超過剰数のソースを表示

'''超過剰数'''（ちょうかじょうすう、{{lang-en-short|''superabundant number''}}）は[[自然数]] ''n'' であって、''m'' < ''n'' である全ての自然数 ''m'' に対して
{{Indent|<math>\frac{\sigma(m)}{m} < \frac{\sigma(n)}{n}</math>}}
を満たすようなものである。ただし ''σ'' は[[約数関数]]である。例えば 12 は
:''σ''(12)/12 = (1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12)/12 = 7/3
であり、11 以下の ''m'' で ''σ''(''m'')/''m'' > 7/3 を満たす数はないので、12 は超過剰数である。超過剰数は無数にあり、そのうち最小の数である1から小さい順に列記すると次のようになる：
{{Indent|[[1]], [[2]], [[4]], [[6]], [[12]], [[24]], [[36]], [[48]], [[60]], [[120]], [[180]], [[240]], [[360]], [[720]], [[840]], [[1260]], [[1680]], [[2520]], [[5040]], [[10080]], [[15120]], [[25200]], [[27720]], [[55440]], [[110880]], [[166320]], 277200, 332640, 554400, 665280, [[720720]], …({{OEIS|A004394}})}}

超過剰数のうち 1, 2, 4 は[[不足数]]、6 は[[完全数]]であり、12 以上の超過剰数は全て[[過剰数]]である。超過剰数は[[高度合成数]]と関係が深く、特に最初の19個までの超過剰数と高度合成数は同じ数であるが、すべての超過剰数が高度合成数であるわけではない（[[7560]]は超過剰数ではない最小の高度合成数である。その反対に高度合成数ではない最小の超過剰数は1163962800である。[[oeis:A166735|A166735]]を参照）。

== 性質 ==
[[ポール・エルデシュ]]と[[w:Leonidas Alaoglu|Leonidas Alaoglu]]は ''n'' が超過剰数ならば
{{Indent|<math>n=\prod_{i=2}^pi^{a_i}</math><br />
<math>a_2\geq a_3\geq\dots\geq a_p</math>}}
を満たすことを証明した。''n'' が 4 と 36 のときを除けば ''a<sub>p</sub>'' = 1 である。つまり超過剰数のうち[[平方数]]は 4 と 36 のみである。

== 拡張 ==
'''一般化された''' ''k'' '''次の超過剰数'''（[[英語|英]]: ''generalized k-super abundant number''）とは、''m'' < ''n'' である全ての自然数 ''m'' に対し
:<math>\frac{\sigma_k(m)}{m^k} < \frac{\sigma_k(n)}{n^k}</math>
であるような自然数 ''n'' である（<math>\sigma_k(n)</math>は，''n'' のすべての約数の ''k'' 乗の総和）。一般化された1次の超過剰数は、通常の超過剰数である。また、0次の超過剰数は高度合成数である。

例．2次の超過剰数:
:1, 2, 4, 6, 12, 24, 48, 60, 120, 240, 360, 720, 840, 1680, 2520, 5040, 10080, 15120, 25200, 27720, 55440, 110880, 166320, 277200, 332640, [[360360]], 720720, …({{OEIS|A208767}})

== 関連項目 ==
* [[過剰数]]
* [[高度合成数]]
*[[巨大過剰数]]

== 外部リンク ==
* [http://mathworld.wolfram.com/SuperabundantNumber.html Superabundant number, MathWorld]

{{Divisor classes}}
{{Classes of natural numbers}}
{{DEFAULTSORT:ちようかしようすう}}
[[Category:数論]]
[[Category:整数の類]]
[[カテゴリ:整数論的関数]]
[[Category:数学に関する記事]]