超限数のソースを表示

'''超限数'''（ちょうげんすう、[[英語|英]]: Transfinite number）とは数学において、すべての[[有限集合|有限数]]よりも大きい数であり、"[[無限]]"ではあるが必ずしも"{{ill2|絶対無限|en|absolutely infinite}}"とは限らない。これらには、無限集合の[[濃度 (数学)|濃度]]を表現するための'''超限基数'''（[[英語|英]]: transfinite cardinals）と、無限集合の順序を表現するため使われる'''超限順序数'''（[[英語|英]]: transfinite ordinals）が含まれる<ref>{{Cite web |url=https://www.dictionary.com/browse/transfinite-number |title=Definition of transfinite number {{!}} Dictionary.com |website=www.dictionary.com |language=en |access-date=2019-12-04}}</ref><ref name=":0">{{Cite web |url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/sets.html |title=Transfinite Numbers and Set Theory |website=www.math.utah.edu |access-date=2019-12-04}}</ref>。"超限"という数学用語は、1895年[[ゲオルク・カントール]]によってつくられた<ref>{{Cite web |url=https://www.britannica.com/biography/Georg-Ferdinand-Ludwig-Philipp-Cantor |title=Georg Cantor {{!}} Biography, Contributions, Books, & Facts |website=Encyclopedia Britannica |language=en |access-date=2019-12-04}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Georg Cantor|date=Nov 1895|title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (1)|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN00225557X|journal=Mathematische Annalen|volume=46|issue=4|pages=481&ndash;512}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Georg Cantor|date=Jul 1897|title=Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre (2)|url=http://www.digizeitschriften.de/dms/resolveppn/?PID=GDZPPN002256460|journal=Mathematische Annalen|volume=49|issue=2|pages=207&ndash;246}}</ref><ref>{{Cite book|url=https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/cantor1.pdf|last=Georg Cantor|editor=Philip E.B. Jourdain|title=Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers|location=New York|publisher=Dover Publications, Inc.|year=1915}} English translation of Cantor (1895,1897).</ref>。これらの対象に対し"無限"という意味の言葉等を避けたいと思った人々は存在したが、にも拘わらずこの数は有限ではなかった{{要出典|date=May 2021}}。現在この点を問題視する者はほとんどおらず、超限の基数と順序数は'''無限数'''とされている。にもかかわらず"超限"という用語も使われ続けている。

== 定義 ==
有限[[自然数]]は少なくとも2つの目的で使われている。基数と順序数としてである。基数はひと組の量（例えば、バッグの中のビー玉5個）を示すが、順序数は、組の中の順序を示す。（例えば、「左から3番目の男」「1月27日」）<ref name=":1">{{Cite web |url=http://mathworld.wolfram.com/OrdinalNumber.html |title=Ordinal Number |author=Weisstein |first=Eric W. |website=mathworld.wolfram.com |language=en |access-date=2019-12-04}}</ref> 。超限数に拡張すると、これら2つの概念の違いは明確になる。超限基数は無限集合のサイズの表現に使われ<ref name=":0"/><ref>{{Cite web |url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/sets.html |title=Transfinite Numbers and Set Theory |website=www.math.utah.edu |access-date=2019-12-04}}</ref>、超限順序数は、順序付けられた無限集合内の位置を示すためすために使われる<ref name=":1" />{{出典無効|date=May 2021}}。
最も重要な順序数と基数は次の2つである。

* <math>\omega</math> （[[順序数|オメガ]]）: 最小の超限順序数。これは、通常の線形順序付けでの[[自然数]]の[[順序型]]でもある。
* <math>\aleph_0 </math> （[[アレフ数|アレフ・ヌル]]）: 最初の超限基数であり自然数の[[濃度 (数学)|濃度]]でもある。[[選択公理|選択公理が]]成り立つ場合、次に高い基数は <math>\aleph_1</math>（[[アレフ数|アレフ・ワン]]）である。そうでない場合は、アレフ・ワンとは比較できず、アレフ・ヌルよりも大きい他の基数が存在する可能性がある。いずれにせよ、アレフ・ヌルとアレフ・ワンの間に基数は無い。

[[連続体仮説]]とは、自然数の濃度 <math>\aleph_0 </math> よりも大きい最小の濃度は[[連続体濃度]]（[[実数]]の集合の濃度）であり間に中間基数がない<ref name=":0" /><ref>{{Cite web |url=https://www.math.utah.edu/~pa/math/sets.html |title=Transfinite Numbers and Set Theory |website=www.math.utah.edu |access-date=2019-12-04}}</ref>、また同等に <math>\aleph_1</math> と連続体濃度が等しいかと云う命題である。[[ツェルメロ＝フレンケル集合論]]において連続体仮説は、証明も否定もできない。

