超越数のソースを表示

[[画像:Squaring the Circle J.svg|225px|thumb|[[円周率]] [[ギリシャ文字|{{π}}]] は超越数であるため、[[コンパス]]と[[定規]]を有限回用いて[[円積問題|円と等面積の正方形を作図すること]]は不可能である。]]
'''超越数'''（ちょうえつすう、{{lang-en-short|[[:en:wikt:transcendental|transcendental]] number}}）とは、[[代数的数]]でない[[複素数]]、すなわちどの[[有理数|有理]]係数の[[代数方程式]]
:<math>x^n + a_{n-1} x^{n-1} + \cdots + a_0 = 0</math>（{{mvar|n}} は正の整数、各 {{mvar|a{{sub|i}}}} は有理数）
の{{仮リンク|方程式の解|label=解|en|Equation solving}}にもならない複素数のことである。[[有理数]]は[[一次方程式]]の解であるから、超越的な[[実数]]はすべて[[無理数]]であるが、例えば無理数 [[2の平方根|{{math|{{sqrt|2}}}}]] は[[二次方程式]] {{math2|1=''x''{{sup|2}} &minus; 2 = 0}} の解であるから、その[[逆]]は成り立たない。'''超越数論'''は、超越数について研究する[[数学]]の分野で、与えられた[[数]]の超越性の判定などが主な[[問題]]である。

よく知られた超越数に[[ネイピア数]] {{math|''e''}}（[[自然対数]]の底）や[[円周率]] {{math|''π''}}があり、また[[ほとんど (数学)|ほとんど全ての]]複素数が超越数であることが分かっている。ただし超越性が示されている複素数のクラスはほんの僅かであり、与えられた数が超越数であるかどうかを調べるのは難しい問題だとされている。例えば、ネイピア数と円周率はともに超越数であるにもかかわらず、それをただ足しただけの {{math|''π'' + ''e''}} すら超越数かどうか分かっていない。

代数学の標準的な記号 <math>\mathbb{Q}[x]</math> で有理数係数[[多項式]]全体を表し、代数的数全体の集合を、代数的数 algebraic number の頭文字を使って {{mvar|A}} と書けば、超越数全体の集合は
:<math>\mathbb{C} \setminus A = \{a \in \mathbb{C} \mid 0 \ne \forall p(x) \in \mathbb{Q}[x],\; p(a) \ne 0 \}</math>
となる（<math> \mathbb{C}</math>は[[複素数]]、<math>\setminus</math>は[[差集合]]、<math>\mathbb{C} \setminus A</math>は「複素数のうち代数的数以外の数の集合」）。

なお、本稿では {{math|log}} を[[自然対数]]とする。

== 超越数の例 ==
最初に証明した人を括弧内に記述するが、特別な条件の場合に対しては、別の人物が既に証明している場合も多々ある。ただしそれらの詳細についてはここの一覧では触れない。詳細は、各記事ならびに参考文献などを参照のこと。

(1) 超越数となる定数の例
*[[ネイピア数|自然対数の底]] {{mvar|e}}（[[シャルル・エルミート|エルミート]]）
*[[円周率]] {{mvar|π}}（[[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]）
* <math>e^{\pi}\ (= (-1)^{-i})</math> 。これは[[ゲルフォントの定数]]とよばれる。({{OEIS|A039661}}) ([[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]])
*{{math|''π'' + ''e{{sup|π}}'', ''πe{{sup|π}}''}}（ネステレンコ ([[:en:Yuri Valentinovich Nesterenko|Yu. V. Nesterenko]])）
*正の[[整数]]を小さい順に並べた小数である[[チャンパーノウン定数]] {{math|0.123456789101112…}}（マーラー ([[:en:Kurt Mahler|K. Mahler]])）
*[[連分数]]展開が <math>\scriptstyle [0;\ a^{F_0},\ a^{F_1},\ a^{F_2},\ \cdots]</math> である無理数。ただし、{{mvar|a}} は {{math|2}} 以上の整数であり、<math>\scriptstyle \{F_n \}_{n\ge 0}</math> は[[フィボナッチ数]]列。（[[ドナルド・クヌース|クヌース]]）
*[[チャイティンの定数]] {{mvar|Ω}}
*超越数の正の整数乗

