軟化子のソースを表示

[[File:Mollified Illustration.svg|thumb|上図は1次元の軟化子。下図において、赤は角（左側の滑らかでない点）とジャンプ（右側の滑らかでない点）を持つ函数であり、青はその軟化されたものである。]]

[[数学]]において、'''軟化子'''（なんかし、{{Lang-en-short|mollifier}}）あるいは'''恒等作用素への近似'''（approximation to the identity）として知られるものは、例えば[[シュワルツ超函数|超函数の理論]]において、[[畳み込み]]を介して、滑らかではない[[超函数]]に対する滑らかな函数列を作るために用いられる、特別な性質を備えたある[[滑らかな函数]]のことを言う。直感的に、変則的な函数が与えられた際、軟化子との畳み込みを取ることで、その函数は「軟化」される。すなわち、その函数の尖った部分は滑らかなものとなるが、依然として元の滑らかではない超函数に似た性質を保つものが得られる<ref>これは与えられた超函数の空間の[[位相]]に関する議論である。</ref>。発見者の{{仮リンク|カート・オットー・フリードリヒ|en|Kurt Otto Friedrichs}}の名に因んで、'''フリードリヒの軟化子'''（Friedrichs mollifier）とも呼ばれる<ref>{{Harv|Friedrichs|1944|pp=136–139}} を参照。</ref>。

== 歴史的背景 ==

軟化子は、[[偏微分方程式]]の近代理論の下で、ある分水嶺について考えられた論文 {{Harv|Friedrichs|1944|pp=136–139}} において、{{仮リンク|カート・オットー・フリードリヒ|en|Kurt Otto Friedrichs}}により導入された<ref name="Laxref">{{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}} 内の論文 {{Harv|Friedrichs|1944}} に対する[[ピーター・ラックス]]の論評を参照。</ref>。その名前の由来には、ある興味深い逸話がある。[[ピーター・ラックス]]は論評 {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}} において次のような由来を語っている。当時のフリードリヒの同僚の一人に、数学者 [http://genealogy.math.ndsu.nodak.edu/id.php?id=342 ドナルド・アレクサンダー・フランダーズ] がいた。フリードリヒは英語の用法について同僚に相談することが多く、彼の使用した「滑らかにする作用素」の名付け方についてフランダーズにアドバイスを求めた<ref name="Laxref" />。ところでフランダーズは[[清教徒]]であり、その信仰心の高さを知る友人からは、[[モル・フランダーズ]]に因んで Moll と言うニックネームで呼ばれていた。フランダーズはそのニックネームと、動詞 "mollify" の語呂合わせである mollifier（軟化子）を、その新しい数学の概念の呼び名とした。これは「滑らかにする」という特徴を比喩的に意味するものでもあった<ref>ラックス {{Harv|Friedrichs|1986|loc=volume 1, p. 117}} では正確には次のように書かれている：-"''On English usage Friedrichs liked to consult his friend and colleague, Donald Flanders, a descendant of puritans and a puritan himself, with the highest standard of his own conduct, noncensorious towards others. In recognition of his moral qualities he was called Moll by his friends. When asked by Friedrichs what to name the smoothing operator, Flander remarked that thei could be named mollifier after himself; Friedrichs was delighted, as on other occasions, to carry this joke into print.''" </ref>。

[[セルゲイ・ソボレフ]]は、それ以前の1938年のエポックメイキングな彼の論文（ソボレフの埋め込み定理の証明が含まれている）において、軟化子を使用していた<ref>{{Harv|Sobolev|1938}}を参照。</ref>。{{Harvtxt|Friedrichs|1953|p=196}} では、そのようなソボレフの業績について次のように謝辞が述べられていた：-"''These mollifiers were introduced by Sobolev and the author...''".

