超関数のソースを表示

{{otheruses||シュワルツ超函数|シュワルツ超函数|佐藤超函数|佐藤超函数}}
[[数学]]において'''超関数'''（ちょうかんすう、{{lang-en-short|''generalized function''}}）は、[[関数 (数学)|関数]]の概念を一般化するもので、いくつかの理論が知られている。超関数の重要な利点として、[[不連続関数]]の扱いを[[滑らかな関数]]に似せることができることが挙げられる。また[[点電荷]]のような離散的な物理現象の記述にも便利である。超関数の応用範囲は極めて広く、特に[[物理学]]や[[工学]]においても利用されている。

超関数の応用例としては主に、不連続関数の微分、[[ディラックのデルタ関数|デルタ関数]]、[[アダマール有限部分積分]]、[[緩増加関数]]の[[フーリエ変換]]などが挙げられる。

超関数の起源は[[演算子法]]に見ることができるが、直接的には、[[セルゲイ・ソボレフ]]や[[ローラン・シュヴァルツ]]らの仕事がその始まりである。
[[1935年]]にソボレフが、[[部分積分]]を形式的に用いて、微分方程式の解の拡張をしたのをはじめ、何人かの数学者によって微分の拡張が行われ始め、[[1940年代]]末にはシュワルツがこれらを超関数の理論としてまとめた。1958年に[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]が[[層コホモロジー]]の理論を応用して、シュワルツらとは別の見地に立った超関数論を組み立てた。超関数論に重要な影響を与えたのは、[[偏微分方程式]]や[[群の表現]]の理論などからの技術的な要請であった。

== 概要 ==
「超関数」の導入は、[[ディラックのデルタ関数]]のような通常の関数の概念では許されない「関数」をもそれを「超関数」として扱うことで通常の関数と統一的に扱うことを可能にし、不連続関数の「微分」や偏微分方程式の「[[弱解]]」などに合理的根拠を与えるなど、解析演算の自由度を著しく高めた。

実際に超関数を用いるには、まず通常の関数に対応する要素をもち、かつさらに広い要素にも対処できる一つの数学的[[表現論|表現]]を定め、それを超関数と定義する。そして例えば関数を微分するなどの[[演算 (数学)|演算]]も対応する超関数の表現に対する操作として定義し直す。こうして例えば[[ヘヴィサイドの階段関数]]では、それを超関数に読み替えたものを微分すると通常の関数とは解釈出来ない表現が得られる。それが[[ディラックのデルタ関数]]という名の超関数である。

超関数論では、通常の関数の演算に対応する超関数の表現の操作を定め、超関数の計算規則をつくる。と同時に主な超関数に対して微分や[[フーリエ変換]]といった演算を施した結果を求め、それを公式集としてまとめておく（これらの計算規則や公式は数学的に厳密な表現に対する操作で定義され、実行されているので、数学的な正当性が保証されていることに注意）。すると超関数の計算は、計算規則に則り、公式集の助けを借りて、機械的に行うことが出来て、それを超関数と意識する必要もなくなる。かくして通常の関数に対応する超関数では普通の関数記号 {{math|''f''(''x'')}} を使ってそのまま演算を実行でき、結果が普通の関数でなくなればディラックのデルタ関数のような超関数の記号が現れる。

こうして超関数を用いることにより、不連続関数の微分、デルタ関数、アダマールの発散積分の有限部分、緩増加関数のフーリエ変換など、従来の数学の枠内には納まらない演算まで自由に扱うことが出来るようになった。

「超関数」は上記の性質を満たすように定義されていれば何でも使えるので、その定義の仕方は一通りではない。通常はこの言葉で代表的な 2 つの定義方法である、[[シュワルツの超関数]]か[[佐藤の超関数]]かのいずれかを指す。