(2) [[初等関数]]の特殊値が超越数となる例
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>e^{\alpha}</math>。（リンデマン）
*<math>\scriptstyle i\alpha</math> が有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>e^{\alpha\pi}</math>。（ゲルフォント ([[:en:Alexander Gelfond|A. O. Gel'fond]]）、シュナイダー ([[:en:Theodor Schneider|Th. Schneider]]))
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>e^{\alpha\pi + \beta}</math>。（[[アラン・ベイカー|ベイカー]]）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\sin{\alpha}</math>, <math>\cos{\alpha}</math>, <math>\tan{\alpha}</math>。（リンデマン、[[カール・ワイエルシュトラス|ワイエルシュトラス]] (K. Weierstrass)）
*有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\sin{\alpha\pi}</math>, <math>\cos{\alpha\pi}</math>, <math>\tan{\alpha\pi}</math>。（ゲルフォント、シュナイダー）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>\sin{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\cos{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\tan{(\alpha\pi+\beta)}</math>。（ベイカー）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\sinh{\alpha},\ \cosh{\alpha},\ \tanh{\alpha}</math>。（リンデマン、ワイエルシュトラス）
*<math>\scriptstyle i\alpha</math> が有理数ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\sinh{\alpha\pi}</math>, <math>\cosh{\alpha\pi}</math>, <math>\tanh{\alpha\pi}</math>。（ゲルフォント、シュナイダー）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta\ne 0</math> に対する、<math>\sinh{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\cosh{(\alpha\pi+\beta)}</math>, <math>\tanh{(\alpha\pi+\beta)}</math>。（ベイカー）
*<math>\scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1,\ \beta\notin\mathbb{Q}</math> を満たす代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta</math> に対する、<math>\alpha^{\beta}</math>。（ゲルフォント、シュナイダー）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0,\ 1</math> に対する、<math>\log{\alpha}</math>。（リンデマン）
*乗法的独立<ref group="注">整数 <math>\scriptstyle k,\ l</math> に対して、<math>\scriptstyle \alpha^k \beta^l = 1</math> ならば、<math>\scriptstyle k = l = 0</math> が成り立つとき、<math>\scriptstyle \alpha,\ \beta</math> は、乗法的独立であるという。</ref> である、0, 1 ではない代数的数 <math>\scriptstyle \alpha,\ \beta</math> に対する、<math>\tfrac{\log{\alpha}}{\log{\beta}}</math>。（ゲルフォント、シュナイダー）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、<math>\pi + \log{\alpha}</math>。（ベイカー）

(3) [[特殊関数]]の特殊値が超越数となる例
*正整数<math>n</math> に対する、[[リーマンゼータ函数|ゼータ関数]] <math>\zeta(2n)</math>。（リンデマン）
*<math>\scriptstyle \wp(z)</math> を、不変量 <math>\scriptstyle g_2,\ g_3</math> が代数的数である[[楕円函数#定義|ワイエルシュトラスの <math>\scriptstyle \wp</math> 関数]]としたとき、定義域内の任意の代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する <math>\scriptstyle \wp(\alpha)</math>。（シュナイダー）
*<math>\scriptstyle j(\tau)</math> を[[保型関数#具体例|クラインのモジュラ関数]]とし、<math>\alpha</math> を、[[上半平面]]内の3次以上の代数的数としたときの <math>\scriptstyle j(\alpha)</math>。（シュナイダー）
*<math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、位数 0 の[[ベッセル関数#第1種及び第2種ベッセル関数|第1種ベッセル関数]] <math>J_0(\alpha)</math>。（[[カール・ジーゲル|ジーゲル]]）
*<math>\scriptstyle \alpha\ne 0</math> に対する、[[超幾何級数|合流型超幾何級数]] <math>F(1,1,c; \alpha)</math>（<math>c</math> は0以下の整数以外の有理数）。（シドロフスキー (A. B. Shidlovsky)）
*[[ガンマ関数]] <math>\scriptstyle \Gamma(\tfrac{1}{6}),\ \Gamma(\tfrac{1}{4}),\ \Gamma(\tfrac{1}{3}),\ \Gamma(\tfrac{1}{2}), \ \Gamma(\tfrac{2}{3}),\ \Gamma(\tfrac{3}{4}),\ \Gamma(\tfrac{5}{6})</math>。（チュドノフスキー ([[:en:Chudnovsky brothers|G. V. Chudnovsky]])<ref group="注"><math>\scriptstyle \Gamma(\tfrac{1}{2}) = \sqrt{\pi}</math> であるので、<math>\scriptstyle \Gamma(\tfrac{1}{2})</math> が超越数であることは、チュドノフスキー以前から知られていた。</ref>）
*[[ベータ関数]] <math>\scriptstyle B(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{6}),\ B(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{4}),\ B(\tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3})</math>。（ジーゲル、シュナイダー、チュドノフスキー）
*ヤコビの[[テータ関数#テータ定数|テータ級数]]の値 <math>\scriptstyle\vartheta_1(0,\alpha),\ \vartheta_2(0,\alpha),\ \vartheta_3(0,\alpha)</math><ref group="注">ただし、ここでは、テータ関数の第2変数 <math>\tau</math> を、<math>q = e^{2\pi i\tau}</math> で変数変換した級数で考えている。</ref>。（ネステレンコ）

