転置行列のソースを表示

[[画像:Matrix transpose.gif|200px|right]]
'''転置行列'''（てんちぎょうれつ、{{lang-en-short|transpose [of a matrix], transposed matrix}}）とは、{{mvar|m}} 行 {{mvar|n}} 列の[[行列 (数学)|行列]] {{mvar|A}} に対して {{mvar|A}} の {{math|(''i'', ''j'')}} 要素と {{math|(''j'', ''i'')}} 要素を入れ替えてできる {{mvar|n}} 行 {{mvar|m}} 列の行列のことである<ref name="斎藤2017-31">[[#斎藤2017|斎藤2017]] p.31</ref>。転置行列は {{math2|''{{sup|t}}A'', ''A''{{sup|T}}, ''A''{{mtop|.}}, ''A''{{sup|tr}}, ''A&prime;''}} などと示される。行列の転置行列を与える操作のことを'''転置'''（てんち、{{lang-en-short|transpose}}）といい、「{{mvar|A}} を転置する」などと表現する。

特に[[正方行列]]に対しては、転置行列は各成分を対角成分で折り返した行列になる。

== 定義 ==
{{math2|''m'' × ''n''}}行列
:<math>A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} &\cdots &a_{1,n} \\
\vdots  & \ddots &\vdots \\
a_{m,1} &\cdots &a_{m,n}
\end{bmatrix}</math>
の転置行列 {{mvar|{{sup|t}}A}} は
:<math>{}^t A = \begin{bmatrix}
a_{1,1} &\cdots &a_{m,1} \\
\vdots  & \ddots &\vdots \\
a_{1,n} &\cdots &a_{m,n}
\end{bmatrix}</math>
で定義される。このとき {{mvar|{{sup|t}}A}} は {{math|''n'' × ''m''}}行列である。

== 性質 ==
{{math2|''A'', ''B''}} は行列、{{math2|''k'', ''l''}} はスカラーとして各演算が定義できる限りにおいて以下のことが成り立つ。
* 転置の転置は元の行列を与える<ref name="斎藤2017-31" />（[[対合]]性）：{{math2|1=''{{sup|t t}}A'' = ''A''}}
* 和の転置は転置の和を与える<ref name="斎藤2017-31" />（加法性）：{{math2|1={{sup|''t''}}(''A'' + ''B'') = ''{{sup|t}}A'' + ''{{sup|t}}B''}}
* 行列のスカラー倍の転置は転置行列のスカラー倍を与える<ref name="斎藤2017-31" />（斉次性）：{{math2|1={{sup|''t''}}(''kA'') = ''k {{sup|t}}A''}}
** 斉次性および加法性から[[線型性]]が成り立つ：{{math2|1={{sup|''t''}}(''kA'' + ''lB'') = ''k {{sup|t}}A'' + ''l {{sup|t}}B}}
* 積の転置は積の左右を入れ替えた転置の積を与える<ref name="斎藤2017-31" />：{{math2|1={{sup|''t''}}(''AB'') = ''{{sup|t}}B {{sup|t}}A''}}

;正方行列の性質
* [[逆行列]]の転置は転置の逆行列を与える<ref>[[#斎藤2017|斎藤2017]] p.32</ref>：{{math2|1={{sup|''t''}}(''A''{{sup|&minus;1}}) = (''{{sup|t}}A''){{sup|&minus;1}}}}
* {{mvar|n}} 次[[正方行列]] {{mvar|A}} の[[跡 (線型代数学)|跡]]を {{math|tr ''A''}} で表すと {{math2|1=tr ''A'' = tr ''{{sup|t}}A''}}
* {{mvar|n}} 次正方行列 {{mvar|A}} の[[行列式]]を {{math|det ''A''}} で表すと {{math2|1=det ''A'' = det ''{{sup|t}}A''}}<ref>[[#斎藤2017|斎藤2017]] p.90</ref>
* {{mvar|n}} 次[[実数|実]]正方行列 {{mvar|A}}, {{mvar|n}} 次ベクトル {{math2|''x'', ''y''}} に対して、標準[[内積]]を {{math2|{{angbr|&middot;, &middot;}}}} で表すと、{{math2|1={{angbr|''Ax'', ''y''}} = {{angbr|''x'', ''{{sup|t}}Ay''}}}}