== 名称 ==
「超関数」という言葉自体は日本でつくられた数学用語である。これは[[ローラン・シュヴァルツ|シュワルツ]]の著書を訳出するとき、原著では {{en|"distribution"}}（分布）とあった名称を、関数概念を拡張したものの名前であるという実体を取り入れて訳者が「超函数」と意訳したことに始まる<ref>しかし、訳者の岩村自身はこの訳語にためらいがあったようで、訳書のまえがきで「後者 {{en|(distribution)}} は原語のままで流通することが望ましい」と記している。</ref>。英語文献において、一般の超関数を指すときは {{en|generalized function}}（一般化された関数）というが、特にシュワルツや[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤]]の超関数を指す場合には、シュワルツの超関数は {{en|"distribution"}} と呼ばれ、佐藤の超関数は {{en|"hyperfunction"}}（超関数）と呼ばれる。{{en|hyperfunction}} という呼称は原論文で用いられる用語であり、佐藤の超関数に対する呼称はこれに倣っている。

== 先駆的な研究 ==
19世紀の数学には、例えば[[グリーン関数]]の定義や[[ラプラス変換]]、あるいは（[[可積分関数]]の[[フーリエ級数]]には必要でない部分の）[[ベルンハルト・リーマン|リーマン]]の[[三角級数]]論などが、超関数論の片鱗として垣間見える。これらは当時、[[解析学]]の一部とは扱われていなかったものである。

ラプラス変換は工学において重用され、[[経験則]]に基づく記号的操作としての[[演算子法]]を生み出した。演算子法の正当化は[[発散級数]]を用いて与えられたため、[[純粋数学]]の観点からは悪い風評をうけることとなるが、これらは後に超関数法の典型的な応用先となった。1899年に出版された[[オリヴァー・ヘヴィサイド|ヘヴィサイド]]の本 {{en|''Electromagnetic Theory''}}（『電磁気論』）は演算子法の定番の教科書となった。

[[ルベーグ積分]]が導入されると、超関数は初めて数学の中心に躍り出ることとなった。ルベーグ積分論では、[[殆ど至る所]]一致する可積分関数はすべて同値であると看做される。これはルベーグ積分論において関数の個々の点における値というのは関数の重要な特徴ではないということを意味する。[[関数解析学]]において、可積分関数は他の関数の[[線型汎関数]]を定めるという'''本質的'''な特徴を抽出することで、明確な定式化が行われた。こうして、[[弱微分]]の概念が定義されるようになる。

1920年代後半から1930年代に掛けて、その後の研究の基となる更なる展開がなされる。[[ディラックのデルタ関数]]は[[ポール・ディラック]]が（彼の[[科学的形式主義]]の一部として）大胆に定義したもので、（[[電荷密度]]のような）密度として考えるべき[[測度]]をあたかも通常の関数であるかのように扱った。[[セルゲイ・ソボレフ|ソボレフ]]は、[[偏微分方程式論]]の研究において偏微分方程式の[[弱解]]をきちんと扱うために、数学の観点からも十分正当な超関数論を初めて定義した。同じ頃、関連するほかの理論が[[サロモン・ボホナー|ボホナー]]や[[クルト・フリードリヒ|フリードリヒ]]らによっても提案されている。ソボレフの業績は後に[[ローラン・シュヴァルツ|シュワルツ]]によってさらに拡張され発展することとなる。

== シュワルツの超関数 ==
{{main|シュワルツ超関数}}
超関数の概念を実現する方法の中で、多くの目的に使われる決定版となったのは、[[ローラン・シュヴァルツ]]によって発展させられた[[シュワルツ超関数|分布]]の理論である。[[位相線型空間]]に対する[[双対空間]]がこの理論の基本原理である。主なライバルとして、[[応用数学]]では（[[ジェイムズ・ライトヒル]]が述べたような）滑らかな関数の列による近似が用いられたが、これはより「アド・ホック」な理論であり、現在では[[軟化子]]の理論に含まれる。

この理論は大いに成功し、今も広く用いられているが、[[線型]]な操作しか扱えないという弱点が悩みどころである。つまり、超関数は（非常に特別な場合を除けば）乗法を定義することができない。これは古典的な[[関数空間]]が[[多元環|環]]を成すのとは対照的である。例えば、ディラック・デルタの自乗は意味を成さない。1954年前後からのシュワルツの仕事はこの困難が本質的なものであることを示している。