(4) ベキ級数で表される関数の特殊値が超越数となる例
*リウヴィル級数：<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty\alpha^{-k!}</math>。（マーラー）
*フレドホルム級数：2以上の整数 <math>d</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha^{d^k}</math>。（マーラー）
*自然数列 <math>\scriptstyle \{d_k\}_{k\ge 1}\ (d_k \ge 2)</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha^{d_1\cdots d_k}</math>。（西岡）
*<math>\scriptstyle \omega>0</math>、整数 <math>\scriptstyle d\ge 2</math>、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty\alpha^{[\omega d^k]}</math>。（田中）
*ヘッケ＝マーラー級数：無理数 <math>\scriptstyle \omega>0</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty [k\omega]\alpha^k</math>。（マーラー）
*整数 <math>\scriptstyle d\ge 2</math>、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\prod\limits_{k=0}^\infty(1-\alpha^{d^k})</math>。（マーラー）
*<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\prod\limits_{k=0}^\infty (1-\alpha^k)</math>。（ネステレンコ）
*<math>\sigma_k (n) \ (\scriptstyle k=1,\ 3,\ 5)</math> を[[約数関数]]とする。<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \sigma_k (n) \alpha^n</math>。（ネステレンコ）

(5) 逆数和からなる級数が超越数となる例
*<math>\scriptstyle |a|\ge 2</math> を満たす整数 <math>a</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{a^{2^k}+1}</math>。（ドゥヴェルネ (D. Duverney)）
以下において、<math>\scriptstyle\{F_n\}_{n\ge 0}</math> はフィボナッチ数列とする。
*<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k!\, F_{2^k}}</math>。（ミニョット (M. Mignotte)、マーラー）
*<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{F_{2^k+1}}</math>。（ベッカー (P. -G. Becker)、トッファー）
*任意の正整数 <math>m</math> に対する、<math>\textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{F_n}^{2m}} ,\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{F_{2n-1}}^m}</math>。（ドゥヴェルネ、西岡（啓）、西岡（久）、塩川）

== 超越数かどうかが未解決の例 ==
{{see also|数学上の未解決問題}}
<math>e+\pi ,e-\pi ,e\pi,\frac{\pi}{e} ,{\pi}^{\pi} ,e^e ,\pi^e ,\pi^{\sqrt{2}} ,e^{\pi^2}</math>
などの円周率 {{mvar|π}} やネイピア数 {{mvar|e}} の大抵の和、積、べき乗は、有理数であるのか無理数であるのか超越的であるのか否かは証明されていない<ref group="注">しかしながら、例えば {{math2|''e'' + ''π''}}, {{math2|''e'' &minus; ''π''}} のうち少なくとも一方は超越数である。これは[[代数的数]]全体が[[可換体|体]]をなすことから分かる。</ref>。一方で、
:<math>\pi +e^{\pi} ,\pi e^{\pi} ,e^{\pi \sqrt{n}}</math>（{{mvar|n}} は正の整数）
は、超越的であると証明されている<ref>[[#Reference-Mathworld-Transcendental Number|Weisstein]]</ref><ref>{{Harvtxt|Nesterenko|1996}}</ref>。

== 超越数と勘違いされていたが後から代数的数と判明した例 ==
*<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{F_{2^k}} =\frac{5-\sqrt{5}}{2}</math>。（西岡、トッファー (T. T&ouml;pher) [https://zangiri.hatenablog.jp/entry/2019/01/19/011010]）