P.Suppes や J.Rubin を含む一部の著者は、超限基数という用語を使用して、「無限基数」と同等ではない可能性がある状況での[[デデキント無限|デデキント無限集合]]の''基数''を指す。つまり[[可算選択公理]]が想定されていないか、成立することが知られていない状況においてこの定義を考えると、以下はすべて同等である。

* <math>\mathfrak{m}</math> を超限基数とすると、<math>\mathfrak{m}</math> を基数とする集合 <math>A</math> はデデキント無限集合である。
* <math>\mathfrak{m} + 1 = \mathfrak{m}.</math>
* <math>\aleph_0 \leq \mathfrak{m}.</math>
* <math>\aleph_0 + \mathfrak{n} = \mathfrak{m}.</math> であるなら <math>\mathfrak{n}</math> は基数である。

超限順序数と無限基数はどちらも自然数のみを一般化するが、[[超実数]]や[[超現実数]]を含む他の数体系は、[[実数]]の一般化を規定する<ref>{{Citation|title=Transfinite function iteration and surreal numbers|last=Beyer|first=W. A.|last2=Louck|first2=J. D.|year=1997|journal=Advances in Applied Mathematics|volume=18|number=3|pages=333–350|doi=10.1006/aama.1996.0513|mr=1436485}}</ref>。

== 例 ==
カントールの順序数の理論では、すべての整数には後続者が存在しなければならない。<ref name="ONG">[[John Horton Conway]], (1976) ''[[On Numbers and Games]]''. Academic Press, ISBN 0-12-186350-6. ''(Chapter 3 参照)''</ref> すべての通常の整数の次にくる「整数」、つまり最初の無限な「整数」は <math>\omega</math> と名付けられる。この文脈では、<math>\omega+1</math> は <math>\omega</math> より大きく、<math>\omega\cdot2</math>、<math>\omega^{2}</math>、<math>\omega^{\omega}</math>はさらに大きい。<math>\omega</math>を含む算術式は順序数を指定し、その数までのすべての「整数」の集合と考えることができる。与えられた数は一般にそれを表す複数の式を持つが、しかし、それを表す唯一の[[カントール標準形]]が存在する。<ref name="ONG" />本質的には <math>\omega</math> の降冪の係数を与える数字の有限列である。

しかし、全ての無限な「整数」がカントール標準形で表されるわけではない。そのような最初の極限順序数は <math>\omega^{\omega^{\omega^{...}}}</math> であり、 <math>\varepsilon_{0}</math> で表される。<ref name="ONG" /> <math>\varepsilon_{0}</math> は <math>\omega^{\varepsilon}=\varepsilon</math> の最小の解である。そしてそれに続く解を <math>\varepsilon_{1}, ...,\varepsilon_{\omega}, ...,\varepsilon_{\varepsilon_{0}}, ...</math> としていくと、さらに大きな順序数が得られ、極限 <math>\varepsilon_{\varepsilon_{\varepsilon_{...}}}</math> になるまで続けられる。これは <math>\varepsilon_{\alpha}=\alpha</math> の最初の解である。

これは、すべての超限な「整数」を指定できるようにするためには、無限の名前の列を考えなければならないことを意味する: もし1つの最大の「整数」を指定するのであれば、常にその後継の大きな「整数」を挙げることができるからである。しかし、カントールによって指摘されたように、{{citation needed|date=May 2021}}これでも超限数の最も小さいクラスにしか到達できない: これらの超限数はそれぞれ集合としてのサイズは基数 <math>\aleph_{0}</math> に対応する。

== 関連項目 ==
* {{ill2|実無限|en|Actual infinity}}
* [[ベート数]]
* [[イプシロン数]]
* [[無限小]]

== 参照 ==
{{Reflist}}

== 参考文献 ==

*Levy, Azriel, 2002 (1978) ''Basic Set Theory''. Dover Publications. {{ISBN2|0-486-42079-5}}
*O'Connor, J. J. and E. F. Robertson (1998) "[http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/Biographies/Cantor.html Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor]," [[MacTutor History of Mathematics archive]].
*[[Jean E. Rubin|Rubin, Jean E.]], 1967. "Set Theory for the Mathematician". San Francisco: Holden-Day. Grounded in [[Morse–Kelley set theory]].
*[[Rudy Rucker]], 2005 (1982) ''Infinity and the Mind''. Princeton Univ. Press. Primarily an exploration of the philosophical implications of Cantor's paradise. {{ISBN2|978-0-691-00172-2}}.
*[[Patrick Suppes]], 1972 (1960) "[https://books.google.com/books?id=sxr4LrgJGeAC&printsec=frontcover&source=gbs_atb#v=onepage&q&f=false Axiomatic Set Theory]". Dover. {{ISBN2|0-486-61630-4}}. Grounded in [[ツェルメロ＝フレンケル集合論|ZFC]].

{{巨大数}}
{{Infinity}}
{{Normdaten}}

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