超整数のソースを表示

[[超準解析]]における'''超整数'''（ちょうせいすう、{{lang-en-short|''hyperinteger''}}; '''超準整数'''）は、その整数部分が自身に等しい[[超実数]]（超準実数）を言う。超整数には、通常の[[整数]]である有限超整数のほかに無限大超整数も含まれる。無限大超整数の例は、整数列 {{math|(1, 2, 3, …)}} が属する（超実数の[[超積|超冪]]構成の意味での）同値類をとればよい。

== 定義 ==
標準[[整数部分]] <math display="inline">\lfloor x \rfloor</math> は任意の実数 {{mvar|x}} に対し {{mvar|x}} を超えない最大の整数に等しいものと定義されるものであった。これに超準解析における{{ill2|移行原理|en|transfer principle}}を適用すれば、その自然延長として超準整数部函数 <math display="block">{}^*\lfloor\rfloor\colon x \mapsto {}^*\lfloor x\rfloor</math> が任意の超実数 {{mvar|x}} に対して定義できる。
; 定義: 超実数 {{mvar|x}} が超整数であるとは、<math display="block"> x = {}^*\lfloor x\rfloor</math> を満たすときに言う。
したがって、超整数全体の成す集合は、超実数全体の成す集合のこの超準的な整数部函数による像に等しい。

== 内的集合 ==
超整数全体の成す集合 {{math|*'''ℤ'''}} は超実数全体の成す集合 {{math|*'''ℝ'''}} の[[内的集合|内的部分集合]]であり、対して有限超整数全体の成す集合 {{mathbf|ℤ}} は内的部分集合ではない。補集合 {{math|*'''ℤ''' {{setminus}} '''ℤ'''}} の元は（文献にもよるが）超準 (''non-standard''), 無限 (''unlimited''), 無限大 (''infinite'') 超整数と呼ばれる。無限大超整数の逆数は必ず[[無限小]]になる。

非負の超整数はしばしば'''超自然数''' (''hypernatural'' number) と呼ばれ、先と同じように有限超自然数および無限大超自然数全体の成す集合はそれぞれ {{mathbf|ℕ}} および {{math|*'''ℕ'''}} と書かれる。後者が[[トアルフ・スコーレム|スコーレム]]の意味での[[算術の超準モデル]]を与えるものであることを注意しておく。

== 参考文献 ==
* {{citation|first= H. J. |last= Keisler |author-link= Howard Jerome Keisler |title= [[Elementary Calculus: An Infinitesimal Approach]] |edition= 2nd |year= 1986}}

{{Number systems}}
{{Infinitesimal navbox}}
{{DEFAULTSORT:ちようせいすう}}
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