軌道長半径のソースを表示

{{出典の明記|date=2011年7月}}
[[File:Semimajoraxis.svg|thumb|right|200px|楕円の軌道長半径]]
{{Astrodynamics}}
'''軌道長半径'''（きどうちょうはんけい、{{lang-en|semi-major axis}}）とは、[[幾何学]]において[[楕円]]や[[双曲線]]のパラメータを表す数である。

== 楕円 ==
楕円では、軌道長半径とは長軸方向の[[半径]]である。軌道長半径を含む直線は中心と2つの[[焦点 (幾何学)|焦点]]、楕円周上で最も[[曲率]]の大きい2点を通過する。[[円 (数学)|円]]の場合には、軌道長半径は半径と一致する。

軌道長半径の長さ <math>a</math> は、[[軌道短半径]] <math>b</math>, [[離心率]] <math>e</math>, 半[[通径]] <math>\ell</math> と次のような関係がある。

<math display="block">
\begin{align}
b     &= a \sqrt{1 - e^2}, \\
\ell  &= a(1 - e^2), \\
a\ell &= b^2.
\end{align}
</math>

1つの焦点と <math>\ell</math> を固定し、もう1つの焦点を一方向にどこまでも引き伸ばすと[[放物線]]が得られる。<math>a</math> と <math>b</math> は[[無限|無限大]]になるが、<math>a</math> の方が <math>b</math> よりも早く増加する。

軌道長半径は、1つの焦点から楕円周上への1点に至る、最小距離と最大距離の平均値となる。[[極座標系]]で1つの焦点を原点、もう1つの焦点をx軸の正方向に置くと、

<math display="block">
r(1 - e\cos\theta) = \ell
</math>

となり、
<math>r = \dfrac{\ell}{1 + e}</math> と <math>r = \dfrac{\ell}{1 - e}</math> の平均値は

<math display="block">
a=\dfrac{\ell}{1-e^2}
</math>

となる。

== 双曲線 ==
双曲線では、軌道長半径とは2つの分岐の間の半分の距離である。{{mvar|a}} が {{mvar|x}} 軸方向にあるとすると、

<math display="block">
  \frac{\left( x - h \right)^2}{a^2}
- \frac{\left( y - k \right)^2}{b^2}
= 1
</math>

となる。
半通径と離心率を使うと、

<math display="block">
a = \frac{\ell}{e^2 - 1}
</math>

と書ける。
双曲線の主軸は、軌道長半径と同じ方向である。

== 天文学 ==
;公転周期 
天体力学では、主星の周りを円または楕円軌道を描いて回る小さな天体の[[公転周期]] <math>T</math> は、以下の式で表せる。

<math display="block">
T = 2\pi\sqrt{\frac{\;a^3}{\mu\,}}
</math>

ここで

* <math>a</math> は軌道長半径、
* <math>\mu</math> は[[重力定数]]と[[質量]]の積。

この式から、同じ軌道長半径を持つ楕円軌道の公転周期は、離心率に関わらず同じであることが分かる。

天文学において、軌道長半径は公転周期と並んで最も重要な[[軌道要素]]の1つである。[[太陽系]]では、軌道長半径は[[ケプラーの法則|ケプラーの第3法則]]によって公転周期と関係づけられる。

<math display="block">
T^2 = a^3.
</math>

ここで {{mvar|T}} は年で表した公転周期、{{mvar|a}} は天文単位で表した軌道長半径である。この式は、[[アイザック・ニュートン]]によって導かれた[[二体問題]]を記述する次の式から重力の項を単純化したものである。

<math display="block">
T^2 = \frac{4\pi^2}{G(M + m)}a^3.
</math>

ここで

* {{mvar|G}} は重力定数、
* {{mvar|M}} は主星の質量、
* {{mvar|m}} は伴星の質量。

通常、{{mvar|M}} は {{mvar|m}} よりも充分大きいため、{{mvar|m}} の影響は無視でき、ケプラーの式が導かれる。

=== 位置ベクトルからの軌道長半径の計算 ===
[[天体力学]]では、軌道長半径 <math>a</math> は天体の[[位置ベクトル]]から計算できる。
その値は楕円では

<math display="block">
a = -\frac{\mu}{2\epsilon},
</math>

双曲線では

<math display="block">
a = \frac{\mu}{2\epsilon}
</math>

となる。ただし、

<math display="block">
\begin{align}
\epsilon &= \frac{\,v^2}{2\,} - \frac{\mu}{\left | \mathbf{r} \right |}, \\
\mu &= GM,
\end{align}
</math>

であり、主星の質量と全体の位置エネルギーが与えられると、軌道離心率には関係なく、軌道長半径の値が決まる。
ここで、

* <math>v</math> は速度ベクトルから得られる軌道速度、
* <math>\mathbf{r}</math> は主星の位置ベクトル、
* <math>G</math> は重力定数、
* <math>M</math> は主星の質量。

== 例 ==
[[国際宇宙ステーション]]は、公転周期が91.74分で、軌道長半径は6738kmである。

== 関連項目 ==
* [[軌道短半径]]

{{軌道}}
{{DEFAULTSORT:きとうちようはんけい}}
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[[Category:力学]]
[[Category:天文学に関する記事]]