== 転置行列により定義される行列 ==
転置により定義される特別な行列として以下がある<ref>[[#斎藤2017|斎藤2017]] p.74</ref>。
*[[対称行列]]：転置が元の行列と等しい ({{math2|1=''{{sup|t}}A'' = ''A''}}）
*[[反対称行列]]：転置が元の行列に &minus;1 をかけたものになる（{{math2|1=''{{sup|t}}A'' = &minus;''A''}})
*[[直交行列]]：転置が元の行列の[[逆行列]]になる（{{math2|1=''{{sup|t}}A'' = ''A''{{sup|&minus;1}}}})
これらの行列はそれぞれ[[随伴行列]]（行列のエルミート共役）に対する[[エルミート行列]]、[[歪エルミート行列]]、[[ユニタリ行列]]に相当する。

== 線形写像との関係 ==
{{main|転置写像}}
{{math2|''m'' × ''n''}} 行列 {{mvar|A}} を {{mvar|n}} 次元[[ベクトル空間]] {{mvar|V}} から {{mvar|m}} 次元ベクトル空間 {{mvar|W}} への[[線形写像]] {{math2|''f'' : ''V'' → ''W''}} とみなすとき、{{mvar|A}} の転置行列 {{mvar|{{sup|t}}A}} には {{mvar|f}} の転置写像 {{mvar|{{sup|t}}f}} が対応する。これは {{mvar|W}} の[[双対ベクトル空間|双対空間]] {{math|''W''{{sup|*}}}} から {{mvar|V}} の双対空間 {{math|''V''{{sup|*}}}} への線形写像 {{math2|''{{sup|t}}f'' : ''W''{{sup|*}} → ''V''{{sup|*}}}} で、{{math2|''y''{{sup|*}} ∈ ''W''{{sup|*}}}} に対して
:<math>{}^t f = y^* \circ f</math>
によって定義される{{sfn|Bourbaki|1998|p=234|loc={{google books quote|id=STS9aZ6F204C|page=234|Definition 5}}}}。この定義は {{math2|''y'' ∈ ''W''}} と {{math2|''y''{{sup|*}} ∈ ''W''{{sup|*}}}} の自然なペアリングを {{math2|1=''y''{{sup|*}}(''y'') = {{angbr|''y'', ''y''{{sup|*}}}}}} と表記すれば、{{math2|''x'' ∈ ''V''}} に対して
:<math> \langle f(x), y^* \rangle = \langle x, {}^t f (y^*) \rangle</math>
という関係式によって書き直すこともできる{{sfn|Bourbaki|1998|p={{google books quote|id=STS9aZ6F204C|page=235|235}}}}。

== 脚注 ==
=== 出典 ===
{{reflist}}

== 参考文献 ==
*{{Cite book |author=[[ニコラ・ブルバキ]] |year=1998 |origyear=1970 |title=Algebra I. Chapters 1-3 |series=Elements of Mathematics
|url = {{google books|STS9aZ6F204C|plainurl=yes}} |publisher=Springer-Verlag |isbn=3-540-64243-9 |mr=1727844 |zbl=0904.00001 |ref=harv}}
*{{Cite book|和書 |author=斎藤正彦|authorlink=斎藤正彦 |date=2017-04-10 |title=線形代数学 |publisher=[[東京図書]] |edition=第3版 |isbn=978-4-489-02179-4 |ref=斎藤2017
}}

== 関連項目 ==
* [[対称行列]]
* [[反傾行列]]
* [[随伴行列]]
* [[反対称行列]]
* [[直交行列]]
* [[双対ベクトル空間]]

== 外部リンク ==
* {{高校数学の美しい物語|1046|転置行列の意味・重要な7つの性質と証明}}

{{Linear-algebra-stub}}
{{線形代数}}
{{テンソル}}

{{DEFAULTSORT:てんちきようれつ}}
[[Category:行列]]
[[Category:数学に関する記事]]