== 代数的独立性 ==
複数の超越数が[[体の拡大#代数性・超越性|代数的独立]]である例を挙げる。

*<math>\alpha_1,\ \alpha_2,\cdots,\ \alpha_n</math> を有理数体上線形独立な代数的数としたとき、<math>e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\cdots,\ e^{\alpha_n}</math> は、代数的独立である。（リンデマン、ワイエルシュトラス）
*<math>\scriptstyle \pi,\ \Gamma(\tfrac{1}{4})</math>、および、<math>\scriptstyle \pi,\ \Gamma(\tfrac{1}{3})</math> は、それぞれ代数的独立である。（チュドノフスキー）
*<math>\scriptstyle \pi,\ e^\pi,\ \Gamma(\tfrac{1}{4})</math> は、代数的独立である。（ネステレンコ）
*代数的数 <math>\scriptstyle \alpha_1,\cdots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\cdots,\ n))</math> を、<math>\tfrac{\alpha_i}{\alpha_j}</math> が[[1の冪根]]ではないようにとったとき、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty {\alpha_1}^{-k!},\cdots,\ \sum\limits_{k=1}^\infty {\alpha_n}^{-k!}</math> は、代数的独立である。（西岡）
*相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\cdots,\ d_n</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対して、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty \alpha^{{d_1}^k},\cdots,\ \sum\limits_{k=1}^\infty \alpha^{{d_n}^k}</math> は、代数的独立である。（西岡）
*2次の無理数 <math>\scriptstyle \omega >0</math> と、相異なる代数的数 <math>\scriptstyle \alpha_1,\cdots,\ \alpha_n\ (0 < |\alpha_i| < 1\ (i = 1,\cdots,\ n))</math> に対して、<math>\textstyle\sum\limits_{k=1}^\infty [h\omega]{\alpha_1}^{-k} ,\cdots,\ \sum\limits_{k=1}^\infty [k\omega]{\alpha_n}^{-k}</math> は、代数的独立である。（マッサー (D. W. Masser)）
*相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\cdots,\ d_n</math> と、<math>\scriptstyle 0 <|\alpha| < 1</math> である代数的数 <math>\scriptstyle \alpha</math> に対して、<math>\scriptstyle\textstyle\prod\limits_{k=0}^\infty \bigl( 1-\alpha^{{d_1}^k} \bigr),\cdots,\ \prod\limits_{k=0}^\infty \bigl(1-\alpha^{{d_n}^k} \bigr)</math> は、代数的独立である。（西岡）
*相異なる 2 以上の整数 <math>\scriptstyle d_1,\cdots ,\ d_n</math> に対して、<math>\textstyle\sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{{F_{2^k +1}}^{d_1}},\cdots,\ \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{{F_{2^k +1}}^{d_n}}</math> は、代数的独立である。（西岡）
*<math>\scriptstyle m_1,\ m_2,\ m_3</math> を少なくとも1つは偶数である正整数としたとき、<math>\textstyle\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{F_n}^{2m_1}},\ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{F_n}^{2m_2}}, \ \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{1}{{F_n}^{2m_3}}</math> は、代数的独立である。（エルスナー (C. Elsner)、下村、塩川）

代数的独立性には、'''シャヌエルの予想''' (Schanuel's conjecture) と呼ばれる有名な予想があり、現在でも解決されていない。（<math>n=2</math> のときでさえも、未解決である。）

シャヌエルの予想
:<math>\alpha_1,\ \alpha_2,\cdots,\ \alpha_n</math> を有理数体上線形独立な複素数としたとき、
::<math>\mathbf{trans}.\deg_{\mathbb{Q}}\mathbb{Q}(\alpha_1,\ \alpha_2,\cdots,\ \alpha_n,\ e^{\alpha_1},\ e^{\alpha_2},\cdots,\ e^{\alpha_n})\ge n</math><ref group="注">trans.deg は、[[超越次数]]を表す。[[体の拡大#代数性・超越性|代数性・超越性]] を参照。</ref>。

注意：<math>\alpha_1,\ \alpha_2,\cdots,\ \alpha_n</math> が代数的数のときは、[[リンデマンの定理|リンデマン＝ワイエルシュトラスの定理]]である。