この乗法問題を解決する方法はいくつも提案された。そのひとつにエゴロフ{{sfn|Egorov|1990}}による非常に単純で直観的な超関数の定義に基づくものがあり、超関数の上のあるいは超関数同士の任意の演算ができるようになる（デミドフ{{sfn|Demidov|2001}}のエゴロフの項も参照せよ）。

乗法問題のほかの解法が[[量子力学]]の[[経路積分]]の定式化から要求された。量子力学において[[エルヴィン・シュレーディンガー|シュレーディンガー]]の理論は経路積分の定式化と同値であることが必須であり、前者は座標変換で不変であるから、経路積分でもこの不変性を満たされなければならない。このことが超関数の全ての積を決定することをクライネルトとチェルビェコフが示した{{sfn|Kleinert|Chervyakov|2001}}。この結果は[[次元正則化]]から導かれるところのものと同値である{{sfn|Kleinert|Chervyakov|2000}}。

== 超関数環 ==
超関数の成す多元環の構成について、シロコフ{{sfn|Shirokov|1978}}とロジンガー、エゴロフとロビンソンなどによって様々な提示が成されている。前者の場合、乗法は超関数のある種の正則化によって決定される。後者では、'''超関数の乗法'''を構成することで考えられる。

=== 超関数の非可換環 ===
超関数の環は、関数 ''F'' = ''F''(''x'') の平滑成分 ''F''<sub>smooth</sub> と特異成分 ''F''<sub>singular</sub> への射影を適当な方法で与えることによって構成することができる。すなわち、超関数 ''F'', ''G'' の積は
# <math id="product">FG=F_{\mathrm{smooth}}\,G_{\mathrm{smooth}}+F_{\mathrm{smooth}}\,G_{\mathrm{singular}}+F_{\mathrm{singular}}\,G_{\mathrm{smooth}}</math>
なる形で与えられる。このような規則を主となる関数空間とその上に作用する作用素空間の両方に適用するのである。こうして定義される乗法は結合性を持つものとなり、符号関数は平方が（座標の原点を含めて）至る所 1 であるような関数となるように定義される。ここで、[[#product|(1) 式]]の右辺において特異部分同士の積となる項が'''現れない'''ことに留意すべきである（このおかげで特に[[ディラックデルタ]]の平方は &delta;(''x'')<sup>2</sup> = 0 を満たす）。この定式化は（積を考えない）通常の超関数論を特別の場合として含むものになっているが、構成される環は非可換になる（例えば、符号超関数とデルタ超関数とは反交換的である）{{sfn|Shirokov|1978}}。この代数の応用として提案されているものはほとんどなかった{{sfn|Goryaga|Shirokov|1981}}{{sfn|Tolokonnikov|1982}}。

=== 超関数の乗法 ===
'''超関数の乗法'''の問題は、シュワルツ超関数論の限界であり、[[非線型]]問題では深刻になる。

これに対する手法は今日様々提示されているが、最も簡明なものはエゴロフ (Yu. V. Egorov) による超関数の定義に基づくものであろう。別な方法として、コロンボ (J.-F. Colombeau) の構成に基づく[[結合環|結合]][[微分環]]を構成するものがある（{{仮リンク|コロンボ代数|en|Colombeau algebra}}を参照されたい）。これらは、「緩やかな」関数列([[有向点族]])を「無視できる」関数列で割った[[商空間]]{{要曖昧さ回避|date=2023年7月}}、  
:<math>G = M / N</math>
である。ただし、「緩やかな」や「無視できる」は列の添字に関する増加に関して言う。

=== コロンボ代数 ===
簡単な例は '''N''' 上の多項式スケール
: <math>s = \{ a_m:\mathbb{N}\to\mathbb{R},\, n\mapsto n^m ;\; m\in\mathbb{Z} \}</math>
を用いて得られる。このとき、任意の半ノルム代数 (''E'',&thinsp;''P'') に対して、商空間
:<math>G_s(E,P)= \frac{
\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\exists m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\}
}{
\{ f\in E^{\mathbb N}\mid\forall p\in P,\forall m\in\mathbb Z:p(f_n)=o(n^m)\}
}</math>
が構成できる。特に、(''E'',&thinsp;''P'') = ('''C''', &#x7c;&bull;&#x7c;) であるとき、コロンボの[[一般化された数|超複素数]]が得られる（これは「無限大」および「無限小」を含んで、なおも厳密な四則演算が展開できるようなもので、[[超準解析|超実数]]とよく似ている）。また、 (''E'',&thinsp;''P'') = (''C''<sup>∞</sup>('''R'''),&thinsp;{''p''<sub>''k''</sub>}) のときは（ただし、''p''<sub>''k''</sub> は、''k''-階以下の全ての導関数についての、半径 ''k'' の球体上での値の上限）、[[コロンボ代数|コロンボの単純化代数]]が得られる。