ここで軟化子の概念には、わずかな誤解が含まれていることに注意する必要がある。
フリードリヒは、今日「軟化子」と呼ばれている函数の一つを[[積分作用素|積分核]]に持つ[[積分作用素]]のことを「軟化子」と定義していた。しかし、線型積分作用素の性質はその核によって完全に決定されるため、広く使用されるにつれて軟化子という名前はその核の呼び名として受け継がれることとなった。

== 定義 ==
[[Image:Heat eqn.gif|right|frame|繰り返し軟化されていく函数]]

=== 近代の（超函数に基づく）定義 ===
{{EquationRef|1|定義 1.}} <math>\varphi</math> は ℝ<sup>''n''</sup>, ''n'' ≥ 1 上の[[滑らかな函数]]で、次の三つの性質を満たすものとする：

:{{EquationRef|2|(1){{spaces|2}}}} [[関数の台|コンパクトな台]]を持つ<ref>[[隆起函数]]のように。</ref>。   
:{{EquationRef|3|(2){{spaces|2}}}}<math>\int_{\mathbb{R}^n}\!\varphi(x)\mathrm{d}x=1</math>
:{{EquationRef|4|(3){{spaces|2}}}}<math>\lim_{\epsilon\to 0}\varphi_\epsilon(x) = \lim_{\epsilon\to 0}\epsilon^{-n}\varphi(x / \epsilon)=\delta(x)</math>

ここに <math>\delta(x)</math> は[[ディラックのデルタ函数]]であり、その極限は[[シュワルツ超函数]]の空間において解釈されるものとする。このとき、<math>\varphi</math> は'''軟化子'''と呼ばれる。この函数 <math>\varphi</math> は、さらに次の性質を満たす場合も考えられている<ref>{{harv|Giusti|1984|p=11}}を参照。</ref>：

:{{EquationRef|5|(4){{spaces|2}}}} すべての ''x'' ∈ ℝ<sup>''n''</sup> に対して <math>\varphi(x) \ge 0</math> を満たす場合は、'''正軟化子''' (positive mollifier) と呼ばれる。
:{{EquationRef|6|(5){{spaces|2}}}} ある[[滑らかな函数|無限回微分可能]]な函数 ''&mu;'': ℝ<sup>+</sup> → ℝ に対して <math>\varphi(x)=\mu(|x|)</math> を満たす場合は、'''対称軟化子''' (symmetric mollifier) と呼ばれる。

=== フリードリヒの定義に関する注釈 ===

'''注釈 1''' [[超函数]]の理論が未だ広く知られていなかった頃<ref>論文 {{Harv|Friedrichs|1944}} が出版されたのは、[[ローラン・シュヴァルツ]]が自身の業績を広める数年前であった。</ref>は、上述の性質 {{EquationNote|4|(3)}} は次のような内容で代えられていた：適切な[[ヒルベルト空間]]または[[バナッハ空間]]に属する与えられた函数と、''<math>\scriptstyle\varphi_\epsilon</math>'' との[[畳み込み]]が、''ε'' → 0  のときにその与えられた函数に収束する<ref>収束に関する[[位相]]は、明らかに、考えられている[[ヒルベルト空間]]あるいは[[バナッハ空間]]である。</ref> これが正確な{{仮リンク|カート・オットー・フリードリヒ|en|Kurt Otto Friedrichs}}の業績である<ref>{{harv|Friedrichs|1944|pp=136–138}} の性質 '''PI''', '''PII''', '''PIII''' およびそれらの帰結としての '''PIII<sub>0</sub>''' を参照されたい。</ref>。この結果はまた、軟化子が{{仮リンク|近似恒等作用素|en|approximate identity}}と関連している理由を明らかにするものでもある<ref name="Fredref">これに関して {{harvtxt|Friedrichs|1944|pp=132}} では次のように述べられている：-"''The main tool for the proof is a certain class of smoothing operators approximating unity, the "mollifiers"''.</ref>。