この予想が解決すると、様々な数が代数的独立になることが知られている。例えば、以下の17個の数が代数的独立となる。
:<math>e,\ e^{\pi},\ e^e,\ e^i,\ \pi,\ \pi^{\pi},\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^\pi,\ 2^e,\ 2^i,\ \log\pi,\ \log 2,\ \log 3,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3},\ 2^{\sqrt{2}}</math>
注意：上記の数のうち、
:<math>e^e,\ \pi^\pi,\ \pi^e,\ \pi^i,\ 2^{\pi},\ 2^e,\ \log\pi,\ \log\log 2,\ (\log 2)^{\log 3}</math>
は、それ自身が超越数であるかについても今のところ未解決である。

== マーラーの分類 ==
複素数 <math>\alpha</math> に対して、
:<math>w_{n, H}(\alpha) = \min \Bigl\{ |f(\alpha)| \; \Bigl| \; f(z) = {\textstyle\sum\limits_{i=0}^n a_i z^i}, f(\alpha) \ne 0, |a_0|,\cdots, |a_n|\le H \Bigr\},</math>
<math>w_n(\alpha) = \limsup_{H\to\infty} \frac{-\log w_{n, H}(\alpha)} {\log H},</math><br />
<math>w(\alpha) = \limsup_{n\to\infty} \frac{w_n(\alpha)}{n}</math>
として、<math>w(\alpha)</math> を定める。このとき、<math>\scriptstyle 0\le w(\alpha)\le\infty</math> が成立する。

また、<math>\scriptstyle \mu(\alpha) = \inf\{ n | w_n(\alpha) = \infty \}</math> とする。ただし、<math>\scriptstyle w(\alpha) < \infty</math> の場合、<math>\scriptstyle \mu(\alpha) = \infty</math> とする。

この <math>\scriptstyle w(\alpha),\ \mu(\alpha)</math> を用いて、マーラーは、複素数を以下のように分類した。これを'''マーラーの分類''' (Mahler's classification) と呼ぶ。
*<math>\alpha</math> は、''A'' 数 (A-number) である。<math>:\Leftrightarrow w(\alpha) = 0,\ \mu(\alpha) = \infty</math>。
*<math>\alpha</math> は、''S'' 数 (S-number) である。<math>:\Leftrightarrow 0 < w(\alpha) < \infty,\ \mu(\alpha) = \infty</math>。
*<math>\alpha</math> は、''T'' 数 (T-number) である。<math>:\Leftrightarrow w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) = \infty</math>。
*<math>\alpha</math> は、''U'' 数 (U-number) である。<math>:\Leftrightarrow w(\alpha) = \infty,\ \mu(\alpha) < \infty</math>。

以下の性質がある。
*''A'' 数からなる集合、''S'' 数からなる集合、''T'' 数からなる集合、''U'' 数からなる集合は、いずれも空集合ではない。
*<math>\alpha,\ \beta</math> を代数的従属である複素数としたとき、<math>\alpha,\ \beta</math> は同じクラス(同じ分類の数)である。
*''A'' 数からなる集合は、代数的数全体の集合に等しい。
*ほとんど全て<ref group="注">実数の部分集合の場合は、1次元の[[ルベーグ測度]]、複素数の部分集合の場合は、2次元のルベーグ測度の意味で、測度 0 となる集合は例外とするという意味。</ref> の複素数は、''S'' 数である。
**さらに、ほとんど全ての実数は、タイプ<ref group="注"><math>\scriptstyle\theta (\alpha )=\limsup\limits_{n\to\infty} \tfrac{w_n (\alpha)}{n}</math> を <math>\alpha</math> のタイプという。</ref> 1 の ''S'' 数であり、ほとんど全ての複素数は、タイプ 1/2 の ''S'' 数である。
*全ての[[リウヴィル数]] は、''U'' 数である。
*任意の正整数 <math>n</math> に対して、<math>\mu(\alpha) = n</math> を満たす ''U'' 数が存在する。

また、いくつかの具体的な超越数に対して、どのクラスに属するかについては、例えば、以下のことが知られている。
*自然対数の底 {{mvar|e}} は、タイプ 1 の ''S'' 数である。
*{{mvar|π}} は、''U'' 数ではない。
*チャンパーノウン定数は、''S'' 数である。
*{{mvar|r}} を 1 以外の正の有理数としたとき、<math>\log r</math> は、''U'' 数ではない。

== 超越測度 ==
超越数 <math>\alpha</math> に対して、<math>T(\alpha, n, H)</math> を、<math>\scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1</math> で定義された実数を値にとる関数とする。