=== シュワルツ超関数の埋め込み ===
この代数にはシュワルツ超関数 ''T'' ∈ ''D' '' が、入射
: <math>j(T)=(\phi_n*T)_n+N</math>
を通じてすべて「含まれる」と考えられる。ここで、*は[[畳み込み]]であり、
: <math>\phi_n(x)=n\phi(nx)</math>
が成立する。ただしこの入射は、[[軟化子]] &phi;、つまり''C''<sup>∞</sup>-級で、積分が1で原点 0 における各階の導関数が消える関数、の取り方に依存するという意味で、'''標準的でない'''。標準的な埋め込みを得るには、添字集合を少し変更して '''N''' × ''D''('''R''') とし、''D''('''R''') 上の適当な（''q'' のオーダーを除いて[[モーメント (数学)|モーメント]]が消えているような関数の成す）[[フィルター基]]を考える必要がある。

=== 超関数の層構造 ===
(''E'',&thinsp;''P'') をある位相空間 ''X'' 上の半ノルム代数の[[層 (数学)|（前）層]]とすると、''G<sub>s</sub>''(''E'',&thinsp;''P'') もこの性質を持つ。これにより、[[制限 (数学)|制限]]の概念が定義され、部分層に関する意味で超関数の[[関数の台|台]]が定義できる。特に、
* 部分層 {0} に対して、この意味での台は通常の意味での台（つまり、関数の零点集合に含まれる最大の開集合の補集合）となる。
* 部分層 ''E''（の標準定値入射での埋め込み）に対して、[[特異台]]と呼ばれるものが得られる。これはくだけた表現をすれば、（''E'' = ''C''<sup>∞</sup> の場合は）超関数が滑らかな関数にならないような集合の閉包である。
といったようなことが成り立つ。

=== 超局所解析 ===
[[フーリエ変換]]は、（成分ごとに）コンパクトな台を持つ超関数に対しても[[well-defined|（矛盾なく）定義可能]]である。これにはシュワルツ超関数に対する構成と同じ方法を用いたり、[[ラース・ヘルマンダー]]の[[波面集合]]を用いたりすればよい。

超局所解析の特に重要な応用として、[[特異点 (超局所解析)|特異点]]の[[波動伝播|伝播]]の解析がある。

== 各種の超関数論 ==
一般に超関数論と言われる理論には、たとえば[[ヤン・ミクシンスキー]]による「畳み込み商」を用いた[[ミクシンスキー演算子法|演算子法]]なども含まれる。これは[[畳み込み]]の代数が[[整域]]を成すような関数環の[[商体]]を用いる方法である。あるいは、[[佐藤超関数]]の理論も挙げられる。これは[[解析関数]]の境界値として[[層 (数学)|層]]の理論を用いて定義される。

== 位相群 ==
ブリュアは、今日[[シュワルツ＝ブリュア関数]]として知られる、[[局所コンパクト群]]上の[[試験関数]]のクラスを導入した。局所コンパクト群は関数の[[写像の定義域|定義域]]としては典型的である[[多様体]]よりも進んだ概念である。これが最もよく応用されるのは[[数論]]、特に[[アデール的代数群|アデール代数群]]の理論においてである。[[アンドレ・ヴェイユ]]は[[テイト論文|テイトの修士論文]]を、これを用いて書き直し、[[イデール群]]上の[[ゼータ超関数]]を特徴付けた。また、[[明示公式|''L''-関数の明示公式]]にもこれを応用した。

