超立方体のソースを表示

{{Expand English|Hypercube|date=2024年5月}}
[[ファイル:Hypercubecentral.svg|right|250px|thumb|4次元超立方体]]
'''超立方体'''（ちょうりっぽうたい、hypercube）とは、[[2次元]]の[[正方形]]、[[3次元]]の[[立方体]]、[[4次元]]の[[正八胞体]]を各次元に[[一般化]]した[[正多胞体]]である。なお、[[0次元]]超立方体は[[点 (数学)|点]]、[[1次元]]超立方体は[[線分]]である。

'''正測体'''（せいそくたい）、'''γ体'''（ガンマたい）とも言い、''n'' 次元超立方体を <math>\gamma_n</math> と書く。

[[正単体]]、[[正軸体]]と並んで、5次元以上での3種類の[[正多胞体]]の1つである。

単に超立方体と言った場合は特に四次元の超立方体(tesseract)を指すこともある。

右図は、四次元超立方体を二次元に投影した図である。立方体を二次元に投影した場合と同様に、各辺の長さや成す角度は歪んでいるが、実際の辺の長さはすべて等しく、角も直角である。胞（立方体）の数は、投影図において外側の大きな立方体、内側の立方体、これら2つの対応する面をそれぞれ結ぶ（対応する稜線を4つ選ぶ）部分に6つあり、胞は計8つである。

==作図==
超立方体を作図するには、
{{Indent|<math>(\pm 1, \pm 1, \cdots, \pm 1) </math>}}
を頂点とし、最も近い（[[距離]]2の）頂点同士を辺で結べばよい。複号は全ての組み合わせを取る。

こうして作図された超立方体は、''n'' 次元[[ユークリッド空間]]を <math>\mathbb R^n </math> で表して
{{Indent|<math>\{x\in\mathbb R^n : \|x\|_\infty \le 1\}</math>}}
でも定義できる。

==性質==
特にことわらない限り、辺の長さが ''a'' の ''n'' 次元超立方体について述べる。

超体積は
{{Indent|<math>a^n \,</math>}}
超表面積は
{{Indent|<math>2n a^{n-1} \,</math>}}
である。

[[面 (幾何学)#ファセット|ファセット]] (''n'' - 1 次元面) は ''n'' - 1 次元超立方体である。したがって一般に、''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 1) 次元面は ''m'' 次元超立方体である。たとえば、正八胞体（4次元超立方体）の面（2次元面）は正方形（2次元超立方体）、胞（3次元面）は立方体（3次元超立方体）である。

[[対角線]]の長さは、
{{Indent|<math>\sqrt{n} a \,</math>}}
である。

''m'' 次元面の個数は
{{Indent|<math>2^{n - m} {}_{n}\operatorname{C}_m</math>}}
である。これは{{仮リンク|パスカルのピラミッド|en|Pascal's pyramid}}の第 ''n'' + 1 段の三角形の第 ''m'' + 1 段（頂点を下にした場合）の数字の総和に等しい。対角線に沿って見た場合、次元面たちは数字通りのグループに分割される。これは、<math>3^n = (1+2)^n</math> を二項展開し、<math>3^n = (1+1+1)^n</math> を三項展開することで示すことができる。特に、頂点（0次元面）は <math>2^n</math> 個、辺（1次元面）は <math>2^{n-1} n</math> 個、ファセットは <math>2n</math> 個である。<math>{}_{n}\operatorname{C}_m</math> は[[パスカルの三角形]]の第 ''n'' + 1 段の ''m'' + 1 番目の数字であり、''n'' - 1 次元[[単体 (数学)|単体]]の ''m'' - 1 次元面の個数である。

''m'' (0 &le; m &le; ''n'' - 2) 次元面の形状は ''n'' - ''m'' - 1 次元[[正単体]]であり、そこに集まる''l'' (''m'' + 1 &le; l &le; ''n'' - 1) 次元面の個数は
{{Indent|<math>{}_{n - m}\operatorname{C}_{l - m}</math>}}
である。これは[[パスカルの三角形]]の第 ''n'' - ''m'' + 1 段の ''l'' - ''m'' + 1 番目の数字であり、''n'' - ''m'' - 1 次元[[単体 (数学)|単体]]の ''l'' - ''m'' - 1 次元面の個数である。

双対は[[正軸体]]である。

任意の ''l'' 次元面と ''m'' 次元面（''l'' &ne; ''m'' でもよい）は、接する場合[[直交]]し、それ以外は[[直角]]（[[ねじれの位置]]で）か[[平行]]である。特に、隣り合うファセットは直交し、それ以外のファセットは平行である。また、頂点には ''n'' 本の辺が集まり、互いに直交する。

== 関連項目 ==
*[[多胞体]]
*[[組合せ (数学)]]

{{次元}}

== 外部リンク ==

* [http://www2.tokai.or.jp/seed/seed/minnna14.htm 三角四角のしゃぼん玉?]
* [https://www.indetail.co.jp/blog/180824/ 四次元立方体をhtmlとcssのみで表現]
{{DEFAULTSORT:ちようりつほうたい}}
[[Category:正多胞体]]
[[Category:数学に関する記事]]