'''注釈 2''' 前節でも簡潔に指摘されていたように、軟化子という語はもともとは次の[[畳み込み|畳み込み作用素]]に対する呼び名であった<ref name="Fredref"/><ref>{{harv|Friedrichs|1944|p=137}} の paragraph 2, "''Integral operators''" を参照。</ref>：

:<math>\Phi_\epsilon(f)(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\varphi_\epsilon(x-y) f(y)\mathrm{d}y</math>

ここで <math>\scriptstyle\varphi_\epsilon(x)=\epsilon^{-n}\varphi(x/\epsilon)</math> であり、''<math>\varphi</math>'' は上述の三条件と、正値性あるいは対称性のいずれか、あるいは両方を満たす[[滑らかな函数]]である。

== 具体例 ==

ℝ''<sup>n</sup>'' 上の[[変数 (数学)|一変数]][[函数]] ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> で、次のように定義されるものを考える。

<math>\varphi(x) = \begin{cases} e^{-1/(1-|x|^2)}& \text{ if } |x| < 1\\
                 0& \text{ if } |x|\geq 1
                 \end{cases}</math>

この函数は無限回微分可能であるが解析的ではなく、{{math|<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki> {{=}} 1}} において消失する[[導函数]]を持つことは容易に分かる。この函数を全空間での積分で割ることで、積分が 1 となる函数 ''<math>\varphi</math>'' が得られるが、これを上述のような軟化子として使用することが出来る：また ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math> は正かつ対称な軟化子を定義することも容易に分かる<ref>{{Harv|Hörmander|1990|p=14}} の lemma 1.2.3. を参照されたい：陰的な形状で定義される例として、{{math|''t''}} ∈ ℝ<sup>+</sup> に対する {{math|''f''(''t'') {{=}} exp(-1/''t'')}} をはじめに定義し、{{math|''x''}} ∈ ℝ''<sup>n</sup>'' に対する {{math|''f''(''x'') {{=}} ''f'' (1-<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup>) {{=}} exp(-1/(1-<nowiki>|</nowiki>''x''<nowiki>|</nowiki><sup>2</sup>))}} を考慮するというものがある。</ref>。

[[File:Mollifier Illustration.svg|center|frame|空間 1 次元における函数 ''<math>\varphi</math>''<math>(x)</math>]]

== 性質 ==

軟化子のすべての性質は、[[畳み込み]]の下での挙動と関連している：以下にそれらの性質を列挙する。証明は[[超函数]]に関する多くの著書に見られる<ref>例えば {{Harv|Hörmander|1990}} を参照。</ref>。

=== 滑らかさ ===

任意の超函数 <math>T</math> に対し、[[実数]] <math>\epsilon</math> を添え字とする畳み込みの族

:<math>T_\epsilon = T\ast\varphi_\epsilon</math>

を考える。ここで <math>\ast</math> は[[畳み込み]]を表す。これは[[滑らかな函数]]の族である。

=== 恒等作用素の近似 ===

任意の超函数 <math>T</math> に対し、[[実数]] <math>\epsilon</math> を添え字とする次の畳み込みの族は、<math>T</math> に収束する。

:<math>\lim_{\epsilon\to 0}T_\epsilon = \lim_{\epsilon\to 0}T\ast\varphi_\epsilon=T\in D^\prime(\mathbb{R}^n)</math>

=== 畳み込みの台 ===

任意の超函数 <math>T</math> に対し、

:<math>\mathrm{supp}T_\epsilon=\mathrm{supp}(T\ast\varphi_\epsilon)\subset\mathrm{supp}T+\mathrm{supp}\varphi_\epsilon</math>

が成り立つ。ここで <math>\mathrm{supp}</math> は[[シュワルツの超関数|超函数の意味での台]]を表し、<math>+</math> は{{仮リンク|ミンコフスキー和|en|Minkowski addition}}を表す。