次数が <math>n</math> 以下で、各係数の絶対値が <math>H</math> 以下である、0 以外の整数係数多項式に対して、
:<math>|f(\alpha)| \ge T(\alpha, n, H)</math>
が、任意の <math>\scriptstyle n\ge 1,\ H\ge 1</math> で成立するとき、<math>T(\alpha, n, H)</math> を <math>\alpha</math> の'''超越測度''' (transcendence measure) という。

マーラーの分類のところで与えられた、<math>w_{n,H}(\alpha)</math> は、超越測度の１つであり、その定義から、最良の評価を与えるものである。

== 歴史 ==
[[ジョゼフ・リウヴィル|リウヴィル]]は、[[1844年]]に超越数の最初の例を与えた（[[リウヴィル数]]）。さらに[[1873年]]に[[シャルル・エルミート]]によって、自然対数の底 ''e'' が超越数であることが証明された。

[[ゲオルク・カントール|カントール]]は[[1874年]]に、実数全体の集合が非可算集合である一方で代数的数全体の集合が[[可算集合]]であることを示すことにより、ほとんどの実数や複素数は超越数であることを示した。

その後、[[フェルディナント・フォン・リンデマン|リンデマン]]は、[[1882年]]に円周率 {{mvar|π}} が超越数であることを証明した。これによって[[古代ギリシア]]数学以来の難問であった[[円積問題]]が否定的に解かれた。また、彼は、任意の0でない代数的数 ''a'' に対する ''e{{sup|a}}'' が超越数であることも証明した（[[リンデマンの定理]]）。

[[ダフィット・ヒルベルト|ヒルベルト]]は、[[1900年]]にパリで行われた[[国際数学者会議]]において、[[ヒルベルトの23の問題]]と呼ばれる23個の問題を提出したが、そのうちの 7番目の問題「''a'' が 0 でも 1 でもない[[代数的数]]で、''b'' が代数的無理数であるとき、''a{{sup|b}}'' は超越数であるか」は、1934-1935年にゲルフォントとシュナイダーによって肯定的に解決された（[[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]）。

[[1968年]][[アラン・ベイカー|ベイカー]]は、ゲルフォント＝シュナイダーの定理を含む、代数的数の1次形式の超越性および、1次形式の値が計算可能な下限で与えられることを証明した（[[ベイカーの定理]]を参照）。特に後者の結果は、[[ディオファントス方程式]]の整数解の上限を求めるための基本的な定理として重要なものである。<ref group="注">この功績によりベイカーは[[1970年]]に[[フィールズ賞]]を受賞した。</ref>

[[1996年]]、ネステレンコにより、長い間懸案であった、{{mvar|π}} と、{{mvar|e{{sup|π}}}}（[[ゲルフォントの定数]]）の代数的独立性が証明された。