== 超切断 ==
このような話をさらに推し進めて、滑らかな[[ベクトル束]]の'''超切断'''（一般化された切断）を考えることができる。これはシュワルツのように試験対象の双対対象を構成する方法によるもので、試験対象としてコンパクト台を持つバンドルの滑らかな切断を用いる。最も発展したのは、[[微分形式]]の双対にあたる[[微分カレント]]の理論である。これらの概念は、微分形式から[[ド・ラムのコホモロジー]]が生じるのと同じ仕方で、ホモロジー的な特質を持つ。これにより、[[ストークスの定理]]を非常に一般な形で定式化することができるようになる。

== 佐藤の超関数 ==
{{main|佐藤超関数}}
シュワルツ理論の成功に刺激され、[[佐藤幹夫 (数学者)|佐藤幹夫]]は'''[[佐藤の超関数]]''' {{lang|en|(''hyperfunction'')}} のアイデアを導き出した。佐藤の超関数は[[正則関数]]の抽象的境界値として定義される。直感的には、複素平面の上半平面で[[正則関数|正則]]な関数 {{math|''F''<sub>+</sub>(''z'')}} と下半平面で正則な関数 {{math|''F''<sub>&minus;</sub>(''z'')}} との実軸上での差、{{math|(''F''<sub>+</sub>(''z'') &minus; ''F''<sub>&minus;</sub>(''z'')){{!}}<sub>Im''z'' {{=}} 0</sub>}} として定義される。

厳密な理論は、多変数複素関数の成す[[層 (数学)|層]]係数のコホモロジー理論を用いて、代数的手法によって展開される。こうした代数的手法の解析学への導入は、今日、[[D加群]]等に代表される[[代数解析学]]や、余接バンドル上で {{lang|en|microfunction}} や {{lang|en|microdifferential operator}} 等を用いる[[超局所解析|超局所解析学]]をもたらした。また、物理学における[[ファインマン積分]]のような形式的方法を厳密な数学の理論へと変えることができたのである。

== 脚注 ==
{{reflist}}

== 参考文献 ==
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 |author=垣田高夫
 |authorlink=垣田高夫
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 |edition=新装版
 |publisher=日本評論社
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*{{cite journal
|first=G.K.
|last=Tolokonnikov
|title=Differential rings used in Shirokov algebras
|journal=Theoretical and Mathematical Physics
|volume=53
|issue= 1
|year=1982
|doi=10.1007/BF01014789
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* 山中健：「線形位相空間と一般関数」、共立出版 (1966年12月20日).
* 森本光生：「佐藤超関数入門」、共立出版、(1976年7月20日).
* エス・ゲー・クレイン（編）：「増訂新版　関数解析」、文一総合図書(1976年8月10日)の第10章「超関数」.
* 金子晃：「超函数入門 <上>」、東大出版会（UP応用数学選書）第2版（1990年1月25日）※初版は1980年8月30日。
* 金子晃：「超函数入門 <下>」、東大出版会（UP応用数学選書）(1982年5月).
* 松澤忠人、原優、小川吉彦：「積分論と超関数論入門」、学術図書出版、ISBN 4-87361-201-2 (1996年5月10日).
* 青木貴史、片岡清臣、山崎晋：「超函数・FBI変換・無限階擬微分作用素」、共立出版、ISBN 4-320-01695-5 (2004年6月10日).
* 吉田耕作：「[復刊] 超函数論」、共立出版（2009年10月9日）※　初版は1956年。
* 金子晃：「超函数入門 [新版]」東大出版会（2018年9月）.
* 小松彦三郎：「超関数論入門」、岩波書店（ペーパーバック版、2019年9月10日).

== 関連項目 ==
* [[シュワルツの超関数]]
* [[佐藤の超関数]]
* [[ディラックのデルタ関数]]
* [[部分積分]]
* [[微分方程式]]
* {{仮リンク|ゲルファント三つ組|en|Gelfand triple}}
* [[ベッポ・レヴィ空間]]
* {{仮リンク|一般化固有関数|en|Generalized eigenfunction}}

{{Normdaten}}
{{デフォルトソート:ちようかんすう}}
[[Category:超関数|*]]
[[Category:数学に関する記事]]