== 応用 ==

軟化子の基本的な応用として、[[滑らかな函数]]に対して有効な性質が、滑らかでないものに対しても有効となることを証明する、というものが挙げられる。

=== 超函数の積 ===

いくつかの[[超函数]]の理論において、軟化子は超函数の積を定義するために用いられる。正確に言うと、二つの超函数 <math>S</math> および <math>T</math> が与えられたとき、[[滑らかな函数]]と[[超函数]]の積の極限

:<math>\lim_{\epsilon\to 0}S_\epsilon\cdot T=\lim_{\epsilon\to 0}S\cdot T_\epsilon\overset{\mathrm{def}}{=}S\cdot T</math>

は（存在するならば）、それらの超函数の積を定義する。これは超函数の様々な理論に現れる。

=== "弱=強"の定理 ===

非公式的であるが、軟化子は微分作用素の二つの異なる種類の拡張に対する等号を証明するために用いられる。すなわち、強拡張と弱拡張である。論文 {{Harv|Friedrichs|1944}} ではこの概念が上手く説明されている。しかし、その真の意味を表すためには膨大な量の技術的な詳細が必要となるため、この短い節では公式的な説明は省く。

=== 滑らかなカットオフ函数 ===

[[単位球]] <math>B_1 = \{x : |x|<1\}</math> の[[指示函数]]と、（<math>\scriptstyle\epsilon = 1/2</math> として {{EquationNote|4|(3)}} で定義される）[[滑らかな函数]] ''<math>\varphi_2</math>'' との[[畳み込み]]によって、函数

:<math>
\chi_{B_1,1/2}(x)=\chi_{B_1}\ast\varphi_{1/2}(x)=\int_{\mathbb{R}^n}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y)\varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=\int_{B_{1/2}}\!\!\!
\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y \ \ \ (\because supp(\varphi_{1/2})=B_{1/2})
</math>

が得られる。これは <math>B_{1/2} = \{ x: |x| < 1/2 \}</math> 上で <math>1</math> と等しく、台は <math>B_{3/2}=\{ x: |x| < 3/2 \}</math> に含まれる[[滑らかな函数]]である。これは <math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math> および <math>|y|</math> ≤ <math>1/2</math> であれば <math> |x-y|</math> ≤ <math>1</math> であることから容易に分かる。したがって、<math>|x|</math> ≤ <math>1/2</math> に対し、

:<math>
\int_{B_{1/2}}\!\!\!\chi_{B_1}(x-y) \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y= \int_{B_{1/2}}\!\!\!
 \varphi_{1/2}(y)\mathrm{d}y=1
</math>

が成り立つ。この構成法が、ある与えられた[[コンパクト空間|コンパクト集合]]の[[近傍 (位相空間論)|近傍]]において 1 に等しく、その集合からの距離が与えられた <math>\scriptstyle\epsilon</math> よりも大きいすべての点において 0 に等しいような滑らかな函数を得るために一般化する方法は、容易に分かる<ref>この事実の証明は、{{Harv|Hörmander|1990|p=25}} の Theorem 1.4.1. に見られる。</ref>。そのような函数は（滑らかな）'''カットオフ函数'''と呼ばれる。それらの函数は、乗算によって、与えられた超函数の特異性を消すために用いられる。それらは与えられた集合の上でのみ[[超函数]]の値を不変に保つものであるため、その函数の台を修正するものである。カットオフ函数はまた、単位元の滑らかな分割を与える基本的なものである。

== 関連項目 ==
* {{仮リンク|近似恒等作用素|en|Approximate identity}}
* [[隆起函数]]
* [[畳み込み]]
* {{仮リンク|ワイエルシュトラス変換|en|Weierstrass transform}}
* [[シュワルツ超函数]]
* {{仮リンク|カート・オットー・フリードリヒ|en|Kurt Otto Friedrichs}}
* [[超函数]]
* [[セルゲイ・ソボレフ]]

== 注釈 ==
{{reflist|29em}}

== 参考文献 ==
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{{DEFAULTSORT:なんかし}}
[[Category:関数解析学]]
[[Category:滑らかな関数]]
[[Category:数学に関する記事]]