== 脚注 ==
{{脚注ヘルプ}}
=== 注釈 ===
{{Reflist|group=注}}
=== 出典 ===
{{Reflist|2}}

== 参考文献 ==
=== 著書 ===
*{{Cite book|和書|author=塩川宇賢|authorlink=塩川宇賢|date=1999-03|title=無理数と超越数|publisher=[[森北出版]]|location=東京|isbn=978-4-627-06091-3|url=https://www.morikita.co.jp/books/book/363|ref={{Harvid|塩川|1999}}}}
*{{Cite book|和書|author=西岡久美子|authorlink=西岡久美子|date=2015-04-20|title=超越数とはなにか　代数方程式の解にならない数たちの話|series=[[ブルーバックス]] B-1911|publisher=[[講談社]]|isbn=978-4-06-257911-7|url=https://bookclub.kodansha.co.jp/product?item=0000194872|ref={{Harvid|西岡|2015}}}}
*{{Cite book|和書|last=ハヴィル|first=ジュリアン|translator=松浦俊輔|date=2012-10-24|title=無理数の話　√2の発見から超越数の謎まで|publisher=[[青土社]]|isbn=978-4-7917-6675-8|url=http://www.seidosha.co.jp/index.php?cmd=read&page=%CC%B5%CD%FD%BF%F4%A4%CE%CF%C3&word=%CC%B5%CD%FD%BF%F4%A4%CE%CF%C3|ref={{Harvid|ハヴィル|2012}}}}
*{{Cite book|和書|author=三井孝美|authorlink=三井孝美|date=1977-04|title=解析数論――超越数論とディオファンタス近似論――|publisher=[[共立出版]]|location=東京|isbn=978-4-320-01129-8|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320011298|ref={{Harvid|三井|1977}}}}
*{{Cite book|和書|last=リーベンボイム|first=P.|translator=吾郷孝視|date=2003-08|title=我が数よ、我が友よ 数論への招待|publisher=共立出版|location=東京|isbn=|url=http://www.kyoritsu-pub.co.jp/bookdetail/9784320017412|ref={{Harvid|リーベンボイム|2003}}}}
*{{Citation|last=Baker|first=Alan|title=Transcendental number theory|year=1975|publisher=Cambridge University Press|location=New York|isbn=0-521-20461-5}}
*{{Citation|last=Schmidt|first=W.M.|title=Diophantine Approximations|series=Lecture Notes in Math. 785|year=1980|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-3-540-09762-4|url=http://www.springer.com/en/book/9783540097624}}
*{{Citation|last=Schmidt|first=W.M.|title=Diophantine approximations and diophantine equations|series=Lecture Notes in Math. 1467|year=1991|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-3-540-54058-8|url=http://www.springer.com/en/book/9783540540588}}
*{{Citation|last=Nishioka|first=Kumiko|title=Mahler Functions and Transcendence|series=Lecture Notes in Math. 1631|year=1996|publisher=Springer-Verlag|location=New York|isbn=978-3-540-61472-2|url=http://www.springer.com/en/book/9783540614722}}
* Edward B. Burger and Robert Tubbs (2004): ''Making Transcendence Transparent: An intuitive approach to classical transcendental number theory'', Springer, ISBN 978-1-4757-4114-8.

=== 論文 ===
*{{cite journal|author=塩川宇賢|title=フィボナッチ数と超越数|journal=数理科学|volume=46|issue=第8号 (通号 542)|year=2008|month=8|pages=46-51|ref={{Harvid|塩川|2008}}}}
*{{Citation|author=D. Duverney, Ke. Nishioka, Ku. Nishioka and I. Shiokawa|title=Transcendence of Rogers-Ramanujan continued fraction and reciprocal sums of Fibonacci numbers|journal=Proc. Japan Acad.|issue=73A|year=1997|pages=140-142}}
*{{Citation|last=Nesterenko|first=Yu. V.|date=1996-09-09|title=Modular functions and transcendence questions|journal=Sbornik: Mathematics|publisher=IOP Publishing|edition=|series=|pages=1319-1348|volume=187|issue=9|url=https://iopscience.iop.org/1064-5616/187/9/A04|format=PDF}}
*{{Citation|last=Tanaka|first=K.|title=Transcendence of the values of certain series with Hadamard's gaps|journal=Arch. Math.|issue=78|year=2002|pages=202-209}}

== 関連項目 ==
*[[ゲルフォント＝シュナイダーの定理]]
*[[超越関数]] - 同じく[[代数的]]に表現可能な枠組みを超越する関数。

== 外部リンク ==
{{wiktionary}}
{{wikisource|de:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1|Über die Transzendenz der Zahlen e und π.}}
*{{MathWorld |title=Transcendental Number |id=TranscendentalNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville Number |id=LiouvilleNumber}}
*{{MathWorld |title=Liouville's Constant |id=LiouvillesConstant}}
* {{PDFlink|[http://www.math.tsukuba.ac.jp/~wkbysh/e_transc.pdf eもπも超越数 若林誠一郎]}}
* {{PDFlink|[http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~ooura/pi_trn.pdf πの超越性 大浦拓哉]}}
* {{PDFlink|[https://www.chart.co.jp/subject/sugaku/suken_tsushin/83/83-8.pdf 超越数について （数研通信 83号 2015年9月）]}} - [[リウヴィル数]]の超越性の証明、超越数は非加算無限個存在することの証明など
* {{PDFlink|[https://mathematics-pdf.com/pdf/e_transnum.pdf eが超越数であることの証明]}} - MATHEMATICS.PDF
* {{en icon}} [http://deanlm.com/transcendental/ リウヴィル数が超越数であることの証明]
* {{kotobank}}
* {{高校数学の美しい物語|1231|超越数の意味といくつかの例}}

{{数の体系}}
{{Normdaten}}
{{DEFAULTSORT:ちようえつすう}}
[[Category:超越数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]