双曲型方程式は[[調和函数|調和函数に対する平均値の定理]]に似たものを満たす。

== 注釈 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
* {{cite book|title=Methods of Mathematical Physics, Vol. 2|author=[[ダフィット・ヒルベルト|David Hilbert]] and [[リヒャルト・クーラント|Richard Courant]]|publisher=Wiley-Interscience|isbn=978-0-471-50439-9|pages=744–752|year=1962}}
* {{cite journal|author=[[ラース・ヘルマンダー|Lars Hörmander]]|title=Asgeirsson's Mean Value Theorem and Related Identities|journal=Journal of Functional Analysis|year=2001|issue=184|pages=377–401}}
* {{cite book|author=Lars Hörmander|title=The Analysis of Linear Partial Differential Operators I|publisher=Springer-Verlag|year=1990|isbn=3-540-52343-X|pages=Theorem 7.3.4}}
* {{cite book|title=Groups and Geometric Analysis|author=Sigurdur Helgason|year=2000|publisher=American Mathematical Society|pages=319–323}}
* {{cite journal|author=[[:en:Fritz John|Fritz John]]|title=The Ultrahyperbolic Differential Equation with Four Independent Variables|journal=Duke Math. J.|volume=4|issue=2|year=1938|pages=300–322|doi=10.1215/S0012-7094-38-00423-5}}

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